Р. Курант - Уравнения с частными производными (1120419), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Построение такого объединения В показано на рис, 14 и 1б. Гл. Ги. Теор«тя потенниала и эллиптические Вравнения Рисунок 15 показывает, как из односвязных областей могут получаться многосвязные и как в соответствии с этим моткет быть решена краевая задача для многосвязных областей. Так как для этого метода не супьественно, состоит ли пересечение из одной или из нескольких отдельных областей, мы рассмотрим случай, изображенный на рис. 14, где области О и 6' имеют только одну общую область В.
Пусть граница Г области 0 состоит из частей а и Ь, причем Ь принадлежит области О'. Пусть а' и Ь' аналогичным образом определены для 0'. Мы предположим, что на границе а+а'=Л области В заданы непрерывные граничные значения, по абсолютной величине меньшие некоторой константы М. 1) Альтернирующнй метод состоит в следующем. Мы непрерывным образом дополняем граничные значения, заданные па а, задавая на Ь произвольные значения, меньшие М по абсолютной величине, и решаем краевую задачу для области О с таким образом определенными непрерывнымн значениями на Г.
Решение этой задачи и, принимает на Ь' некоторые значения, которые вместе со значениями, заданными на а', дают непрерывные значения на Г'. С этими значениями мы решаем краевую задачу в области 0' и получаем функцию и,'. Эта функция принимает на Ь значения, которые вместе со значениями на а снова дают непрерывные значения на границе О. Обозначим решение соответствующей краевой задачи через иг.
Прололжая этот альтернирующнй процесс, мы получим последовательность гармонических функций и,, иг, ... в 6 и соответствующую последовательность и, и, . в 0 ° При этом на Ь': а =- и, следовательно, и — и = и' — и'; ««! «+1 на Ь: и = и, следовательно, и — и = и,' — и' .ь!' «,1 ' «-!' Теперь мы утверждаем, что функции и«в 0 и и' в О' равномерно сходятся к гармоническим функциям и н и', которые совпадают в пересечении О областей 0 и 0'. Эти предельные функции во всей области В определяют некоторую регулярную гармоническую функцию, которая является решением краевой задачи для В. Доказательство опирается на следующую лемму.
Пусть при указанных выше предположениях относительно О и 0' функция о, регулярная и гармоническая в О, обращается в нуль на а и удовлетворяет неравенству 0 ((о((1 на Ь. Тогда существует такая положительная постоянная !Т (1, зависящая только от формы областеГ! О и 6', что о Е 4. Краеаал задача 295 удовлетворяет неравенству ~ !'.=ч а через М, — максимум модуля !и, — и'='и' — сс' ! на Ь. ".! .1= .-! Если в качестве функции ю, о которой говорится в лемме, мы возьмем (л,, — сс,!!'М, з области О, то сразу получим М,.: с!М, Лнзссогично мы находим, что М,, АМ, М„( сугМ и, следовательно, 1!оэтому величины М, и Л1, стремятся к нулю, так как их мож!.о малсорировать членами геометрической прогрессии со знаменателем ,г -! Это сразу влечет за собой равномерную сходимость ряда и, + ~~З! (и, ! — и,1 = 1пп и„= и =1 ! -+ СО в О+Г и соответствующего ряда и,'+ ~ (и',, — и,') = ! пп и' = и' =! ч+ в (с'+Г'.
В соответствии с этим функции и и и' являются гармоническими в областях О и О' и принимают на и и а' соответственно заланные граничные значения. Для пересечения Р областей 0 и 0', ограниченного кривыми Ь и Ь', мы имеем и', — и ч О на Ь', в то время как на Ь разность и' — и =и' — и', равномерно стремится к нулю. Поэтому предельные функции и и и' совпадают в Р и в совокупности определяют в В регулярную гармоническую фушсцию, которая является решением краевой задачи. всюду на Ь'. Еонечпо, соответствующее утверждение справедливо и для О'.
!!сна, что в качестве с! мь! можем взять постоянную, которая годится для обеих областей, Мы докажем эту лемму в конце пункта; но сначала мы воспользуемся ею для завершения доказательства сходимости альтернирующего процесса. Через М„ мы обозначим максимум модуля ',и,, — и ! = ! и', — а'! на Ь', 296 Гл. У'т". Теория потенциала и зл.шптические иравпешт Если мы конечное число раз применим этот метод, то мы получим следующую теорему. Пусть 0 — обьединение конечного числа пересекающихся областей О,, Ог, ..., 0„, кусочно-гладкие границы которых пересекаются под углами, отличными от нулевых, и не пересекаются в угловых точках или по ребрам; тогди краевая задача разреигима для 6.
если она ризрешл.иа для каждой отдельной области 6,. В частности, краевая задача разрешима для любой области, которая может быть покрыта конечным числом кругов и полуплоскостей или шаров и полупространств. Например, если область 6 состоит из всей плоскости, за исключением отрезка 0 ~их '- 1, то мы можем рассматривать ее как обьединение четырех полуплоскостей х<0, х)1, у<0, у)0 и решить краевую задачу отдельно для каждой нз этих полуплоскостей с помощью интеграла Пуассона.
