Р. Курант - Уравнения с частными производными (1120419), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Как и в п. 1, мы можем составить скалярное произведение А[и! и произвольного л-мерного вектора и и проинтегрировать его по области О с кусочно-гладкой границей 1'. Затем мы интегрируем выражение оА[и] по частям, чтобы перенести производные с функции и, Тогда мы получаем соотношение вида л пЕ [и] — иб" [о! = э' Р,', = г[1 ч Р ~=1 или, после интегрирования, (5) / ~ (от,[и] — и(.*[о!)г(х = ~ Р! 48, (6) очевидно, является самосопряженным, т. е, Е*=С. Затем мы рассмо- трим оператор первого порядка 1[и] = 01и, где О = д/дх), ясно, что С'[и! = — О и.
Сопряженным оператором к оператору первого порядка с[и]= ~ А'и,+Ви, где Р— вектор с компонентами Р', д8 — элемент границы г", а [в единичный вектор внешней нормали к 1'. Компоненты Р' бнлинейно зависят от функций л, о и нх производных и имеют коэффициенты, которые могут зависеть от х. Оператор Е* однозначно определяется равенством (5), в то время как вектор Р определяется лишь с точностью до произвольного адднтивного вектора В, дивергенция которого тождественно равна нулю.
Однозначно определенный таким образом оператор Г называется сопряженным к Е. Он преобразует гг-мерный вектор в 1-мерный, Очевидно, что интеграл от (о, г'.[и]) соответствует билинейной форме, рассмотренной в п, 1. Если функция и и ее производные, или и и ее производные, обращаются в нуль на границе, то интеграл по границе в формуле (6) равен нулю и наше определение без изменений соответствует определению из п.
1. Приведем несколько примеров. Оператор Е нулевого порядка Е[л]=ал, 239 Е' 2. Сопряженные операторы как в $ 2, является оператор Е'1о! = — !оА'), + Во, а вектор Р имеет компоненты Р, = (оА"и). Для скалярного оператора второго порядка Е)и) = ~ а "ии+ ~~а'и, + Ьи сопряженный оператор имеет вид а компоненты Р задаются формулами ! Козффициенты аы могут быть матричными, т. е.
оператор может быть системой отдельных операторов. Для самосопряженного оператора матрицы аы должны быть симметричными н должны выполнятьсч соотношения Если Š— оператор порядка т, записанный в ниде') Е1и1= ~ ай и, ~ н~ то Е' = '„Р ( — 1)' Р Ю а и. Иногда, чтобы образовать сопряженкые операторы и венторы Р, можно пользоваться следующим соотношением для произведения двух операторов: (Е.М)' = М'Ен которое легко установить. ПРИЛОЖЕНИЕ 2 К ГЛАВЕ /П ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ ГОЛЬМГРЕНА Решение залачи Коши в малом существует и единственно для шобого аналитического дифференциального уравнения, если начальные данные аналитические, начальная поверхность аналитическая ') Относительно обозначений см.
гл. е'1, з 3, п. 1 Йрилолсение 2 к гл П! н нехарактеристическая и если само решение предполагается аналитическим (см. гл. 1, 9 7). Для неанзлитических начальных данных илп уравнений нельзя, вообще говоря, ожидать, что решение с)чцествует, не вводя дальнейших ограничений, таких, как гиперболический тнп уравнения и пространственный характер начального многообразия и данных задачи. Замечательно, однако, что единственность решения все же можно доказать даже з тех случаях, когда теоремы существования для произвольных начальных данных уже неверны.
Важнейшая теорема такого рода была доказана Гольмгреном [1]. Онз касается линейных аналитических ') дифференциальных уравнений с произвольным числом независимых переменных и относится как к отдельным уравнениям, так и к системам. Если Л [и] — линейный дифференциальный оператор с аналитическими коэффициентами и если начальные данные Коши обраиьаатся в нуль на гладкой нехарактеристической поверхности Зэ, то любое решение и уравнения Е[и]=0 с эти.иа начальными данными тождественно обраиьается в нуль в достаточно малой окреспгности любой замкнутой подобласти Зр. Заметим, что в этой теореме предполагается, но не утверждается, что решение и существует.
Ясно, что эта теорема утверждает единственность решения для произвольных, не обязательно аналитических начальных данных на Зэ, так как разность двух решений с такими даннымн соответствует нулевым начальным данным, и, следовательно, согласно сформулированной выше теореме, тождественно обращается в нуль. Доказательство по существу очень простое. Рассмотрим линзообразную область О, ограниченную достаточно малой частью Зэ и близкой аналитической поверхностью 5. В окрестности 3 мы решим задачу Коши в обратном направлении для неоднородного дифференциального уравнения Еьо= р(х) с нулевыми начальными данными, где Е' — оператор, сопряженный к Е, а р — проиавольный полинам от переменных хн ..., х„.
