Р. Курант - Уравнения с частными производными (1120419), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Соответственно, если в формуле (4) Е заменить на — К то мы получим условие, характеризующее излучение, соответствующее сходящелся волне. Для доказательства мы рассмотрим большую сферу 5, радиуса р с центром в точке х', содержащую поверхность В. Для точек х, принадлежащих кольцу О между В и 3, решение (/ может быть э представлено так же, как гармоническая фуйкция (см. (1 1). Мы имеем (/(х) = ~ ~ (и ф — К вЂ”",„' ) Ю,— — ~ ~ ~ (/ -',—" — К д"„) Л =- (/, + (/,, где К= — — е'"'л, й= — 'х — х' й 1 4вэг причем точка ха пробегает соответственно поверхности Ь', н В, а д/дл обозначает дифференцирование по внешней нормали 'в про- странстве х".
Вне поверхности В обе подинтегральные функции являются решениями уравнения (1) как функции х, так как К и дК/дн удовлетворяюэ этому уравнению. Очевидно, что таь же, как и в слу- чае гармонических функций, функция (/, регулярна всюду внутри 5,. Кроме того, (/, не зависит от радиуса (н так как рассматриваемое решение (/ и слагаемое (/ не зависят от а. Поэтому функция (/, регулярна во всем пространстве. Чтобы показать, что функция Оэ удовлетворяет условию излуче- ния Зоммерфельда (4), мы заметим, что если точка х' фиксирована, точка ха лежит на В и х — х'=гта ха.— х'= — а(,,т~! = (::! = 1, то В = ( х — ха ~ = ) га — 2га.б(. + аэ = г — ат,". + О ( — ), ма К= — е е-'"'!к — !+О ! — ), 4ае (-) дК вЂ” = — (аэКэ) + О (--) .
да ол (, г' ) ' ') Этот вид условия, предложенный Магнусом, более слабый, чем пред. шествующая формуаировка (4'); однако он оказывается достаточным для характеристики излучения, соответствующего расходящейся волне. 315 4 5 Приведенное волновов уравнение. Рассеяние Как и ранее, символ 0 (у ())) обозначает величину, порядок которой не выше у(й) для больших положительных ), т.
е. величину, модуль которой не превышает су'(и) с некоторой константой с. Следовательно, е"" 1 и = — -вг„гф(,)+О (,), (5) сде „множитель формы" ( (' „, ° С д(Г . дхн ф (т)) — в — с, м" — х'1 + дашт) — — ц) с(я l,/ (, дп дп в .— регулярная аналитическая функция единичного вектора т). Для д(с',Сдг получается аналогичное выражение, совпадающее с тем, которое возникает при формальном дифференцировании формулы (5) по г. Поэтому для Уг выполняется условие Зоммерфельда даже в более си.льной форме, а именно равномерно по и, Чтобы обосновать тот факт, что условие Зоммерфельда (4) характеризует излучение, направленное вовне, мы покажем, что если выполняется условие (4), то через поверхность большой сферы 5, проходит положительный поток энергии во внешнем напрзвленин.
Энергия Е, содержащаяся в области й с границей Е в момент 1, определяется выражением Е= — ~ ~ ~ (и,'+ и', + и,'+ иг) дх,с(хгс(х,. Г!рименяя формулу Грина и учитывая уравнение (2), мы легко полу- чаем Мы берем в качестве 1' кольцо между большой сферой Зо и еще большей сферой 3,; тогда интеграл с представляет лоток энергии через поверхность 5 во внешнем с Сегл<'н направлешсн, а ) Е(1)Ж=à — полный поток через 5, зз период.
с зи (л /(). Теория погепнпала и эллшншчеекие уравнения 1 Учитывая, что и= — ((/е-( '+(/е(""), мы легко получаем, что 2 Этот поток не зависит от о; это можно сразу установить, приме)нв формулу Грина для кольца между Яр н Бр к двум решениям 7/ и (/ приведенного волнового уравнения. Предположим теперь, что условие Зоммерфельда (4) для функции (/ записано в виде ~ ~((/„(/и+ г(УО+/ ((/ип — (/(7.)) дЬ О или —.- Г + ~ / ()(/п(а+ыг!(/(г)д5 — ьО при р >то здесь (/„обозначает д(//д/г. Так как величина Г не зависит от р, то мы можем сделать вывод, что Гхп О, т. е.
за период энергия теряется, илн, во всяком случае, не увеличивается, за счет потока через 5,, направленного вовне. Таким образом, условие (4) характеризует явление излучения, направленного вовне. Наконец, мы докажем, что разложение фу)наина (/ на ес)оду регулярное решение и решение, удовлетеорнюи/ее условию ЗоммерЯельда, единственно. Достаточно доказать, что всюду регулярное решение (/, удовлетворяющее условию (4), тождественно равно нулю.
