Р. Курант - Уравнения с частными производными (1120419), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Мы докажем, что функция и гармонична в Кн Выберем подмножество Е' множества Е, состоящее из функций, равномерно ограниченных снизу и обладающих свойствами б и в. (Любое подмножество множества Е обладает свойством а.) Например, чы можем построить подмножество Е', выбрав в качестве нижней грани некоторую функцию о, из Е и составтяя шах(о, о,) для всех функций о из Е. Ясно, что и(Р) = знр о(Р). ьч е' Далее, пусть 61 — плотная в К последовательность точек, и пусть о,, — функции из Е*, такие, что 1 0 ( и(67) — от д(сгг) ( — (/, (г.=1, 2, ...). Кроме того, для всех точек 6+Г мы положим од = г14„(шзх (оь д, ог, д, .... од д)). функции о принадлежат Е* и о — ьи во всех точках 6р Чтобы показать, что функция и гармонична в К,, согласно теореме Харнака (см.
й 2, п. 3), достаточно показать, что функции од сходятся к и равномерно в Кг Заметим сначала, что равномерная ограниченность абсолютных величин функций о, гармоничных внутри К, влечет за собой, в силу теоремы на стр. 274, равномерную ограниченность их первых производных в К, и, следовательно, равностепенную непрерывность функций од в Кг Согласно сформулированной ниже лемме о„— >и равномерно в Кп Лемма.
Если последовательность равностепенно непрерывных функций, определенных на ограниченном множестве А, сходится на некотором плотном подмножестве из А, то онп равномерно сходится на всем множестве А. ') Этот вариант доказательства был предложен В. Лигтманом. З(б Гл. 1(т. Теория потенциала и эллиптические Кроенения Чтобы доказать это, действуют так же, как в последней части локазательства теоремы Арцела (см.
т. 1, гл, 11, Э 2, и. 1, стр. 56). Таким образом, мы установилн, что функция и гармонична в 6. Теперь мы хотим найти условия на границу Г области 6, достаточные для того, чтобы функция и была непрерывна в 6+ Г и принимала заданные граничные значения. С этой целью мы введем определение барьера то для точки 6 границы области 6: барьером называется функция, супергармоническая в 6, непрерывная в О +Г н положительная всюлу в 6+ Г, за исключением точки О, где она обращается в нуль.
Граничная точка области О, для которои существует такой барьер, называется регу.ляриой. Заметим, что граничная точка 6 регулярна, если для нее существует „локальный барьер', т, е. функция Ж'О, непрерывная в пересечении (О+Г)П5 области О+Г и некоторого шара 5 с центром в точке 6, супергармоническая внутри 6 П 5 н положительная в (О+Г) П 5, за исключением точки О, где она обращается в нуль. Чтобы убелиться в этом, рассмотрим концентрический с 5 шар 5, половинного радиуса; функция Ж'о достигает в (6+ Г) Д (5 — 5,) положительный минимум е. Положим ш)п(т, Ю' ) в 5П(6+Г), ш в (6+ Г) — 5. Ясно, что функция шо имеет все свойства барьера, кроче, может быть, супергармоничности. Однако легко видеть, по то супер- гармонична в двух перекрывающихся областях, так как она равна постоянной и в 6 — 5, (где 5,— замыкание 5,) н явля~тся минимумом двух супергармоничсских функций в 5 П 6.
Таким образом, функция ша локально супергармоническая; из 1' слслует, что она супергармоническая. Мы докажем, что в каждой регулярной лгочке 6 тр>нкция и непрерывна и и(1,)) ="(()). Так как функция е непрерывна, то для любого е > 0 можно найти настолько большую положительную константу й, что функции '(Р) = т Я) — — й о(Р) (Р)= — у(6)+ +й а(Р) являются нижней и верхней функцией соответственно. Так как никакая нижняя функция не может быть больше верхней функции, мы имеем у(6) — е — Ипт (Р) ( и(Р) (о(6)+е+йпт (Р) ЗН й 4.
Краевая задача шя всех точек Р области 6+ Г, т. е. /и(Р) — гр(6)! . в+йто, (Р). )(огда точка Р стремится к 6, тогда ш (Р) — «О; таким образом, мы имеем 1и (Р) — чг (6) ~ < 2г, если точка Р достаточно близка к 6. Чтобы завершить построение решения краевой задачи, мы вывезем некоторые условия, достаточные для существования барьеров. Сначала мы рассмотрим случай, когда число измерений и больше 2. Во всякой граничной точке О, для которой существует шар 5, имеющий с областью 6+Г единственную общую точку 6, мы могкем взять з качестве барьера гармоничеш<ую функцию 1 1 О( ) л-2 в г' где Кг — радиус шара Б„а г - — расстояние от точки Р до центра В.
Ясно, что эта функция удовлетворяет всем условиям. Для п =-- 2 мы можем построить барьер во всякой граничной точке (), которая является концом дуги кривой А, целиком, за исключением точки 6, лежащей вне 6+ 1', и не имеющей точек самопересечения. Пусть С вЂ” круг радиуса меньшего, чем 1, с центром в 6, настолько мальгй, что его граница пересекает А. Предположим, что точки кривой А упорядочены, начиная с 6, с помощью некоторой параметризации; пусть г — первая точка А, лежащая на границе С, а А' — часть А, состоящая из точек, „предшествующих" ге. Тогда область С вЂ” А' одпосвязна и функция 1 1ояр ~О(Р) ~Е 1)О«во р -(-Зг (р, 0 — полярные координаты точки Р относительно 6) однозначна з (6+Г) П С и является там локальным барьером.
