Р. Курант - Уравнения с частными производными (1120419), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Характер дополнительных условий, таких, как краевые или начальные условия, также подсказывается физической реальностью. Тем не менее необходимо дать обоснование с чисто математической точки зрения. Однако мы не хотим предпринимать попытку полной систематизации; вместо этого мы установим в связи с некоторыми типичными примерами важные руководягцие принципы, которые будут подтверждены дальнейшим ходом наших исследований. Основной принцип состоит в следующем. Краевые задачи естественным образом связаны с эллиптическими уравнениями, а задача Коши, сметанные зада~и и задачи излучения возникают в связи с зиперболически.ки и параболическими дифференциальными уравнениями.
Математическая задача, соответствующая физическому явлению, должна удовлетворять следующим основным требованиям. (1) Решение должно существовать. (2) Решение должно определяться однозначно. (3) Решение должно непрерывно зависеть от данных задачи (требование устойчивости) '). Первое требование выражает естественное условие, чтобы на решение не накяадывалось слишком много ограничений, т. е.
чтобы среди этих ограничений не было противоречащих друг другу. Второе требование соответствует полноте задачи: неопределенность или неоднозначность должны быть исключены, если они не присущи самой физической ситуации э). Третье требование, особенно тонкое, необходимо, если мы хотим, чтобы математическая вадача описывала действительно наблюдаемые физические явления. В действительности данные задачи нельзя считать строго фиксированными; сам процесс измерения вводит малые ошибки. Например, пространственные или временнйе координаты всегда заданы в некоторых пределах точности.
Поэтому считать, что математическая вадача правильно описывает физическое явление, можно только в случае, когда изменение данных задачи в достаточно малых пределах приводит к произвольно малому изменению решения. Это требование „устойчивости" имеет с>щественное значение не только ') При этом предполагается, что для всяной конкретной задачи должно быть указано, в каком смысле нужно понимать эту непрерывность. Для этого должны быть введены нормы з пространстве функций, составляющих данные задачи, и в пространстве решений. Условие (3) сведется к требованию, чтобы малым яо норме изменениям функций, составляющих данные задачи, соответствовали малые по норме изменения решения.
Чаще всего в линейных задачах требование (3) выражается так, что функциям, составляющим данные задачи, которые малы по модулю вместе с производными до некоторого порядка г, соответствует малое по модулю реп1енне. — Прим. ред. ') Бывают случаи, когда требование единственности не является естественным. Например, для кратных собственных значений сунгествуют целые семейства решений задачи о собственных значениях. 230 Гл.
111. Дифференциальные уравнения высших нарядное для того, чтобы задача математической физики имела смысл, но и для прибличкенных методов. Задача, удовлетворяющая всем трем требованиям, называется корректно поставленной задачей. Другое важное обстоятельство подсказывается примером задачи Коши и задачи излучения. Во многих случаях ясно, что решения не зависят от всей совокупности данных аадачи; возникают вопросы об области влияния данных задачи или об области зависизеости решения. В подтверждение этих общих высказываний будет дано несколько примеров, которые помогут разобраться особенно в нашем третьем требовании. Сначала мы рассмотрим эллиптическое уравнение Ьи = 0 в области О с границей Г. Существование решения уже было доказано, по крайней мере, для таких частных областей, как круг, шар или прямоугольник (см. т.
1, гл. Н, ~ 15; общее доказательство будет дано позднее в гл. 1Н). Во всяком случае краевая задача для любой кусочно-гладкой границы удовлетворяет нашему требованию единственности. Это сразу следует из того, что любая гармоническая в О и непрерывная в О+Г функция принимает свое минимальное и максимальное значение на Г (см. гл. !Н, Э 1); следовательно, эга функция тождественно обращается в нуль, если ее граничные значения равны нучю. Если мы имеем два решения, соответствующие одинаковым граничным значениям, то их разность является гармонической функцией, принимающей нулевые значения на границе; следовательно, эта разность тождественно обращается в пучь.
Поэтому два таких решения совпадают. Требование, чтобы решения непрерывно зависели от граничных значений, также вьаолняется. Разность двух решений, граничные значения которых всюду отличаются на величину, по модулю меньшую е, является гармонической функцией и не может быть по абсолютной величине больше г внутри О, так как она принимает максимальное и минимальное значение на Г.
Поэтому краевая задача для уравнения Лапласа корректно поставлена в соответствии с нашим определением. Кроме того, мы видим, что областью зависимости для решения в каждой точке области 0 является вся граница, т. е. знзчение решения и в любой замкнутой подобласти О, зависит от граничных значений на любой части границы Г, Если бы некоторая часть С границы Г не влияла на значение и в подобласти О,, то мы в этой подобласти получили бы то же самое решение и.
изменив граничные значения на С и не меняя их на остальной части границы С'. Составив разность этих двух граничных значений, мы получили бы в О решение и, тождественно равное нулю в Оы соответ З 6. Типичные задачи 231 ствующее граничным значениям, не равным тождественно нулю и, например, неотрицательным. Очевидно, что зто невозможно, так как гармоническая функция и принимает минимальное значение внутри области только в том случае, ко~да и = — сопки (см.