Альтернирующий метод тогда немедленно дает решение для О. В трехмерном пространстве то же самое справедливо для внешности тетраэдра, которую можно рассматривать как объединение четырех полупространств. Если мы заметим, что произвольную область можно рассматривать как предел монотонной последовательности областей 6,, каждая из которых состоит из конечного числа кру~ов нли шаров, то мы можем воспользоваться теоремой б) п. ! и получить следующую общую теорему. На плоскости функция Грина, а, следовательно, и региение краевой задачи, существует для любой области 6, каждой тоски границы когпорой мозкно достичь с помощью прямолинейного отрезка, лежащего вне О.
В пространстве то же самое справедливо для любой области 6, такой, что каждая точка ее границы является вершиной тетраздра, все остальные точки которого лежат вне 0'), 2) Локачатель ство леммы. Чтобы доказать лемму, мы сначала рассмотрим двумерный случай (см. рис. 16). Составим ') Заметим попутно, что описанный нами альтерннруюшнй мегод, про. веденный для нескольких областей, которые при повторении процесса циклически чередуются, по существу совпадает со знаненнтын методом выметания Пуанкаре 1см. многочисленные описания в литературе). Разница состоит в том, что Пуанкаре сразу предполагал наличие счетного количества кругов илн шаров, которые чередуются в определеннои порядке при повторении процесса.
Но данное здесь доказательство отличается от обычного обоснования метода выметания. 4 4. Краввал задача 297 потенциал двойного слоя по дуге Ь с плотностью 1, т. е. выражение . д1ой— 1 ии(Р)=и(х, у)= ~ с(з, в которое представляет собой угол, заметаемый радиусом-вектором, направленным пз точки Р области 0 в точку границы, которая пробегает дугу Ь. Эта функция, регулярная и гармоническая внутри 6, имеет непрерывные граничные значения на граничных дугах а и Ь. 1(огда точка границы приближается к конечной точке А вдоль дуги а, соответствующие граничные значения функции я стремятся к пределу ЙА, равному углу между секу- ! шей АА, и касательной в точке А, направленной к дуге Ь.
С другой стороны, соответствующий предел РА граничных значений вдоль Ь равен углу 4!ежду секущей АА, и касательной в точке А, но теперь касательная направлена к дуге а. Это приводит к соотношению рнс. 16 Если к граничной точке А подходить изнутри области вдоль любого луча, образующего угол а с касательной в точке А, направленной к дуге Ь, то получится граничное значение, равное линейной комбинации Из втой формулы мы, наконец, видим, что для произвольной последовательности точек Р„области 6, сходящейся к точке А, соответствующие значения функции та(Р,) могут иметь только такие предельные значения, которые лежат между )сл и )сл . Аналогичные угверждения, конечно.
можно сделать и относительно друго!о конца дуги Ао Теперь мы рассмотрим функцию р, определенную на границе Г==а+Ь и принимающую постоянные значения и на Ь и О на а, Пусть тв — граничные значения функции ш; тогда разность м — р является непрерывной функцией на Г. Согласно предположению, в области О существует регулярная гармоническая функция й, принимающая зти граничные значения. Мы определим функци4о 5(Р) = я гйв Г.>, 1Г Теория яотеяниааа и эаяия>ические Враеяеяия она ограничена в 6+ 1', регулярна и гармонична в 6. На а она принимает граничное значение О, а на Ь вЂ” граничное значение 1. Но из предыдущих замечаний, касающихся функции тз, видно, что если мы приближаемся к точке А илн А, изнутри, то функция 5 может иметь только предельные значения, лежащие между О и 1, а если мы приближаемся к этим точкам вдоль луча, образующего угол а с касательной, то мы получаем граничное значение, равное а/я, т, е, значение, меньшее 1. В частности, если мы приближаемся к точкам А и А, по части Ь' границы облзсти 6', то предельное значение угла а равно одному из углов р или р>, под которыми дуга Ь' пересекает границу 1'.
Всюду на Ь' функция 5 удовлетворяет неравенству 5(у<1. Действительно, в противном случае существовала бы последовательность точек Р, на Ь', такая, что 51Р,) — э1. Так же, как прн доказательстве теоремы о максимуме и минимуме, можно показать, что эта последовательность не может иметь предельной точки на внутренней части дуги Ь'. Но А или А, также не могут быть предельными точками, ибо, как мы видели, предельные значения в этих точках соответственно равны р/я ( 1 и 11>/я ( 1.
С помощью функции и иа нашей леммы мы теперь построим разность 5 — п=Л и покажем, что Л)~ О; граничные значения этой функции равны нулю на а и безусловно неотрицательны на Ь. Эта функция регулярна и гармонична в 6, следовательно, она не может принимать отрицательные значения в области 6, равные 1п1Л в 6; она не имеет отрицательных предельных значений во внутренних точках дуг а и Ь. При приближении к концам А и А, разность Л имеет те же предельные значения, что и 5, и, следовательно, они должны быть между нулем и единицей.
Поэтому 5 — п)~ О всюду в замкнутой области 6 и, в частности, и .( 5 < е/ на дуге Ь'. То же рассуждение, примененное к сумме 5+о, дает неравенство 5+ и )~ О в 6; объединяя эти результаты, мы получаем на Ь' ~ ~ <5<Ч<1. Это доказывает нашу лемму, Достоинством этого доказательства является то, что оно может быть непосредственно перенесено на случай трех и большего числа измерений. Чтобы сделать это, мы берем в качестве ее потенциал двойного слоя с плотностью, равной нз границе О или 1. 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
