Р. Курант - Уравнения с частными производными (1120419), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Метод интегральных уравнений для плоских областей с достаточно гладкой границей. Другой метод решения краевой д 4. Кдаввал задача задачи в случае двух измерений для некоторых специальных областей, который существенно отличается от альтернирующего метода и от метода выметания Пуанкаре, — это метод интегральных уравнений Фредгольма. Он является обобщением ранее известного метода Неймана, применимого для выпуклых областей. Краевая задача сводится к уравнению Фрелгольма второго рода. Мы не будем излагать этот метод в самых общих предположениях и будем считать, что граница Г может быть параметрически представлена с помощью функций х(4) и у(Г), обладающих непрерывными производными до четвертого порядка включительно.
Мы будем предполагать, что параметр 1 есть длина дуги на кривой Г. Искомая гармоническая функция и(х, у) будет отыскиваться в виде т. е. в виде потенциала двойного слоя с плотностью в(г) на границе Г. Этот интеграл имеет смысл даже тогда, когда точна Р(х, у) лежит на границе Г; пусть этой точке соответствует значение з длины луги, т.
е. Р=(х(г), у(в)). Тогда для любой точки х(в), у(в) на границе Г написанный выше интеграл принимает вид а(х(в), у(з)\=-а(з)= ~ в(Г) " ' Ж, (2) г причем выражение 1 д1(в, Г) сов а 1 дч К(з, 1) = — -- — ' = — — '=.— — — (3) дч гг и дГ (углы и и ф показаны на рис. 17) имеет предел при г' — >з, равный(1/2к))А(в), где л(з) — кривизна р 17 граничной кривой в точке з, в силу наших предположений, дважды непрерывно дифференцируемая, Тогда можно видеть, что само ядро К(в, 7) имеет непрерывные производные до второго порядка.
Мы предположим, что в(1) — непрерывно дифференцируемая функция длины дуги 1. Если точка Р приближается к граничной точке Р, изнутри области, то, согласно теореме о скачке '), полученной в э 1, ') В 4 1. п. 4 предполагалось, что функция в дважды непрерывно дифференцируема, но подробное исследование данного там доказательства показывает, что для получения применяемого здесь частного результата было бы достаточно предположить, что а(Г) только один раз непрерывно диффереицируема (этого достаточно для установления характера разрыва самого потенциала двойного слоя, ио не его нормальной произвадной1. зоо Гл. 1'т'.
Теория потенциала и эллиптические уравнения п. 4, потенциал и(Р) стремится к граничному значению и,(Р ) = =и(Ра) — яа(Р ), нли, в силу (2), к значению и, (э) = — я ~ К(з, с) а(г)И вЂ” па(з), (4) г Представляется разумным провести эти рассуждения в обратном порядке и определить плотность а(в) из интегрального уравнения а (э) = — 1 К (э, г) а (Г) ттт — — у ($), ! (5) г где функция у (в) = и,. (Ра) — это заданные граничные значения. В силу п. 1 мы можем без ограничения общности предположить, что граничная функция у'(э) непрерывно дифференцнруема.
Если а(э) — решение этого интегрального уравнения, то потенциал и= ) а(1) — дт дт дн г внутри 0 удовлетворяет уравнению Лапласа. Вследствие дифференцируемости функций Г(э) и К(», 1) решение а(э) также будет непрерывно дифференцируемым. Другими словами, выполняются условия теоремы о скачке (в случае плоскости) из э 1, п.
4. Поэтому при приближении к г потенциал и стремится к граничным значениям — а ( К (э, 1) а (г) е(т' — и а (з) = Г (э). г Таким образом, мы можем решить поставленную краевую задачу, если мы можем решить интегральное уравнение (5). Теперь к интегральному уравнению (5) можно применить теоремы Фредголвма, доказанные в т. 1, гл, 1П. В терминах, применяемых в нашей задаче, эти теоремы утверждают, что для всякой непрерывно дифференцнруемой функции у(э) существует единственная непрерывно дифференцируемая функция а(з), удовлетворяющая интегральному уравнению (5), если соответствующее однородное интегральное уравнение а(э) = — ~ К(з, 1)а(С)И г имеет лишь тривиальное решение а=О.
Другими словами, доказательство существования для нашей специальной области будет завершено, если мы сможем показать, что ), = — 1 не является собственным значением однородного уравнения Лп(э)= ) К(э, 1)п(г)Н. г з 4, Краевая задача и неравенства которое следует из выпуклости границы. Действительно, если М есть максимум 1о) на ь', то мы имеем 1Л! 1о ! < М ) К (з, () д4 = М г и, следовательно, в точке, где ~о( = М, получаем ()!М <М. Равенство имеет место только тогда, когда о — константа.
Если о ~ О, то М Ф О и, следовательно, %<1, причем !).! =1 только для постоянных о. Но собственное значение, соответствующее собственной функции о = сопз1, есть ) =+ 1, так что мы получаем неравенство — 1 < ) < 1, исключающее значение ), = — 1. В случае невыпуклой границы мы воспользуемся тем, что как мы уже замечали, ядро К(з, г) в силу наших предположений дважды непрерывно дифференцируемо. Из этого следует, что тем же свойством обладают все собственные функции уравнения ), о (з) = / К (и, Г) о (г') Ж. г Но если в(з) есть решение уравнения (6), то вследствие соотношений на скачке из З 1, п.
4 потенциал и(х у)= / (4) —,"д4 г (8) принимает изнутри граничные значения и (з)= ) (г) — з — — — д4 — (з)=О д т (з, г) В случае выпуклой границы с непрерывной кривианой, имеющей длину 1.. этот факт является непосредственным следствием соотношения с Гл. I)т. Теория потенциала и эллиптические уравнения на кривой Г и, в силу теоремы единственности, тождественно обращается в нуль внутри О.
