Р. Курант - Уравнения с частными производными (1120419), страница 52
Текст из файла (страница 52)
(33) Таким образом, любая функция и, непрерывно дифференцируежая в О+!' и ииеюгцая непрерывные вторые производные в 6, лгожет расслгатрггваться яан потенциал некоторого распределения, соспгоягцего из пространственного распределения в области 6 с плотностью — Ьи)4п, из поверхностного распределения (простой слой) с плоти»стая (1г4п)ди)дэ и из рас- ') Например, если Р— вершина конуса, принадлежа~него границе, то в втой точке вместо 2и мы должны взять р равным телесному углу, соответствующему этому конусу.
в случае, когда точка Р лежит на Г, предполагается, что Г имеет непрерывно изменяющуюся касательную плоскость в окрестности точки Р '). Относительно и и те мы предполагаем так нге, как и в формулах (26), существование интегралов по О, непрерывность и и св в 0 + Г, непрерывность первых и вторых производных и и св в 0; в формуле (31) мы предполагаем непрерывность первых производных от и в 6 + Г, а в формуле (31') — непрерывность первых производных от ч и ш в 6+1'.
Прн тзких гке предположениях мы имеем аналогичную систему формул на плзскости: хай 4 1 Основные понятия предаления диполей (двойной слой) с плопгкостыо — и/4н на границе Г. В частности, для гармонической функции и справедливо соот- ношение и= — ) ) — — бЯ вЂ” — ) ) а — ~ — )дЬ'. (34) 4я ) .) г дн ' 4я,),) дн (,г) н ) ( х ихо, (-обссх)др = ~ ) о — с(5, ' о'' '--1 г .)'.)' .)' -"-- 'и)"=.)' У<и —. —.— ) д„ ди (зб) а также следующие формулы, аналогичные формулам (31) и (31'): / и Г(н .
° н ~-)" =" ь ( с=1 (36) ) (ибю — ойсс)с(й = — — ри -1- ~ ~ ( и — "- — о — -) д5. Здесь для и > 2 мы полагаем ы„ лля Р в 6, 1 — сь дла Р на Г, 2 н 1 о = — .. - —. +. ю, (и — 2) гн 0 для Р вне 6+ Г. 4. Производные потенциалов распределения масс. В и. 2 мы виде.л и что потенциал (14) об ьемного распределения масс непрерывен Другими словами, лсобая функция и, регулярная и гармоническаяя в ьс и непрерывно дифференцируемая в сс+ Г, жозкет быть предстивлека как потенциал некоторого распределения на граничной поверхности, состоясцего из риси ределения типа простого с.гоя с плотностью (1/4я)дссгдч и из распределения типа двойного слоя (распределения дссполес)) с плотностью — и/4я.
Теорему о среднем значении в теории потенциала можно вывести такьке из формулы (31'). Действительно, применим (31') к сфере радиуса сс' и полонсим ш = — 1Ссс = сопя(. Тогда о обращается з пуль на границе сферы и немедленно получается соотношение (30). Задача о перенесении всех этих результатов на случай и = 2, а также иа произвольное число и измерений предоставляется читачелю. Для произвольного и при тех же предположениях относительно и и ю и области б выполняются формулы Грина 260 Гя У'э'.
Теория потенциала и эллиптические Краенения и имеет непрерывные первые производные, если плотность распределения ограничена и интегрируема. Теперь мы будем исследовать с точки зрения непрерывности поведение поверхностных по. тенциалов (простого и двойного слоя) и их производных при переходе точки Р (х, у, е) через поверхность Р. Мы будем пользоваться следующим методом '): как указано на рис. 10, мы рассмотрим точку Р, лежащую на куске поверхности Р; при этом с рассматривается как часть границы Г пространственной области О. Мы предполагаем, что функция р (нли а), которая является плотностью распределения на с, достаточно гладким образом продолженз в эту область О.