Таким образом, задача Дирикле при я=2 разрешима, если область 6 облидает тем свойством, что каждая ее граничная точка 6 являепгся концом дуги кривой, не имеющей самопересечений и, за исклгочениелг точки г), лежащей вне 6+ Г (в частности, внутренность любой замкнутой жордановой кривой является такой областью 6')); для и „«2 задача безусловно разрешима. если для каждой граничной точки 6 области 6 существует шар, имеющий с 6+Г только одну общую точку гк. ') См. Ньюмен 11), гл.
И, 4 4. 312 рл. IГ сеорсся потенциала и эллиптические Ерпяпекия ф б. Приведенное волновое уравнение. Рассеяние. 1. Предмет изложения. Мы рассмотрим „приведенное волновое уравнение" (см. также гл. !!1, 3 3, п. 2) (.[и) =-би+.ги=О (1) с неизвестной фУнкцией и(хс, хг, хз) (мы огРаничимсЯ слУчаем тРех пространственных переменных х).
Уравнение (1) является уравнением эллиптического типа и его можно изучать так же, как и уравнение Лапласа. Оно получается из волнового уравнения Ьи — ис, — — О, (2) если мы предполагаем, что волна и(х, Г) есть простое гармоническое колебание по 1 с частотой сп. т. е.
и = — оси. г И— Тогда и имеет вид и = 1' с (х) со5 исс + 1' г (х) 5! и шг, где ь[)лс[ =с [[та[=0. Вводя функцию и=у,+су,, Рнс. 21. мы получаем следующее представление для действительной волны сс через комплексное решение типа „стоячей волны": и = Ке [и (х) е-'"'[ = — (ие-'"' -1- йеияс). 2 Здесь и — общее комплексное решение уравнения (1). сэ!ы будем также рассматривать более общие уравнения би+ ги+ я.и = О, (1а) йи — ии+ еи = О, (2а) причем будем предполагать, что коэффициент е не зависит от Г и обращается в нуль вне области В с гладкой границей В, так что вне В выполняются уравнения (1) и (2) (см. рис, 2!). Уравнение (1) встречалось в томе ! как уравнение колебаний.
В этом параграфе рассматривается совершенно другое физическое явление, подчиняющееся тому же уравнению, а именно рассеяние бегущих волн. Математическая задача рассеяния будет рассматриваться в п. 3 после некоторых подготовительных замечаний в п. 1 и 2. При исследованик бегущих волн применение комплексных обозначений является существенным, так как эти волны нельзя представить с помощью отдельных членов вида и соз ис1 илн и з!и ис1 с действительной функцией и. я Б. Приведенное во.чнавае уравнение. Рассеяние 313 Мы введем расстояние г=~х — х'~ между точкой х и точкой- параметром х' н вспомним введенные в гл.
Ш „фундаментальные решения" (в несколько нных обозначениях) Ьг — ! ! К (л, х ) = А (г) = — — и К(г) =- —— 4ег К соответствует расходящейся сферической волне, а К вЂ” сходящейся: е — (! — г1 И вЂ”вЂ” 4ег е — ! «!о и=— 4ег причем поверхности постоянной фазы — сферы с центром в х' — передвигаются с единичной скоростью или вовне, к бесконечности, или внутрь, по направлению к центру. Основное свойство фундаментальных решений таково: для любой дифференцнруеиой функции /(х') интегралы /(х)=~ ~ ~ /(х')К(г)л!х' илн ~ ~ ~ /(х')К(г) е(х' (е/х — е/х е(х е(х ), взятые по области переменных х', содержащей точку х, удовлетво- ряют дифференциальному уравнению (. Я = /(х). Доказательство такое же, как в случае а! = О, т. е.
в случае уравнения Лапласа, и может быть опущено. При больших г фундаментальные решения К и К удовлетворяют соотношениям — — йеК~ — — 0 ( —,), ! +1!еК = 0 ( —,), (4') 2. Условие излучения Зоммерфельда. Любое комплекснозначное решение (/ урзвнения (1), регулярное вне некоторой поверх ности В, может быть единственным образом разложено в сумму !де, как обычно, символ 0(1/г') обозначает функцию, убывающую пе медленнее 1/гв.
Согласно А. Зоммерфельлу, условия такого типа характеризуют излучение, соответствующее расходящейся или сходящейся волне. 314 Гл Ю Теория аатенциала и эллиптические йраананал где (/, — регулярное решение уравнения (!) во всем пространстве, а (/э удовлетворяет условию излучения Зоммеуфельда, соответствующему расходящейся волне, вида ') ~ — „,' — ! (/т, дВэ=б; (4) г=.~к-к' ! Г дЯ обозначзеч элемент поверхности большой сферы 8, радиуса р э с центром в фиксированной точке х'. формула (4) будет обоснована ниже.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
