Р. Курант - Уравнения с частными производными (1120419), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Отсюда сразу получается теорема о средне.и значении по шару. Так как формула (!) справедлива для всех Р, для которых соответствующие сферы содержатся в О, мы можем умножить ее на Кг и проинтегрировать в пределах от 0 до а; мы получим ив=4 з ~ ~ ~ибк (2) Кв где К вЂ” шар радиуса а.
Другими словами, среднее значение функции и по шару, целиком лежащему в О, равно значении функции ио в центре шара. Соответствующая теорема о среднем значении по сфере справедлива также для решений неоднородного уравнения Пуассона пи= — 4кр; она получается просто как частный случай формулы Грина (31'), выведенной в 3 1, п, 3. Применяя зту формулу к шару Кп радиуса й с центром в Р и полагая 1 ! 1 ш= — —, т. е.
о= — — —, мы получаем тождество 4 и УХийоп=ио+4я ХГХ(~ а)йийй, (3) яя кп ио= 4 рз ) ) ий2я+ / 1 ) ( — — ~)рйА" (4) ян и справедливое для любой непрерывной функции и(х, у, г), обладающей непрерывными первыми и кусочно-непрерывными вторыми производными. Для решений уравнения Пуассона мы, таким образом, получаем следующую теорему о среднем значении. Для произвольного шара Кя, целиком содержащегося в области О, любое решение уравнения оп = — 4кр, регулярное в О, удовлетворяет соотношению В Л.
Теорема о среднеи значении Как и в частном случае р = :О, мы получаем уравнение, содержзщее среднее значение по шару, умножая это соотношение на яг и интегрируя по гг. После соответствующих вычислений мы получаем "=-4„— '111""К+Й111-" ' — ',"- — ' " ( кя кл Аналогичные теоремы справедливы на плоскости. Для произвольного круга Кя, це.гиком содержащегося в области О, любое решение уравнения и + и, = — 2пр, регулярное в О, удовлетворяет соотногиениям и, = —, р ~ и бв+ ~ ~ р 1од — бК, (6) гя "я ь=-.рг 11 «К+ р Г1(Г7')о2 —,. — —,— ")рбд (7) Вообще, в п-мерном пространстве, для произвольного шара Кя, целиком содержащегося в об,гасти О, любое решение уравнения оп= — в„р, регулярное в О, удовлетворяет соотношениям ио= а-1 ~ ~ аг(ыя+ ~ ~ ~ ( — „з — „г)Рс(К (6') яя кя ~ ибд — ~~ ~гр(г, 77)аду, к„ кя где " "- —.'.1.' ( —.'- — —,'- )+ .'- ('-й Надо заметить, что уравнения (5), (7) и (7') можно получить также и из формул Грина (31'), (32') и (36), з 1, если вместо ю подставить функцию 1 — 7( ) — 7(й)-Г 2ра (" — й') где т(г) = 1 зта функция ю вместе со своей нормальной производной обращается в нуль на поверхности сферы Яя и удовлетворяет внутри Кя уравнению Ло = —.
ра 2. Обращение теорем о среднем значении. Замечательно, что свойства средних значений полностью характеризуют решения соот- 278 Т с !ь'. Теория потенциала и эллиптические уравнения ветствующих дифференциальных уравнениИ, Сначала мы докажем следующую обратную теорему о среднем значении для гармоничесгсих функций. Предположим, что функция и(х, у, г) непрерывна в области 6 и для любого шара 11а, содержащегося в 6, удовлетворяет соотношению средних значений и = — 1, ~~ийй .
Тогда функция и гармонична в 6. Мы дадим два доказательства этой теоремы, Л о к а з а т е л ь с т в о 1. (В нем применяется интегральная формула Пуассона.) Пусть 6' — шар, целиком содержащийся в 6, а Г' — его граница. Пусть о — гармоническая функция, заданная с помощью формулы Пуассона (9) из Э 2, причем она является решением следующей краевой задачи: Ьо=О в 6', о= и на Г'. Так как функция о гармоническая, она должна удовлетворять теореме о среднем значении; следовательно, разность и — о также долвгна обладать этим свойством. Тогда она должна удовлетворять принципу максимума (и минимума) (см.
Э 1, и. 3). Но и — о = О на Г', следовательно, и=о в 6'. Ясно, что и удовлетворяет уравнению Ьи = О внутри любой сферы в 6; поэтому она гармонична всюду в 6. Д о к а з а т е л ь с т в о 2. Легко дать прямое доказательство обрат- ноИ теоремы о среднем значении, не применяя интегральную формулу Пуассона. Если бы мы знали, что функция и обладает непрерывными вторыми производными в области 6, то утверждение теоремы немедленно следовало бы из тождества (3) 4~В~ .1,1 Я а 4»,~ .1 .~ ~ ~,9 ) яя Ка надо было бы разделить обе части равенства на Ю и устремить )2 к нулю.
В силу непрерывности Ьи правая часть прн этом сходилась бы к значению а 4 у,),) ~(» )1)йн =бааз Ка а левая часть по предположению обращалась бы в нуль для всех )с; следовательно, мы имели бы бис=О. Таким образом, теорема бьша бы доказана, если бы мы могли показать, что функция и дважды непрерывно дифференцируема в 6. Пусть 6, — подобласть области 6, точки которой отстоят от границы больше, чем на а. Тсгда соотношение 111 несомненно выпол- 9 д Тепле.чо о средне.ч значении 279 цяется для всех сфер К радиуса Р а с центрами в О,. Считая центр фиксированным, умножим равенство (1) на гсгУ(й), где У(й) †произвольная непрерывная функция, и проинтегрируем по )с от 0 до а; мы получим Си„== ) ~ ~)'(г) иди, к (8) ~ дс С = 4п ~ гг( Гг') дг.