гл.!Н, 2 1, п. 3)'), В отличие от краевой задачи задача Коши для уравнения Лапласа поставлена некорректно. Мы пока>кем. что первое требование (существование решения) и третье требование (непрерывная зависимость от данных задачи) нарупзаются. Зададим, например, для уравнения Ьи = 0 начальные условия и(х, 0)=О, и (х, 0)=д(х).
Согласно одному из принципов теории потенциала (см. гл. 1Н), любое решение мо.кет быть с помощью отражения продолжено из верхней полуплоскости у ) 0 в нижнюю полуплоскость и автоматически оказывается аналитическим на оси х. Таким образом, функция и (х) должна быть аналитической функцией х и не может задаваться произвольно; например, она не может быть всюду дважды непрерывно дифференцнруемой, но не аналитической функцией. (В случае аналитических начальных данных решение было построено в гл. 1, й 7.) Следующий пример, приведенный Адамаром, показывает, что решение такой задачи Коши с аналитическими начальными данными не зависит непрерывно от начальных данных.
Рассмотрим последовательность задач Коши для уравнения ли=О; для и-й задачи (и= =1, 2,...) мы залаем аналитические начальные условия и (х, 0) = О, и (х, 0) = и„(х) = — '"- — ' вти функции при п — ь со равнолчерно стремятся к функции д(х) =-О. Решение задачи Коши с данными д, имеет вид зй пу з!п пх и(х у)= При возрзстании п зто решение нс стремится к решению и= — О, соответствующему начальным значениям с д(х) = О. Другими словами, хотя мы изменяем начальные данные произвольно мало, изменение решения уже не будет малым т). Таким образом, задача Коши для уравнения Лапласа некорректно поставлена. Более общая теорема такого рода была дана на стр. 219.
С другой стороны, задача Коши для простейшего гиперболического уравнения, > равнения струны ичт — ип = О, >довлетворяет всем ') Это утверждение также легко следует из аналитичности гармонических функций. — Прим. ред. з!п пх зй пу в!пах ') Легко видеты что если да = — —, торешеннеи(х, у)=- а пг 1 и'т не стремится к нулю прн л-э=.п, хотя ик-эо при а-эсо виесте с производными до порядка г.
— Прим, ред. 232 Рл. ПА Дифференциаявные уравнения высших порядков трем требованиям. Начальным условиям и(х, 0)=р(х), п,(х, 0)=ф(х) при 1 ) 0 соответствует решение кег 2и(х,1)=2(х+Г)+ср(х — 1)+ ~ ф(т)еИ. Решение этой задачи для гиперболического уравнения существует, определено однозначно и, очевидно, непрерывно зависит от заданных начальных функций р(х) и ф(х). Что же касается области зависилшстн для решения, то и(х, 1) зависит только от значений я(с) и ф (8) там, где х — г ( $ ( х + с Однако для этого гиперболического уравнения краевая задача была бы лишена смысла.
Если, например, мы заменим волновое уравнение эквивалентным уравнением и„, = 0 для функции и(х, у), то мы уже не сможем произвольно задавать граничные значения, капример в случае прямоугольника со сторонами, параллельными осям координат. Так как производная и должна принимать одинаковые значения в противоположных точках сторон х = сопя( и так как аналогичное учверждение справедливо для и, то функцию и можно задавать произвольно только на двух примыкающих друг к другу сторонах.
и сле. довательно, вообще говоря, краевая задача не имеет решения'). Соображения, аналогичные использованным для гиперболического уравнения, можно применить н в параболическом случае, например к уравнению теплопроводности. Высказанные здесь общие положения по вопросу о том, когда задачи для дифференциальных уравнений поставлены корректно, будут уточнены н расширены в последующих частях этой книги. 3. Замечания о „некорректно поставленных" задачах. Требования, сформулированные в п. 2, относительно существования, единственности и устойчивости решений преобладают в классической математической физике. Они глубоко и неотъемлемо связаны с представлением об идеальном физическом явлении, которое полностью, единственным и устойчивым образом определяется подходящими условиями на границе, на бесконечности, при 1 = 0 или в прошлом, Крайним выражением этой поаиции является утверждение Лапласа о возможности определить все будущее физического мира, если имеются полные данные о состоянии в настоящий момент.
Однако этот разумный идеал причинно-математической определенности постепенно разрушался при сопоставлении с физической реальностью. Нелинейные явления, квантовая теория и возникновение мощных численных методов показали, что „корректно поставленные" задачи — это ') О краевой задаче для уравнения струны см. Ар ноя ьд В. И., ПАН СССР, матем., 25 (1961),2! — 86; там же имеется библиография. — Прим ред.
4 6. Тааачнме задачи 233 далеко не единственные задачи, правильно отражающие физические явления. Однако, к сожалению, до сих пор мало сделано с математической точки ареиия в таком важном вопросе, как решение или даже выделение и формулировка тех задач, которые „некорректно поставлены", но все же имеют важное значение и описывают реальные явления. В этой книге в основном (но не исключительно) рассматриваются классические корректно поставленные задачи. Тем не менее мы можем привести несколько примеров таких задач, имеющих смысл, но некорректно поставленных.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
