Р. Курант - Уравнения с частными производными (1120419), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Если, кроме того, функция р кусочно- непрерывно дифференцируема в 6, то вторые производные и также непрерывны внутри 6 и удовлетворяется уравнение Пуассона Ьа = — 4ир, Для того чтобы доказать первую часть втой теоремы, рассмотрим функцию 249 9 д Основные нанлтиа Пусть теперь функция Х(х, у, г) определяется как сходящийся интеграл «=- ') ) ) р — — — д(дт!дг, д 1 (19) который получается из (14) формальным дифференцированием под знаком интеграла.
Тогда гс 6 и, следовательно, ~ —" — Х~ -< 4яЛ Г! ~ — ''+ — — )гадг= 5яМй; (20) о это значит, что последовательность ди;/дх равномерно по х, у, я сходится к функции Х (х, у, а). Из известных теорем анализа следует, что функция «равномерно непрерывна и что «=-и„. Точно так же получаются аналогичные результаты для производных и и и,. Не делая дополнительных предположений относительно функции 1ь, нельзя доказать, что и имеет непрерывные вторые производные.
Однако, если р имеет непрерывные первые производные, то в инте- грале ,)„).)1 де')„)„)1дд 1 д 1 —.Г Х-",-+ Х Х Х-'-," " г а где д5 обозначает элемент площади на поверхности Г, а и, — косинус угла между внешней нормалью к !' и осью с« В силу приведенного выше рассуждения, мы можем продифференцировать это выражение и получить выражения для вторых производных функции и через непрерывные функции, Например, в точке Р: (х, у, г) мы получаем Второй интеграл можно также записать з виде (1 1 ( ))г д ~ $ д 1 можно произвести интегрирование по частям; тогда этот интеграл записывается как 2ЭУ Гл !у.
Теория яотвнииали и эллиптические уровнснггя который интегрированием по частям приводится к виду д 1 с ге дг ! ~ (р — р(Р)) — — и д5 — ! ! ! ( — р(РЗ вЂ” — д;дт!Ж дх г д;д (интегрирование по частям законно, так как функшгя р — р(Р) имеет в Р нуль первого порядка).
Если теперь мы подставим эчо выражение в формулу лля и л(Р) и приведем подобные члены, то получим Г!'д 1 и (Р) = — — р(Р) Г ! — — — с!га†т дг ! д;дхг с Г ! (р — р (Р)) — — — дг дт д О д 1 дг Р(Р).!( 3 дх г пг т(бг+ ~ „~ ~ ~Р Р(! )) дх' г д'дт~д ' Из этой формулы н аналогичных ей формул мы получаем последнюю часть нашей теоремы, а именно: для кусочно-непрерыено дифференйируелсой и !алчности р вторые производные фунгсйии и непрерывна и Ьи = — 4пр.
Тот факт, что представление (21') для производной илх не содержит производных функции р, наводит на мысль о том, чтобы искать более широкий класс функций р, для которых интегралы, вхолящие в это представ.чение, сходятся н остается справедливым утверждение теоремы. С этой целью чы вводим важный кяасс функций, которые удовлетворяют условию Гальдера (или непрерывны по Гельдеру) Нвпгягывность по Гвльдегу. Говорят, что функция р непрерывна по Гальдеру в области О, или удовлетворяет условию ГИль- дери в области ст с показателем и, 0 < а < 1, н с коэффициентом К, если для любой пары точек Р, ьс из О справедливо неравенство !Р(Р) — Р(Чяг) ~ < КРЯ", Здесь Рь) обозначает расстояние от Р до ф а и К нааываются константами неравенства Гальдера.
Заметим, что последний интеграл в формуле (21') абсолютно сходится, если функция р непрерывна по Гальдеру в области 0; при этом правая часть формулы (21') является вполне определенной функцией п(Р); действительно, в этом случае подинтегральное выражение в интеграле по объему ограничено по абсолютной величине интегрируемым выражениелг (22) гг г 251 З д Основные нонлгил где и и К вЂ” константы неравенства Гальдера, а С вЂ” некоторая постоянная. Мы установим сейчас следующую теорему (которая является уточнением теоремы, высказанной ранее). Если р(х, у, е) удовлетворяет условию Гельдера в О, то нотенлиал (14) и.ивет равномерно непрерывные первые производные, гсогпорые ложно получать с помощью дифференцирования лод знаком интеграла.
Кроме того, и имеет непрерывные вторые производные, которые даются формулой (21') и ана,гогичны.ии ей выражениями, и функция и удовлетворяет уравнению Пуассона Ьи= — 4кр, с!тобы доказать существование, например, производной и„. (Р), предполагаем сначала, что функция р может быть равномерно™приближена дифференцируемымн функциями рт удовлетворяющими равномерно по п. условию Гельдера с константачи и и К'.
Для зтих функций ан мы определяем функции ин по формуле (14); согласно сказанному выше, функции и„ имеют непрерывные вторые производные. Достаточно показать, что производные (и„) л равномерно сходятся к о в любой аамкнутой подобласти О. Йз формулы (21') мы имеем ~ ~(Р) — (и,) (Р)~., ~ р,(Р) — р (Р); ° ) ~ ~ — — ~,г(~ ! + г дг 1~ +~~~~р о Если точкз Р принадлежит некоторой замкнутой подобласти 6, то первое слагаемое может быть сделано равномерно малым за счет выбора достаточно большого п. При оценке интеграла по об.ьему мы разделим О на две части: 6 = 6, + Ог, где О, — сфера радиуса Й вокруг точки Р. В силу оценка (22) и равномерной непрерывности по Гельдеру') подинтегралю<ая функция ограничена по абсолютной величине выражением 2СК'ггз ', так что интеграл по О, не превосходит С,К'й'!и, а зта величина может быть сделана сколь угодно малой за счет выбора достаточно малого Р (С, здесь абсолютная постоянная).
