Р. Курант - Уравнения с частными производными (1120419), страница 49
Текст из файла (страница 49)
где !я(хн х, ..., хл) — заданная функция точки х. Решения уравнения Лапласа, обладающие з 0 непрерывными в>орымн производными, называются регуллрнил>и в О. (Далее мы увидим, что следствием регулярности решений и чнляется их аналитичность.) Здесь, как и в дальнейшем, О обозначает аширы>пу>о связную и, если не оговорено противное, ограниченную> область пространства.
Через О+ Г мы обозначаем замкну>пу>о обтасть, которая получается нз 0 добавлением границы Г. Аналогично, если функция и непрерывна в О, то решения уравнения Пуассона с непрерывнымн вторымн производными называются регулярными. Мы сначала рассмотрим случаи п=2 и п=3, причем координаты х,, хг н хн х,„ хз будем обозначать х, у и х, у, г соответственно. Для и = 2 „общее решение" уравнения Лапласа является действительной частью произвольной аналитической функции комплексного псременного х + (у.
Для п = 3 также легко можно получить решения. зависящие от произвольных функций. Наприлтер. пусть функш>я т(ш, т) аналитична по комплексному переменному ш при фиксированных действительных г. Тогда при произвольном аначении г и леяствительная, и мнимая части функции и=>'(г+(хсозг+(уз(пг, г) 244 Гд 1И Теория потенцссала а ятлаптаческие уравненсся и = 2г'етзв ~ (соз 8 +Сз)п 8 сон С)п сов пайс, о т. е., с точностью до постоянного множстеля, функции и = гаесь"Рп п(соз 8), где Р„п(х) — сопряженные функции Лежандра (см.
т. 1, стр. 426). Т)рй переходе к полярным координатам г, 8~ для и= 2 или сферическим координатам г, О, у для и = 3, т. е. при замене х=гсоз)~, у = г э!псу на плоскости или х= тяп 8созср, ~ у = гяп0 япсо, г —.— г соз 0 в пространстве, оператор Лапласа принимает вид 1(д д !а,11 асс= — ~- — (ги,)+- — 1 — ' / (а=2', (д д д С сс„ Ьи = ) — (гси, яп О) + — (иь з)п 8) +— г'з1п З "дг да ь д; )тяпзс (и = 3) (см. т. 1, стр.
200). Из этих формул можно вывести следующую часто применяемую теорему. Если и(х, у) — регулярная гармоническая функция в п.соской области Ст, то функция о(х, у) = и(-; —, — э) (ге =-ха+уз) (6) такэке удовлетворяепс уравнению Лапласа и регулярна в области ст', полученной из Ст с помощью инверсии относительно единичного круга. Соответствующая теорема справедливз и в пространстве, но там мы должны положить 1 С х у о=-и(' —,, — ',—, —,-~ (та=хе-,-уз+=а).
(Т) Для того чтобы доказать теорему, мы вводим полярные координаты н показываем, что если функции и(г, и) и и(г, 8, р) гармонические, то функции о(г, сь) = и(1,'г, су) и о(г, 8, ср) = и(11г, 8, е)сг зависящие от х, у, г. Вводя сферические координаты г = г соз 8, х= г з)п 0 совр, у = тяп 8япуч получаем Э !. Основные ьонлгия 245 также гармонические.
Это сразу следует из формул !б), если замети гь, что 1 с! ! д г' — -- !го,) .== — — 1ри ) г дг ' р др ' Р ! д г 1 д г — ггго гбп б) = — . — (рги шп 6) уьз!па дг г ргз!ПЗ дь ь для п=2, для и —.-3, где р =-1/г. Читатель может проверить, что в и-мерном пространстве справедлива аналогичная теорема для функции ! ! х, х, х„ г" ' ! г' ' г' ' ' ' '' г' Таким образом, с точноспьью до множиьлеля гг " гармоничность фунгсции сохриняелгся при инверсии относительно сфер. Кроме того, гармоничность полностью сохраняется при преобразованиях подобия, переносах и простых отражениях относительно плоскотпей. Пусть функция и регулярна и гармонична в ограниченной области О.
При инверсии относительно единичной сферы с центром в некоторой точке О, например в начале координат, внутренность области 6 переходит во внешность О' образа Г' границы. Гармоническая функция а и= — 1 — а+— Г при произвольном а гармоничны зне единичной сферы и принимают значение 1 па этой сфере, Но и =1/г — единственная функция этого семейства, регулярная во внешности единичной сферы.
называется тогда регулярной в этой внешней области 0'. Итак, мы определяем регулярность в области О, простирающейся до бесконечности, следующим образом: при помощи инверсии относительно единичной сферы с центром в некоторлй точке вне 6 мы переводим 0 з ограниченную область 0'. Гармоническая функция и называется регулярной в О, если указанная выше функция о регулярна в О'.
В частности, функция и называется регулярной в бесконечности, если О содержит некоторую окрестность бесконечно удаленной точки, а значение и в бесконечности задается так, что функция о регулярна в 6'. Согласно этому определению, например, функция и = сопз1 регулярна в бесконечности на плоскости, но не регулярна в пространстве трех или большего числа измерений. В трехмерном пространстве функции 246 Гл. Лт. Теория потенциала и эллиптические уравнения В пространствах любого числа измерений единственными решениями уравнения Лапласа (1), зависящими только от расстояния г между х н фиксированнои точкой Е например, началом координат, являтотся (с точностью до произвольных мультипликативной и аддитивной констант) функции 1 .((т) т2 — п (и ) 2) (и 2) 'чп 1 1 , (т) = — 1од— (и = 2), которые при г=О имеют так называемую характеристическую особенность. Любое решение уравнения Лапласа, имеющее в области 6 вид ф(хт, Х2, ..., Х; (т, 12, ..., (п) = !В(Х, 1) =, (!')+ М где точка ( находится внутри 6, а функция м регулярна, называется фундалтенталънылт ре!иениелт с особенностью в точке '„(см., например, гл.
