Р. Курант - Уравнения с частными производными (1120419), страница 66
Текст из файла (страница 66)
В свою очередь, утверждения, касающиеся уравнения Пуассона, получаются из интегральных выра>кения для этих вторых производных, которые определяются формулой (2') из 6 1 и для получения которых применялось фундаментальное решение уравнения Лапласа. (В 6 1, п. 2 мы только показали, что если Г принадлежит С„, то функция и, задан.
пая формулой (14) из й 1, принадлежит в каждой замкнутой подобласти пространству С,.) При решении краевых задач мы применяем также следующую теорему о гармонических функциях, принадлежащую Келлогу [2[. Пусть и — гармоническая фун>сипя, определенная в гладкой области О и ил>вещая гладкие граничные значения, Тогда и принадлежит пространству Сг,, Прежде чем решать краевую задачу, мы заметим, что если в уравнении (1) с . О, то справедлива оценка (13) из Э 6 и оценки Шаулера (4) и (5) можно записать в виде Э 7. длриорнь<е аиелки Шаддера ЗЗ5 Мы будем для этого применять метод продолжения по параиенру. Построим однопараметрическое семейство эллиптических операторов 1., !и! == 7б !и!+ (1 — 7) Ьи, 0 ( 7 (!, <де б,=Ь и 7.< =Е, Мы покажем, что все операторы 7ч, и в частности Е<, обратимы.
Обозначим через Т множество тех значений параметра 7 на единичном отрезке, для которых оператор Л< имеет обратный, и хокая<ем, что множество Т совпадает со всем отрезком. <ак как 1) '7 содержит точку 1= — 0; 2) Т является открытым множеством на единичном отрезке, т, е. для любого 1а из Т можно найти такое е(1а) ) О, что любое значение ! на единичном отрезке, удовлетворяющее условию )! — 7е) ( :. з(1а), принадлежит Т; 3) Т является замкнутым множеством. Если эти свойства проверены, то из них сразу следует, что Т совпадает со всем отрезком.
Действительно, тогда Т является не- пустым множеством нз отрезке, одновременно открытым и замкнутым; следовательно, оно совпадает со всем отрезком. Чтобы доказать свойство 1), мы должны доказать, что существует решение уравнения Ьи = 7, непрерывное в 6+Г, равное нулю на 1' и принадлежащее С,,„. Продолжим функцию 7' на шар о, содержащий внутри 6+Г, так, чтобы функция 7" в о принздлекала С„.
В й 1, п. 2 мы построили в 5 частное решение и уравнения Ьи = 7', заданное формулой (14) из й 1. Согласно п, 1, это решение принадлежит С „„в любой замкнутой подобласти о, в частности в 6+ Г. Отсюда следует, что его значения на Г гладки 1в том смысле, как было ранее определено в этом параграфе). Пусть п< — гармоническая функция в области 6, совпадающая с и на Г. В силу теоремы Келлога, приведенной в п.
1, функция ш принадлезкит Сзз, в области 6. Отсюдз следует, что и=о — ш является искомым решением. Прежде чем доказывать свойства 2) и 3), мы заметим, что в силу предположений а), б) и в), а также в силу того, что оператор Е, имеет указанный вид, существуют такие постоянные т<, М< и з, что коэффициенты оператора Е, также удовлетворяют условиям а), б), в) для всех 7, причем постоянные т, М заменяются на т<, 7<!<.
Из оценок (б') следует существование такой постоянной Кз, что искомое решение и, уравнения Е, [и! = 7' удовлетворяет оценке !паз . <Кз!~Л.. (б) Теперь мы будем доказывать свойство 2). Пусть 7а — точка множества Т, а у' — произвольная функция пространства С„. Мы хотил< найти решение уравнения 7<!и) =У Г,», г)г Теория нотеннаала и яллинтачеенае ураенения уловлетворяющее условию и = О на границе н принадлежащее С,„ если Е достаточно близко к Го.
Это уравнение можно записать в виде (.г,[и] = (г.[и[ — Лг [и]+ г' 7г,[гг] =(г — го)(ца — г. [а] )+7. илн Подставляя в правую часть любую функцию и из Сз „, мы получаем функцию т" из С„. Тзк как точка го принадлежит множеству Т, то существует решение о уравнения гг, [о] = (à — го) (ба — г'. [а] )+ (: —..:-. Р. удовлетворяющее условию о = О на границе н принадлежащее Са„„. Мы можем считать, что о получается из функции и с помощью не- которого линейного неоднородного преобразования о = А(и).