Применим г к области 0 формулы Грина (31) и (31') с соответствующим образом подобранными функциями и и о. Так как имеют значение только разрывы изучаемой функции, то мы можем в наших формулах опускать те выражения, которые непрерывны при переходе точки Р через поверхность Р. Мы будем применять для таких выражений символическое обозначение = — 0 (.конгруэнтно нулю"); кроме того, область сэ выбирается так, чтобы положительное направление нормали к с было направлением внешней нормали. Заметим сначала, что потенциал простого слоя непрерывен при переходе точки Р через поверхность с. Поэтому мы должны изучить только поведение потенциала двойного слоя н его производных, а также повеление производных потенциала простого слоя. Мы предположим, что в окрестности точки Р поверхность Р имеет непрерывную кривизну (см.
примечание 2 к стр. 247) и что плотность распределения на поверхности является дважды непрерывно дифференцнруемой функцией э). Тогда справедливы следующие утверждения: а) При переходе через поверхность с' значение потенциала двойного слоя в точке Р„имеет скачок, описываемый формулами ! пп и (Р) — и (Рв) = 2яа (Р ), Р-«Р, (37) 1пп и (Р) — и (Р„) = — 2 ив (Р '). Р-«Р Здесь запись Р— «Рв обозначает, что Р приближается к Рв с по" ложительной стороны поверхности, а Р— «Рв обозначает приближение с отрицательной стороны. ') Наш метод связан с методом Шмидта; см. Шмидт ]1]. ') Этн предположения можно ослабить, даже применяя тот же метод, что и здесь.
й 1. Основные понятия б) Производная потенциала двойного слоя и(Р) по направлению нормали к поверхности изменяется непрерывно, если точка Р переходит поверхность, двигаясь по нормали к ней в точке Р,. Однако тангенциа.гьные производные ди!д! (другими словами, производные по направлениям, перпендикулярны,ч к нормали) имеют скачок, удовлетворяюи(ий соотноте. ниялт ди (Р) )!т дг Р -т Р ~ о ди (Р) !)т дг Р-ояо ди (Ро) .
до (Ро) дг дг (38) ди (Ро) до (Ро) о 2, о дг дг в) Погпенциал простого слоя и его тангенциальные производные непрерывны при переходе через точку Ро. Однако нормальная производная имеет с,оедуюигггй скачок: дч ~ = д + д " .— — 4яр (Ро). (39) Здесь д)дч, обозначает дифференцирование по направлению полоткительной нормали к поверхности в точке Ре, а д(д» вЂ” дифференцирование по направлению отрицательной нормали. Мы сначала рассмотрим потенциал двойного слоя с плотностью в и предположим, что эта плотность продолжена на область О+ Г 1ак. что она является там непрерывно днфференцнруемой функцией о(х, у, з); затем, полагая и = в, ю = 0 н опуская все члены, непрерывные при переходе через границу, мы записываем формулу Грина (3!) в виде Ц Ы"'-=Ш(-'-'о-,'+ чА-'+ г — 'Й" и о р.+ ~( ~( ° -'- — ' и=О.
го Это н есть нужное утверждение относительно поведения потенциала лвойного слоя. Чтобы доказать утверждение, относящееся к производной потенциала лвойного слоя, мы предположим, что продолжение плотности в в область 6 есть дважды непрерывно дифференцнруемая функция, применяя введенный выше символ= —. Очевидно, что все граничные интегралы, не зависящие от Р, непрерывны как функции точки Р и имеют непрерывные производные всех порядков. Так как правая часть этого выражения, согласно п. 2, непрерывна, то 262 Гл. ?К ?еврея нвтеняналв и элл>штннеенне уравнения такая, что нормальная производная дв?д» равна О, Применим теперь вторую формулу Грина (3!'), которую можно записать в виде ра+ ) ~ в „~ — (8= — ~ ~ ~ —" (К. Так как правая часть непрерывна, то мы снова получаем результат, касающийся разрыва самого потенциала двойного слоя.
Кроме того, так как правая часть имеет непрерывные производные по х, у, г, то нз формулы следует, что произяоднь>е потенциала двойного слоя имеют такие же разрывы, как производные выражения — рв; именно зто мы и хотели показа»>. Наше утверждение относительно производных потенциала простого слоя получается точно таким же способом, если применить формулу Грина (31'). Однако функцию и в (31') надо выбрать так, чтобы на поверхности Г она тожлественно равнялась нулю н чтобы нормальная производная дл/д» равнялась плотности поверхностного распределения р.