Ш, ф 2). Соответствующие фундаментальные решения легко получить также и для более общего дифференциального уравнения Ьи+ си =О, где с — некоторая постоянная. Вводя полярные координаты, мы ищем и решения вида и=,'(т), где т2=~~ (х,— с„)2. Для функции ф мы ! получаем обыкновенное дифференциальное уравнение (10) ЕСЛИ ПОЛОжИтЬ !)(Г)=т-и !п-21~(~тСт), тО Эта ураВНЕНИЕ ПЕрЕйдЕт в уравнение Бесселя ф=!' и'" !У-!а!„2(1 ст), а для четных и тЬ!п21ЛГр((~/Ст) где Х„есть ч-я функция Неймана (см. гл. В1, ф 2). (12) (1В) Искомое фундаментальное решение (! является тогда просто решением уравнения (11), не ограниченным в начале координат. Таким образом, для нечетных и мы имеем 4 1.
Основные понятна 247 2. Потенциалы распределения масс. Для п=3 фундаменталь- ное решение уравнения Лаптаса имеет впд 1 1 г 1'(х,-)г «(у .,)г ь(д «)г н ф,зически соответствует гравитационному потенциалу, который создается в точке Р(х, у, а) единичной массой, сосредоточенной в точке ((, т. ".) '), Пусть (г(;, тр ') — плотность распрелелшшя масс в пространстве ';, «1, ".. Интеграл н(, у, ) = ~ ~ ~ "'; 4)-д;-д,д~ о (гг =- (х — г)г+ (у — т~)г+ (з — ".)'), (14) распространенный на соответствующую область 0 пространства, называется потенции.го.и просгпранственного распределения масс с плоспнос«нью (г в области О.
Если точка Р с координатами х, у, ;г лежит вне области О, то с помощью дифференцирования под зна- ком интсгралз мы сразу получаем, что и — гармоническая ф>нкция. Если точка Р лежит в области О и если функция р кусочно-непр- рывно дифференцируема г), то, как мы видели раньше (см. т. 1, гл т), потенциал и удовлетворяет уравнению Пуассона Ьи = — 4кр. (1б) В общем случае и измерений интеграл, образованный с помощью фундаментального решения .1 (г): и(х,, хг, ..., х„)=и(х)= / р((г, "",г, ..., с„) 7(г) дг, дг~ ... дс„, (14а) о ') Здесь и далее слово потенциал >потребляется в физическом смысле.
Оно обозначает величину, градиент которой дзет поле сил. Понятие потенциала обычно связывают с уравнением Лапласа. ') Необходимо напочннть следуюнгее определение: поверхность называется кусочно-гладкой, если она составлена из конечного числа частей, каждая из которых конгруэнтна поверхности, заданной функцией -тп =- к = У (.т~ хь ° Х»- г) тле функция / непрерывна и имеет непрерывные первые производные в соответствующей области, включая границу. Если, кроме того, каждая функция 1' имеет непрерывные производные второго порядка, то говорят, что поверхность имеет кусочно-не«грернвную кривизну. Очевидно, что аналогичные определения можно применять и к кривым.
Функция называется кусочно-непрерывной в 6, если она непрерывна в 6, за исключением разрывов первого рода в изолированных точках или на кусочно-гладких кривых или поверхностях, и если имеется только конечное число таких разрывов в любой замкнутой подобласти 6. Если первые произволные непрерывной функции кусочно-непрерывны в 6, то эта функция называется кусочно-непрерывно дисаференцируемой в 6. 248 Гл. !1т.
Теория потенциала и эллиптические уравнения и,(х, у, г)= ~ ~ / р.(1, э), ч)уь(т)д(дт,д(, (16) о где у',(г) — вспомогательная функция, которая отличается от фундаментального решения 11г только в малом шаре г ~(8 радиуса е; внутри етого шара уь(г), в отличие от !/г, ограничена. На поверхности шара она переходит в 1/г непрерывно и с непрерывной производной. Например, можно положить — (3 — — э), г <8, Л(г) = г ь 8.
г' (17) Из неравенства 1аь — и~ (4иМ ~ 1у', + — ) ггаг= — Мйг, 11 18я г о (18) гда М обозначает максимум 1ф, сразу следует, что последовательность и, при 8 — и О равномерно сходится к потенциалу и для всех х, у, г и что функция и равномерно непрерывна. Из дифференцируемости функций Т,(г) = а(х — 1, у — э), я — ч) сразу следует дифференцируемость функций и, Действительно, мы имеем — г" ь (г) д1 дэ) ссч.
и где область интегрирования 0 пространства 1 содерзсит точку х, удовлетворяет уравнению Пуассона Ьсг = — р(х), (15а) если функция р имеет непрерывные производные. Этот интеграл также называетси потенциалом распределения масс в области 0 с плотностью 1м Сейчас мы дадим доказательство при несколько более слабых предположениях относительно р и рассмотрим решение и с другой точки зрения.
Однако сначала мы докажем следующую теорему. Пусть р(х, у, «) — ограниченная (по абсолютной величине) и интегрируемая функция в области б. Тогда потенциал (14) и его первые производные всюду равномерно непрерывны; зта производные можно вычислить с помои(ью дифференцирования под знаком интеграла.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