Для удобства мы продолжим функцию г так, чтобы У()с) тождественно равнялось нулю для Я > а. Если мы поместим центр сферы в точке (х, у, г) н положим й (х ч г) — 1 ()схг+ уг+ гг) го сможем записать формулу (8) в виде Си(х, у, г)= ~ ) ~ Ь(х — 1, у — т), г — ") и(Е т), ч)й(бцЖ. (9) ив= 4 Л д,) ибыь (10) в любой внутренней точке Р области О по крайней мере для одной сферы с центром в Р и таким радиусом й(Р) ) О, что сфера содержится в О+ Г.
Тогда и — гар.ионическая функция в О. Поскольку г" можно выбрать так, чтобы функция ь имела производные сколь у~одно высокого порядка, из формулы (9) следует, что непрерывная функция и, удовлетворяющая соотношению средних значений (1), имеет непрерывные производные всех порядков внутри О. Это завершает второе доказательство теоремы. До сих пор мы предполагали, что свойство средних значений (1) выполняется для любого шара, целиком содержащегося в О, где О может быть произвольной конечной или бесконечной областью. Однако оказывается, что если Π— конечная область, то нет необходимости предполагать, что выполняется свойство средних значений для любого шара; а именно, мы имеем следующую теорему. Пусть Π— такая ограниченная область в пространстве, юпо в ней разрешима краевая задача д гя уравнения асс=О при произвольных непрерывных граничных значениях.
Предположим, что функция и непрерывна в О+Г п обладает свойством средних значений 280 Гл. 11т. Теория потенциала и вллантннеенае Кравненнн и(х) = — „(и(х+ д)+ и(х — й) ), 1 можно построить нелинейные разрывные функции и, которые удовлетворяют этому уравнению для произвольных х и д'). Если предполагать, что соотношение средних значений выполияется в каждой точке только для одного радиуса и (Р), то надо считать О ограиичеииой областью.
Для неограниченной области, иапример, в частном случае и = сопз1 = 1, можно построить иепрерывиые иегармоиические функции, удовлетворяющие уравнению ио = лага / 1 (! 1) в любой точке области О. Если предположить, что и зависит только от х, то легко видеть, что формула (11) переходит в интегральное 1) См. Гамель [1). Мы особенно подчеркиваем, что Д может быть совершенно произвольной функцией х, у, з и может, изпример, иметь произвольные разрывы. Доказательство получается с помощью рассуждений, слегка отличающихся от примененных з первом доказательстве предыдущей теоремы.
Предположим, что о — гармоническая функция, совпадающая с и иа Р; как гармоническая функция оиа обязана удовлетворять соотношению средних значений (1О) при любом д, когда Ян лежит в О. Следовательио, разность и — и также удовлетворяет соотиошеиию (1О) для и(Р). Мы рассмотрим теперь замкнутое множество Р таких точек области О, в которых разность и — о принимает свое максимальиое значение М.
Пусть Р, — точка Р, самая близкая к границе Г. Если бы точка Ра была впутреиией точкой О, то существовала бы сфера радиуса и(Рв) ) 0 с центром в Ра, целиком лежащая в О, для которой выполнялось бы соотношение средних значений и на которой, следовательно, и — о = М. Тогда, вопреки сделанному предположеиию, существовали бы точки Р, более близкие к Г, чем Рв. Таким образом, точка Р, лежит иа Г. Лиалогичио можно показать, что минимум функции и — о также достигается иа границе. Но и — о обращается в нуль иа границе. Поэтому мы заключаем, что и = о в О.
При доказательстве обратных теорем о среднем значении мы предполагали, что функция и непрерывна; это требование ие является лишним. Вообще говоря, иельзя ожидать, что непрерывность следует из свойства средних значений, давке если это свойство справедливо для любой сферы. Действительно, для и = 1, т. е. для одномерного соотиошепия средних значений 23! 4 д. Теорезт о среднем значении уравнение и (х) = -,,— ~ и (3) д( 1 (12) Мы можем получить частные решения этого уравнения, полагая и(х) = е'м, где Т является корнем трансцендентного уравнения Мп 11 — —.— 1. Кроме решения (=О, это уравнение имеет бесконечно много комплексных корней ) =а+13; а и р получаются как точки пересечения кривых з1и аг 1 31 — созой = — „ аг сп31 ' ' зп31 па плоскости о, 'р.
Тогда действительные функции и=е-7 совах и и = е-'а з)пах также удовлетворяют уравнению (12); гармоническая функция получается только при а =3=0. 1 Г Я Л 4 5 Н 6 И О 1 Г4 7 7 7 7 7 14 7 Га Рис. 13. Если свойство средних значений выполняется только для одного радиуса И(Р) в каждой точке Р, то существенно, что функция и непрерывна не только в ограниченной открытой области 6, но и в за мин ут ой оба эсти се+ Г. Рисунок 13 показывает простой пример') функции и(х), непре. рывной только в открытом интервале, которая в каждой точке интервала удовлетворяет одномерному уравнению средних значений 1 а (х) — (и (х+ И) — и (х — И) ) 2И ') Этот пример был предложен Шифманом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
