Р. Курант - Уравнения с частными производными (1120419), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Серрин [1] и Мозер [2], См. также б 7 и 8 н приложение в работе Берса в Ниренберга [2). 271 Р 2. Ингеерня Прае»ана а еео приложения 77 3+ 2» (1 4) соитие п'зосшго. Из этого слелу»ц что г +2кр, 7 ш~ -.-.-'--рг-- с'. »У -1 0(е) (15) гле г) стремится к нулю вместе с я; следовательно, , 'и ( ( 1 при достаточно малых а.
Ясно, что функцию К(ш) можно разложить в ряд по тв, абсолютно сходгицнйся прп; м ' < 1. Поэтому, разлагая степени ш на отдельные члены, мгя можем получить ряд по степеням х,, х..., х„'! , »„, при достаточно малых а он сходится к К(то), если точка , »и паход~гтся в шаре (13), а хп х,...., х, — в шаре (14), сел г этот степенной ряд на сфере я = — )с умнов»ить на 1 — рг)йг, ~о он совпад;т с ялром интеграла Пуассонаа). ') Ядро Пуассона, опрелелениое 4юрмулой (10) лля я ( 71, нельзя представить в взле степенного ряда для я . 7», так как это ядро имеет особенность прн ! †.х. ') Часто бывает полезно разложить ядро Пуассона по степеням р(71; ори этом получается ряд В случае п = 2 ,'„(соэ 0):= 2' Т, (сог аи и замет ок что функция (1 — — ',1К(ш(х, ',)) совпадает с ядром интеграла Пуассона 7» 2р аг ггг г (1 — — саг 0+ '.
) 7» ' ' Ф если точка (»о, »г, ..., ';н) лежи г на сфере х = )с. Мы разложим функпню К(ю) по степепялг х,, хю ..., х„; '=,, „'„..., »и, чтобы получить представление ялра Пуассона в виде степенного ряда, справедливое лгы х.=- l» '). Заметим, что функция ш прелставляет собоИ миогочлен относительно х и, причем каждый его член неотрицателен, если все произвеления х,», (г = 1, 2, ..., и) неположительны. Для произвольного а > О мы будем рассматривать точки ";=(1», »а, ..., ",„) и х =(хн хг, ..., х„'1, нахолящлеся о шарах хн (1+а)й (13) 272 Гм 7г. Теория погенниплп и эллиптические Ерпвпенпл Наконец, для гармонической функции и интегральная формула Пуассона дает ряд по хп ..., х„, сходящийся в шаре (14), Другим следствием формулы Пуассона является следующий Пгинцип отглжвния.
Если гармоническая е области и непрерывная вплоть до границы функция обращается е нуль на сферической или плоской части границы, то ее можно (аналитически) продолжить при помощи отражения через зту часть границы с сохранением гармоничности. Доказательство достаточно провести для куска плоскости (или прямой) Я, который является частью границы полушара (или полукруга) Н'). Пусть функция и гармонична в Н и непрерывна в Н+Г, причем ее значения на 5 равны нулю. Отразим область Н относительно 5 и получим таким образом шар (или круг) К. Зададим теперь граничные значения на границе К. Каждой точке Р на Р— Я мы ставим в соответствие значение и(Р), а в каждой точке Р на той части границы К, которая является отражением где Т„обозначает ч-й полипом Чебышева (си. т.
1, гл. И, З 9, п. 2, сгр, 82). Паттону гч,(сов О) = 2 сов чз, ф, (сов О) = 1 н 0 1 —— « =1+2 ~ ( ~ ) сов «0, 1 — 2 — - сов О+ —- Р !7к .=1 В случае и = 3 ф. (сов О) = (2ч+ 1) Р„(сов О), где Р„(х) обозначает «-и полинам Лежандра (см. т. 1, гл, П, З 8, стр. 77). Здесь ! — — в Р О (2ч+!) ~ —., ) Р, (сов 0). — — ")' 1 — 2 ф сов 0+ ~ ! ° о рв/ Применяя сопряженные функции Лежандра Р, «(х) для ч > О, мы можем записать выражения Р, (сов 0) в виде (2«+ 1) Р, (сов О) = Р„(сов р) Р, (сов р') + ч + 2 ,.в ( + й)! сов А (у — т') Р„, л (сов 8) Р,в (сов р'), чьч (ч — й)! в-1 где сов 0 = сов 8 совр'+ в!и р в!и р' сов(т — 7').
') Если область 6 имеет плоскую часть границы, то мы будем пользоваться полущарами, лежащими в 6, с центрами на втой плоскости. Отражение отгосительно поверхности сферы так же просто, как отражение относительно плоскости. 273 В 2. Интеграл Пуассона и его ттриложенал (зеркальным изображением) точки Р' на à — 5, мы зададим значение — и (Р'). Тогда интеграл Пуассона дает гармоническую функцию (л', регулярную в К и принимающую заданные граничные значения. Естти зеркальное отражение каждой точки Р из К мы обозначим через Р', то ясно, что не только (т'(Р), но также и — (т(Р') (как функция Р) является решением краевой задачи для К.
Из этого вследствие единственности решения краевой задачи мы заключаем, что (л'(Р) = — (,т(Р') для всех точек Р из К и, следовательно, функция (т' обращается в нуль на 5. Наконец, так как и(Р) и (т'(Р) совпадают на (всей) границе Г области гт, мы в силу единственности можем сделать вывод, что и == †(/ в г(. Аналогичный принцип отражения можно доказать для таких гармонических функций, у которых нормальная производная обращается в нуль на Ю, В этом случае и надо продолжать через 5 четным образом. Из интеграла Пуассона можно также вывести следуюгцую важную теорему. ТеОРемА Вейвгштьлссл о сходимости.