Таким образом, производная функции и(х, у) по внутренней нормали к Г также тождественно обращается в нуль. Теперь мы рассмотрим потенциал (8) вне области О. Так как в нашем случае выполняются условия теоремы о скачке для случая плоскости (см. ч 1, п. 4), то на Г мы получаем внешние граничные значения л, (я) = ~ о (Г) — — мй + -. о = 2 и о (я), дт(я,г) дч г и, тзк как функция о(я) дважды непрерывно дифференцируема, производная по внешней нормали ди,!дч равна О.
Но на бесконечности функция ти, как легко видеть из формулы (1), ограничена; позтому и тождественно обращается в нуль также и вне О (зто устанавливается с помощью леммы на стр. 325) и, в частности, принимает внешние граничные значения и (я) = 2яо(я) =О на Г. Таким образом, всякое решение уравнения (6) тождественно равно нулю: ) = — 1 не является собственным значением однородного интегрального уравнения ),о(я)=- ~ К(я, Г)п(1)д(. Теперь мы довели до конца доказательство существования решения краевой задачи для нашей специальной области О. Аналогичные рассуждения применимы в пространственном случае, хотя там мы должны заменить ядро д (11т))дч, не интегрируемое с квадратом, на интегрируемое с квадратом итерированное ядро, Надо, однако, заметить, что, несмотря на изящество метода интегральных уравнений, он дает худшие результаты, чем метод, рассмотренный ранее, так как даже наличие на границе обыкновенного угла приводит к особенностям в ядре К, что делает невозможным непосредственное применение теории Фредгольма.
4. Замечания о граничных значениях. Разработанные в п. ! и 2 методы лают решение краевой задачи для любой плоской области, ограниченной произвольной жордановой кривой. Однако в случае трех или большего числа измерений дело обстоит сложнее, так как существуют области, для которых краевая задача неразрешима в сильном смысле; другими словами, нельзя ожидать, что при заданных непрерывных граничных значениях зги граничные значения всегда будут приниматься во всех точках границы.
Иллюстрацией етого фактз служит пример, построеннгяй Лебегом. з 4 Краевая задача 303 Сначала мы вычислим потенциал массы, сосредогоченной на отрезке оси х между точками 0 и 1 с линейной плотностью ч(х) = х ! и(х, у, г) =! — ' ' . =А(х, р) — 2х!ояр, !' (3 — х)2+ 22 0 82 у2+ е2 и Л (х р) — [У(1 х)2+ Р2 У х2+ Р2+ + х !оя (1 — х+ )/(! — Х)'-'-+- р'-') (х+ )/хз+ р2) 1, Если к началу координат подходить со стороны полон<итсльных значений х, то функция А(х, р) стремится к 1; однако предел выра- ,кения — 2х!пир существенно зависит от пути, по которому мы приближаемся.
Например, если мы приближаемся к началу координат по поверхности р= /х~~", то — 2х !ояр стремится к нулю для всех и и и стремится к значению 1. С другой стороны, если мы возьмем поверхность р=е-"гз" (с) О, х 0), имеющую „бесконечно тонкое" острие в начале координат, то — 2х !ояр стремится к с и, следовательно, потенциал и стремится к 1 + с. Это значит, что все эквипотенциальные поверхности и = 1 + с (с ) 0) пересекаются в начале координат; кроме того, все производные функции р = у (х), вращением графика которой вокруг оси х образуются эти поверхности, обращаются в нуль в начале координат. Такая поверхность и = 1 + с изображена на рис. 18. Если мы теперь возьмем в качестве основной области О область, ограниченную эквипотенциальной поверхностью и = 1 + с (с ) 0) и будем решать внешнюю краевую задачу для О с граничными значениями и= 1+с, то решение будет задаваться указанной выше функцией и(х, у, с)').
Но из наших рассуждений следует, что если мы будем соответствующим способом приближаться к началу координат, то решение может стремиться к любому значению между 1 и 1+с. С помощью инверсии относительно сферы (--!- 112 1 х — — ! +у'+"=- 2,! 4 и некоторого параллельного переноса мы можем из этого примера получить соответствующий пример для внутренней задачи. Область 0 отображается в область 6' пространства Е и, ~, имеющую в точке 1 : = — †, и = О, ч = 0 бесконечно тонкое острие, направленное внутрь ~) Здесь применяется принцип максимума для гармонических и П функций, ограниченных в 6 и непрерывных в О + Г всюду, за исключением конечнога числа точек на границе; см. Петровский [!), изд.
3, стр. 261.— Прим. ред. ЗО4 Гя, У'в'. Теория потенциала и эллиптические уравнения (см. рис. 19). Граничные значения 1+с переходят в граничные значения — 1-Л'+"-ьМ 2г непрерывные на Р', решением внутренней краевой задачи для области Си с этими граничными значениями является регулярная в 6' гармоническая функция 1 ! $ 1 о (Е т, «) = — и ( — -+ —, 2г (4гэ 2 ' 4ТВ ' 4г'/' 1 Приближаясь к точке «= — —, 9=0, «=0 по соответствующему 2' пути, мы можем снова получить в пределе для о любое значение между 1 и 1+с. В томе 1П для случая трех или большего числа измерений мы заменим требование, чтобы функция точно принимала заданные гра- Рис. 18. Рис. 19. ннчные значения в каждой точке границы, более слабым требованием, чтобы граничные значения принимались в среднем; это требование также достаточно для того, чтобы решение определялось однозначно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