Пусть (/ такое решение. Тогда Г= О, так как (/ и (/ — регулярные решения внутри 5,. Следовательно. 3 Г((С/„,г+мг(У!г)сЮ,О при р э.:х>. Тогда для любой точки х, лежащей внутри сферы Я, с центром в х', мы имеем ; и ( ) ( = / / (пКп — к и) кк / < <(Ц(~(/„(г+ ~ гО з')"'(~ ~(~К„~а+ ~К~г) д~~~/) -и /) ),з, при р — ноо, так как К н К„имеют порядок 1/р. Следовательно, (/(х)=0. д 5. Приведенное волновое уравнение. Роггвлнив 317 3. Рассеяние.
Явление рассеяния может быть описано следующим образом. Дана, входящая" волна, т. е. всюду регулярное решение и,(х)=у(х) уравнения (1). (Например, входящая волна может быть просто плоской волной е""Ь"и или пучком волн, полученным нз плоской волны с помощью интегрирования по координатам единичного вектора а в пределах некоторого телесного угла.) Входящая волна и, подвергается изменению из-за наличия некоторого препятствия, порождающего рассеянную волну ит, н в результате получается волна и = (/, + и,. Препятствие можно задать с помощью одного из двух условий: а) на границе В задается условие, такое, как и = О или ди/дп = О, а решение рассматривается только на н вне В; б) препятствие задается с помощью члена д в уравнении (2а) или (1а), который обращается в нуль вне В.
В случае б) решение рассматривается во всем пространстве х. В обоих случаях решение (/ = и, + и, отличается от заданной первоначально входящей волны и,.= у(х), которая считается известной; дополнительный член и, учитывает действие препятствия. Кроме того, мы требуем, чтобы компенсирующая волна ит была расходящейся рассеянной волной, т. е. удовлетворяла условию Зоммерфельда (4).
Нахождение ит для заданной входящей волны и, =у ее и математическая задача рассеяния. Мы вкратце остановимся на ее решении, основанном на представлении решений уравнений (1) и (1а), описанном в п. 1. В случае а) мы должны определить функцию и, вне, В с помощью граничных условий, если на В известна функция и, = у. В случае б) мы должны найти функцию и, из уравнения (1а). Задача сразу сводится к интегральному уравнению фредгольма. В случае а) это уравнение связывает значения и = 1/, иа границе В и значения нормальной производной (/, = ди/дп на границе В. Интегральное уравнение получается нз формулы, справедливой для точек х, лежащих на В, —,' и, = ~ ~'(и,ʄ— К(и,)в) дВ, в причем либо величинз и =-и — и =и — к либо нормальная производная (и) =и у задается на В, а вторая величина подлежит определению.
В случае б) интегральное уравнение для функции и, получается непосредственно: (/з (х) = у (х) . — ~ ) д (х') К (х' — х) и (х'/ ах', 318 Тя. /1т. Теория потенчиала и эллиптические уравнения или (/э (х) = 6 (х) + ) ~ К* (х, х') (/з (х') дх'. где ядро К" равно К* (х, х') = д (х') К (х — - х'), а свободный член равен 0(х) =/(х)+ ~ ~ у (х')ьп'(х') К(х — х') Нх'. Я В соответствии с теорией, изложенной в т. 1, гл, 11/, й 3, п. 8, это интегральное уравнение для рассеянной волны (/, можно свести к следующей вариационной задаче: найти экстремум функционала относительно функции о /(р) =) ) тттвзт/х'+ ) ~ я(х)/т(х')К(х — х')о(х)р(х')т/хах'— — 2 ) ~ й (х) у' (х') р (х) г/х, ') Множ>пель формы т(т) (см. и.
2) можно ризовать при помощи аналогичного интегрального ной задачи. Подробности об этих зариационных зздачах тнческне нри,юження см. в работах Швннгера н Швиигера (1]. было бы легко охарактеуравнения или зарнацнон- и многочисленные прак- (1, 2), а также Лкппманз или к эквивалентным ей задачам. Такое сведение оказывается очень полезным при численном решении задач рассеяния').
Наконец, легко видеть, что мы могли бы также рассмотреть задачу, в каком-то смысле дополнительную к задаче рассеянна входящей волны за счет излучениям прелположим, что задана сходящаяся волна (/а, удовлетворяющая условию 3оммерфельда. Тогда задача состоит в том, чтобы найти регулярную расходящуюся волну (/т, возникающую на препятствии /с или в результате наличия члена д, Математически это означает, что надо разложить заданное решение (/ в сумму (/ = (/т+ (/т, где отдельные слагаемые удовлетворяют указанным условиям.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