В области О, подинтегральная функция ограничена величиной (~ ~р — р„ + ! р (Р) — рн (Р)1) С.,гКз; таким образом, прн фиксированном К второ11 интеграл можно сделать малым, если п достаточно велико, так как функции р„ равномерно сходятся к р. Чтобы завершить доказательство, мы должны показать, что функцию р можно равномерно приблизить с помощью функций рн, равно- ') Предел равномериосходяшейся последовательносги функций, непрерывных по Гельдеру с константаии а, К удовлетворяет тому же саиоиу условию Гельдера. 252 Тя, !У.
Теория ~1о1еяниояи и зяяиигииеекие уроонееия мерно непрерывных по Гальдеру. Мы знаем, что функцию р можно равномерно приблизить полиномами вида Ря=' я(х )' х)— 1 = —, ~ ~ ~ р(1, ти ") (1 — (! — х)')" (1 — (т — у)')" (1 — ((,— з)')Яд! г(н г("„ -1 где с= 1 (1 — гз)" И -1 а в случае произвольного числа измерений уравнению Пуассона удовлетворяет функция (14а). В случае и = 3 встречаются потенциалы распределения масс на поверхностях и так называемые потенциалы „двойного слоя", а также потенциалы распределения масс на кривых.
Для л = 2 мы имеем потенциалы простого и двойного слоя на кривых. Соответствующие понятия для п ) 3 не будут здесь рассматриваться. Потенциал распределения масс на поверхности Уе с поверхностной плотностью р определяется как кнтеграт вида и= ) ~ ~ е(о', (23) где е(5 — элемент площздн поверхности. На кривой С с длиной дуги з потенциал распределения масс с плотностью т определяется как и= „( — гг'з (24) с (см. т.
1, гл, 11, Э 4, п. 2, стр. 63). Кроме того, можно проверить, что если р удовлетворяет условию Гальдера с показателем и и коэффициентом К, то функции р„ удовлетворяют равномерно условию Гельдера с показателем и и некоторым коэффициентом К'. Мы показали, что решение и уравнения Ьи = — 4пр, заданное формулой (14), имеет непрерывные вторые производные, если функция р непрерывна по Гальдеру.
Более того, можно показать, что вторые производные функции и непрерывны по Гальдеру (с тем же показателем, что и функция р) в любой замкнутой подобласти Сг. Мы более подробно исследуем это замечание н его важные следствия в ~ 7. Совершенно аналогичным методом устанавливается, что в лучае двух измерений уравнению Пуассона (15а) удовлетворяет функция 1 г г 1 и (х, у) = — ~ ~ р (Б л) !ои — с11 г(т, (г' = (х — !)'+(у — й)а), 253 4 !. Оглоееые иинлгил для и = 3 или как 1 и= ~ т!од — дз г с (24') для и=2.
Потенциалы двойного слоя получаются в реаультате суперпозиции потенциалов диполей (см. т. 1, гл, Ъ'П, 3 5, п. 5, стр. 443). Потенциал отдельного диполя определяется как д 1 сое !го г) дч г г' (и = 3), или д ! сов(ч, г) — !о дч ьг= г (а = 2), и(х, у, л)=~ ~ о — — ио г д ! д» (25) или д 1 и(х, у)= ) о — 1од — аз дч г с (25') соответственно, причем д/дч обозначает дифференцирование по напра- влению положительной нормали к поверхности или кривой.
3. Формула Грина н ее применения. Чрезвычайно важную роль в теории потенциала играет формула Грина. В трехмерной ограниченной области 6 с элементом объема е(3" = е(х Иу е(г и с границей Г, которая предполагается кусочно-гладкой '), для двух функций и и о справедливы формулы Грина ( ~ ~ (и,о,+ иго + иР,)е(3' + ~ ) )лобне(и = о о =11 Ф " г ~ (иЬп — оЬи) е(д = ~ ~ (и — — — о — ) е(5.
') См. примечание 2 к стр 241. где д1дч обозначает дифференцирование по некоторому направлению в пространстве 1, т!, 5 (или на плоскости (, т!); (ч, г) — угол между этим направлением и радиусом-вектором, проведенным из точки Р(х, у, г) в точку г;)(1, т, ч) (или соответствующий угол для и = 2). Потенциал двойного слоя с плотностью о на поверхности Р (в случае л = 3) или на кривой С (в случае и = 2) задается выражениями вида 2б! Гл.
!К Теория потенциала н эллнпгннеенне уравнения (Здесь д(дн означает диффсренцирование по направлению внешней нормали.) В первой формуле мы предполагаем, что фушгции и и о непрерывны в О+В первые производные и и о непрерывны в О, первые производные функции и непрерывны в 6+Г, а вторые ее производные непрерывны в 6. Во второй формуле мы предполагаем, что первые производные и и т~ непрерывны в О+Г, а вторые их производные непрерывны в 6. Кроме того, в обоих случаях требуется, чтобы существовали интегралы по области 6. Совершенно аналогичные формулы справедливы для плоскости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