То, что такая функции л существует, непосредственно следует из предположений относительно гладкости поверхности Р' и плотности р. Аналогичные теоремы н соотношения на разрывах можно получить для потенциала на плоскости, с той разницей, что в соотношениях (3?) и (38) множитель 2к надо заменить на г,а в соотношении (39) множитель 4к — на 2п. 9 2.
Интеграл Пуассона и его приложения 1. Краевая задача и функция Грина, В т. 1, гл. Ч, $ 14, мы уже рассматривали представление решения краевой залачн с помощью функции Грина, не зависящей от заданных на границе значениИ и от правой части лифференцнального уравнения. Теперь мы поставим первую краевую задачу, которая называется также задачей Днрнхле, для уравнения Лапласа в ограниченной области О пространства х с кусочно-гладкой ') границей Г.
Пусть на Г заданы непрерывные граничные значения. В частности, пусть граничные значе>шя являются значениями трижды непрерывно лифференцируемой в О + Г функции Г(х>, ..., х„), или Г(х). Надо найти решение лифференцнального уравнения дл = О, непрерывное в О + Г и регулярное в О, совпадающее с функцией Г на 1".
В ч 4 мы увидим, что предположения относительно гладкости граничных значений легко можно ослабить с помощью простого предеяьного перехода. Краевой задаче можно припать несколько иной вид, если ввести вместо и функцию и — Г = о. для функции о мы имеем нулевые ') См. примечание 2 к стр.
24?. 4 2. Ил!сгнил Псссггсс! и и егс ииилгс, енин ~ К(х, ',) ЛГ с(:, о и решение исходной краевой задачи представляется в виде =-~+11.. Г (., ) .у,: (3) В формулах (2) и (3) решение и в дейсгвительносги не зависит и! значений функции у' внутри области О. В самом деле, применив формулу Грина, мы легко получим ~ ~... ~ Кдуд:. = — у — ~ ... ~ -д — (д5.
о г и, следовательно, = — ~... ~ — д,гд5. дК (4) г В эту формулу входят только граничные значения функции Г. граничные значения на Г, но неоднородное щгфференциальное урав- нение Ьо = — ЬГ. Пусть теперь (,г=(;и (г, ..., (и), или (,г= — -,--фиксированная гочка, Р= х — переменная точка области О, 1 — функция, заданная формулой (9) из в 1. 34ьс определив функцию Грина К(Р, О) дифи ференг(на.гьного оператора Ьи = — Ъ', д седх„для обласнссс О как =! некоторое специи.гьное фунда.иеннгальное ресссегсссе уравнения Ьи = О, зависнсцее от параметра О, н.нею!нее вид К(Р О)= — К(х! .тг " хи' г! (г " си!=- =.= К(х.
=,) = ((г)+ге, (1) гг.=- у (х, — с!)г = (х --;)г, и равное нуглю, когда точсса Р лежи!и на Г. При этолс е.ш- гаемое ти непрерывно в О+ Г и реггыгярно в О (так что функ- ция К регулярна в О, за исключением точки Р.=се). Зта фчнк- лня симметрична относительно аргу нентов Р и Я: К(Р, г)) :=-К(г',г, Р) (см. т. 1. гл, Ч, Я 14, п.
5, стр. 308). Функция Грина обращается в нуль на Г н положительна нг чалой сфере вокруг точки С„г; поэтому, согласно принципу максимума, она положите гьна внутри О. Если о — непрерывная и непрерывно дифференцнруемая функция, удовлетворяющая уравнению до= — ЬГ" в О+1", то формула (36) пз 9 1 сразу дает представление 2ба Гл. Л'. Теория потенциала и э.глилтанесние рравнения Однако часто бывает нужно сохранить представление решения краевой задачи в виде(3).
В частности, мы будем применять формулу(3) при доказательстве следующей теоремы, которая является обратной по отношению к результатам, изложенным выше, но не содержит таких сильных ограничений на К и о. Если К(Р, Я) — функция Грина для ограниченной' области О, то для кусочно-дифференцируемой функции д(хг, х, ..., х„)= =К(х) выражение о= ~ У...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