С помощью итераций мы находим „неподвижную точку" нашего преобразования, т. е. такую функцию и, что и = А (и). Несложный подсчет, основанный на предположениях б) н в), приводит к неравенству ! ~![а ~~ Кз ! ~ ~о! [!и[!зла+ [!.г ! ен где К, — фиксированная постоянная, не зависящая от и. Применяя априорную оценку (6), получаем [[о[[за» с. КзКз ! т 1о[ 11 "][а~, + Ка []те]1 (7) Отсюда следует, что нз неравенства 1[и[[а„, ( 2Ка [! г'г!. вытекает неравенство ][А(~)][~ „= 1! [[ал, < 2К 1[7'[]сн если 2КгКз! г (о]'4 1' Кроме того, заметим, что если о, = А (и,) и оа = А (иа), то о, — о, является решением уравнения Е,, [о, — оа] = (Р— (о) (Ь (и, — иа) — Е [и, — и,] ), причем о, — оа = О на границе.
Применяя оценку (7), мы получаем 1 [[ог — па[[а+. ~~ КзКз!( — (о[ 1[аг — па[[те. ~~ 2 !]ггг — аз[[а+. (о) если 2КзКз[г — Ро! <1. Тогла, если мы возьмем значение г столь близким к го, чтобы выполнялось неравенство 2КаКз[г — го!" 1, то преобразование А(и) будет переводить множество функций, удовле- д 7. Алриорные оленки (((индера ~воряюпгпх условию ((и((г,.„««2К ((Г()„, в себя и, в силу неравенства (8), преобразование А (и) является сжимающим.
Теперь мы возьмем некоторую начальную функцию и,г> и положим (1=0, 1, ...); ин„, = А(и О) последовательность игг, будет равномерно сходиться к некоторой ф> нкции и из С, „, удовлетворяющей уравнению и = А(и). Тогда функция и является решением уравнения Гт (гг( = Г с условием и=О на границе. Таким образом, отрезок (г — г (" 1г2КгКг прпнадлеькит 'Г и множество Г открытое. г1тобы доказать свойство 3), мы предположим, что г является пределом точек (гг), принадлежащих Т, и рассмотрим любую функцию Г из С„. Ыы имеем соответствующую последовательности (г,) последовательность (иг;>) решений уравнений (ч (игн(=у'; иг приналлежат Сг, и удовлетворяют условию иг,> — - — О на Р.
Применяя оценку (б), получагм О> ((гч а «~ Кг ((У((а' Таким образом, функции ин>, а также их первые и вторые производные, равностепенно непрерывны в О+ Р. Ыы ма>кем поэтому выорать подпоследовательность, которую снова обозначим через инп сходящуюся к некоторой функции и, причем первые и вторые производные функций игп сходятся к соответствующим производным функции и и сходимость равномерна в любой замкнутой подобласти (г. 51сгго, что и прпнадлежнг С, „, удовлетворяет уравнению 1.,(и(= Г и условию и = О на Р. Таким образом, и является искомым решением уравнения гч(и] = — Г н точка г принадлежит множеству Т. Это завершает доказательство теорсмы. Применяя эту теорему и внутренние оценки, легко получить решение уравнения (1) при более слабых предположениях.
Тгогемл. Если ограниченная область 0 гладкая, Г принадлежит пространству С,, а граничные значения гв ненрермвны, то существует единственное решение и уравнения (1), принадлежащее С, „. Для доказательства мы равномерно аппраксимируем заданные функции у н Г с помощью трижды дифференцируемых функций о„ 338 Тл. Г(г. Теория потенциала и эллиптические уравнеэия н дифференцируемых функций Т„так, что нормы 'Тэ1, равномерно огранччены. Согласно предыдущей теореме, существуют рсгцения ия уравнений (.1и„! = У„, принадлежащие Сгь„и удовлетворяющие условиям и, = — уя на Г, Применяя неравенство (13) из 6 6 к разностям ия — и„„мы убеждаемся в том, что функции и„равномерно сходятся к некоторой непрерывной функции и.
Из внутренних оценок (4') мы делзем вывод, что нормы 11и„)1гт. равномерно ограничены. Из этого следует, что и принадлежит пространству С... н что производные функции и явлчются пределами производных функций некоторой подпоследовательности и„(сходимость равномерна в замкнутых подобластях). Функция и явяяется искомым решением. С помопшю внутренних оценок мы можем также решить краевую задачу в широком классе негладких областей. Пусть 0 — ограниченная область, которую можно представить как объединение последовательности гладких областей Оя, причем каждая область О„ содержится в следующей области О„~, и имеет границу Гя. Предположим, что для каждой точки О на границе Г области 0 существуег „сильный барьер", т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