функ- ') Рассуждения Коши и Ковалевской показывают только, что не может существовать более одного аналитического решения задачи Коши; при этом остается открытым вопрос о том, существуют ли другие неаналигические решения. Теорема Гольмгрена отвергает эту возможность. Теорема единственности решения задачи Коши для неаналитических дифференциальных уравнений остается пока нерешенной проблемой. Оиа была доказана в общем случае для двух независимых переменных Карлемаиом [2]. Лля большего числа переменных оиа была доказана аля многих гиперболических уравнений и начальных многообразий пространственного типа методами, аналогичными описанным в этой главе. Сравните с теоремами единственности для многих переменных Мюллера [1], Кальдерона [1] и Херманлера [5].
[См. книгу Хзрмандерз, указанную в сноске иа стр. 159.— Прим, ред.] Тгореяо единеггенноепг Голамгрена 24! цию и можно построить, на основании изложенного в гл. 1, $ 7, в некоторой окрестности Яо. Предположим, что поверхность о выбрана так близко к Яо, что функция о существует в одной н той же области 6 для всех полиномов р(х). Тогда формула Грина, полученная интегрированием равенства иЕ" [о[ — Ы[и]=-ир(х) по области 6, дает [ ар (х) е(х = О, о так как данные Коши для о на о и для и на Зо обращаются в нуль.
Поскольку множество полиномов р(х) плотно в С, отсюда сразу следует, что и тождественно равно нулю в 6. Рнс. 8. Остается только доказать возможность выбора поверхности 8 с указанными свойствами. Это легко сделать, пользуясь примечанием к гл. 1, $ 7, п. 4; подробности этого рассуждения мы здесь ие приводим. В качестве дополнительного замечания укажем '), что теорема !'ольмгрена может быть обобщена и из утверждения в малом может быть сделана утверждением в целом для линзообразного тела 6, ааполненного некоторым семейством аналитических поверхностей Я„, соответствующим положительныи значениям параметра Л, причем для Л ) О характеристический определитель на 5, должен быть строго отграничен от нуля равномерно по Л. Например, рассмотрим волновое уравнение а „ + н,, + и„ вЂ” ин = О и возьмем в качестве гиперповерхности 5 „сферический диск" хг + у + л'.: 1, 1 = О.
Интуитивно ясно и легко проверить, что Юо можно включить в семей- стао поверхностей Я, с той же самой границей, причем это семейство будет заполнять весь характеристический конус с основанием 3 . Этот конус действительно является точной областью, в которой функция и однозначно определяется данными Коши на Зо (см. рис. 8).
') См. 1[жни [3[. Глава ГР ТЕОРИЯ ПОТЕНЦИАЛА И ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ') Исчерпывающее изложение теории эллиптических дифференциальных уравнений выходит за пределы этой книги. Мы будем в основном (по пе исключительно) заниматься линейными дифференциальными уравнениями второго порядка, обращая особое внимание на теорию потенциала. которая типична для теории более общих эллиптических дифференциальных уравнений и которая сама по себе является вюкной частью анализа.
В томе 1 н в предыдущих главах рассматризалпсь многочисленные вопросы теории потенциала. В первой части этой главы будет дано ее более систематическое изложение. Вторая, менее элементарная част~ должна подвести читателя к более далеко идущим теориям, связанным с более общими типами эллиптических задач. Дополнение, написанное Л.
Берсом, вкратце налагает теорию псевдоаналитнческих функций, которая является вазкным недавно разработанным аппаратом, применимым к дифференциальным уравнениям второго порядка с двумя иезависимымн переменными. Э А Основные поняпгия 1. Уравнения Лапласа и Пуассона и связанные с ними уравнения. Мы рассматриваем функции и (х,, х,, ..., х,) = и(х) от и переменных хп ..., х„, или вектора х, в области 0 с границей Е в пространстве х.
Дифференциальное уравнение и Ы г)х, =! называется уравнением Лапласа, Его решения называются гар.ионическими функция.ми. Соответствующее неоднородное уравнение ') Мы отсылаем читателя к следующим книгам; Келлог [1], Петровский [1], Миранда [!], Лихтенштейн [1], Джон [4] н Берс [2]. Относительно более поздних исследований можно смотреть библиографию симпозиумов н коллоквиумов [1, 2, 3], а также Малженес н Стампаккья ]1], Ннренберг [2Ь Вншик и Ладыженская [1] н Гардинг [1]. 243 а д Основные понятия называется уравнением Пуассона.
Мы введем величину л>„— площадь поверхности единичной сферы в и-мерном пространстве: 2(! я)" л Г (п>2) (2) >де Г(п/2) обозначает Г-функцию, и запишем уравнение (!уассона з анде Ьи= — слл(с(х>, ..., хн), (3) депствительных переменных х, у, г являются решениями уравнения да =О. Другие решения можно ~еперь получить с помощью супер- позиции ь и = ~ /(г — !-тх сов т-+ туз!и(, г) с(т, (4> л Например, если мы положим /(ш, г)=ш"е>"', гле п н Ь вЂ” целые числа, и проинтегрируем от — и до +и, то получим однородные полиномы и = ! (2 +гх сов (+(уз(пт)" е' а>т, -т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