Постгедоватетгьность гармонических функций и„, регулярных в О и непрерывных в О+Г а таких, что их граничные значения уа сходятся равномерно на Г, равно.керна сходиотся в 0 к гармонической функции, принимающей граничные значения 7 = — Вш У„. Мы здесь ограничимся случаем двух или трех измерений, не теряя при этом общности наших выводов, Утверждение теоремы Вейерштрасса о равномерной сходимости непосредственно следует из принципа максимума.
Действительно, если каждая из гармонических функций а„регулярна в 0 и непрерывна в О+Г, то те же утверждения справедливы для разности и„— а при произвольных п и т; поэтому эта разность принимает свое максимальное (и минимальное) значение на границе.
Следовательно, для всех точек замкнутой области 0 +Г мы имеем неравенство (и„— и ! (шах))'а — у„(, из которого сразу следует равномерная сходимость в О и тот факт, что функция и=Вши„принимает граничные значения ) =Вшуж Из интеграла Пуассона видно, что предельная функция и удовлетворяет в 0 уравнению Лапласа. Действительно, пусть К вЂ” произвольная сфера радиуса П, целиком содержащаяся в 0; обозначим через и„ и и соответственно граничные значения и, и и на К, Тогда внутри К для любой функции и„, а следовательно, и для функции ц 274 Гл. 1Г Теория потенции,ю и ил шигичесние кривления с граничными значениями и справедлива интегральная формула н)Ь'~ — г') 1' Г и йи 4Я ) .1 1гг+Рг 2рй соз 0)н' к нз которой сразу следует, что и — гармоническая функция внутри К.
Другим следствием является теорема Харнака — также теорема о сходимости. Тгогямл Хлгнлкл. Ес,ги неубывающая или невозрастающая последовательность регулярных гармонических функций в области 0 сходится в некоторой' точке О, то она сходится во всех точках О и сходимость равномерна в любой замкнутой внутренней подобласти. Достаточно доказать эту теорему для неубывающей последовательности. Для произвольного т н п ) т рассмотрим неотрицательную разность св = и„ вЂ” и,„ и построим шар К, радиуса а, лежащий в О, с центром в точке сходимости Р.
Если. 0 — любая другая точка этого шара, а р ( а — ее расстояние до центра Р, то неравенство Харнака дает 6 < И4)) ( -". +-',— Т) )~. ', ) 116) ) ивР)) < М, то в любой замкнутой внутренней подобласти из О множества их производных [и„), )и ) и )и,) такзке равномерно ограничены. Рассмотрим шар К радиуса а с центром в Р, лежащий внутри 0; поверхность его обозначим через 3. Так как и„— гармоническая Это показывает, что последовательность и„равномерно сходится в любом шаре радиуса с<а — 6. Так как любую замкнутую внутреннюю подобласть 0 можно покрыть конечным числом шаров соответствующим образом подобранного радиуса г(а, лежащих целиком в О, то утверждение теоремы доказьгвается многократным применением только 'что проведенного рассуждения; гармоничность предельной функции в 0 следует сразу из интегральной формулы Пуассона или из теоремы Вейерштрасса.
Теперь мы сформулируем теорему, имеющую фундаментальное значение. Если множество регулярных гармонических функций )и1Р)) равномерно ограничено в О, т. е. если для всех функций и этого множества и для всех точек Р области 0 й д Интеграл Пуассона и его ссриложения 275 функция, то справедлива теорема о среднем значении «„(Р)= — „', Ои.
Ю. Отсюда легко получается теорема о среднем значении по К: (см. й 3). Интегрируя по частям, получаем и (Р)= — ) ) и — -бЯ, 4та',),) дг Так как )дхСдч). 1 и )и)(М, то отсюда получаешься оценка )и„(Р)) < — , (17) Аналогично мы получаем )и ( ))С'~ )сс,(Р)) < (18) (19) Пусть теперь О, — замкнутая подобласть О, причем расстояние точек этой подобласти до границы г больше, чем а; тогда для всех точек Р подобласти О, и всех функций и(Р) нашего множества справедливы написанные вйше неравенства, что дает доказательство теоремы. Прямым следствием этого результата является следуюшая теорема о выборе (теорема о „компактности"). Из любого равномерно ограниченного множества регулярных гармонических функций а области О можно выбрать последовательность и„(Р), равномерно сходящуюся к некоторой гармонической функции е,гюбой замкнутой внутренней подобласти О' области О.
Так как производные функции и также равномерно ограничены з любой фиксированной внутренней замкнутой подобласти, то множество )и(Р)) в этой подобласти равностененно непрерывно, а это ооеспечивает возможность выбора равномерно сходяшейся последовательности (см. т. 1, гл.11, 5 2, п. 1). Снова иа теоремы Вейерштрасса мы заключаем, что предельная функция и гармонична в О. В частности, наши рассуждения позволяют утверждать, что любая сходящаяся пос,гедовательность разномерно ограниченных гармонических функций обязана сходиться разномерно е любой замкнутой подобласти, а следовательно, имеет е качестве предела гарлсоническую функцию.
276 Гл. 7(г. Теория потенциала и эллиптические уравкеьия р 3. Теорема о среднем значении и ее приложения 1. Теорема о среднем значении для однородного и неоднородного уравнения. Мы уже рассматривали теорему о среднем значении для гармонических функций. Для любой регулярной и гармонической в области О функции и среднее значение по поверхности (2и сферы радиуса Р, цв гиком содержащейся в О, равно значению ио этой функции в центре сферы, ио= 4ярз 3' 1 ийгзп.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
