Р. Курант - Уравнения с частными производными (1120419), страница 68
Текст из файла (страница 68)
Любое равномерно ограниченное множество решений уравнения (1) в 0 содержит подпоследоеательность, равно, черно сходящусося в любой замкнутой подобласти В области 6, Кроме того, предел ривномерно сходящейся последовательности решений уравнении (1) сам является решением. Мы можем сделать ещ некоторые выводы относительно решений уравнения (1'). В этом случае справедлива внутренняя оценка (4') и, следовательно, мы имеем теорему, аналогичную теореме Вейерштрасса о сходимости для гармонических функций (см.
б 2, п. 3). Последовательность решений и„уравнения (!'), непрерывны с в эалсскссиссии области 6, с равномерно сходяи!илсися граничнылси значениями р„равномерно сходится к некоторому решению этого уравнения и, прини.иающелсу граничные знати и и ч = 1'пп сую Этот результат получается, если применить оценку (4') к разностям ип — а: ]]и„— ]], < К;]] р„— су.],' -> О. Внутреннюю оценку (4) можно также испольаопать при обобщении одного из основных свойств гармонических функций на решесщя уравнения (1).
Лкбое решение уравнения (!) бесконеюсо дифферениируелсо, если функция 7 и коэффициенты уравнения бесконечно дифферениируемы. Из аналитичности функции 7' и коэффициентов следует аналитичность любого решения; однако мы здесь пе оудем это доказывать (см. ссылки в следующем параграфе). Мы докаскем теорему о дифференцируемости в следующей точной форме'). Если функция 7 и коэффициенты уравнения принадлежат классу Сы~о где т — неотрииапсельное целое число, О к.. и к.,!. то в лебон' эалскнутой подобласти В любое дважды дифференпи!луемое решение принадлежит классу Сы,г,„.
в )(лсс случая и == О доказательство уже было дано. Сейчас мы проведем доказательство для т = 1 (для т > 1 все рассуждения кожно просто повторить). Пусть В' и В" — аамкнутые подобласти ') Си Хопф 14], где дано доказательство теоремы о дифференпируеиости (а такасе об аыалсстссчиости репсений аналитического уравнения), а котором не исппль'очаиа ссорив существования решений краевой задачи для случая сп = О. Сн. также приложение Ь в работе: Агмон, Дуглис, Ниреиберг 1!]. 344 Гл. !г.
Теория потенциала и эллиптические уравнения области О, такие, что они содержат внутри себя подобласти В и В' соответственно. Пусть число Ье ) 0 так мало, что для Ь ( Ьс и для всех точек Р:(х„ ..., х„) области В' точки Рн:(х, + Ь, хг, ..., х„) лежат в В", Мы вычтем из уравнения (1), написанного для точки Р, то же самое уравнение, написанное для точки Р„, н разделим разность на Ь. Введем для конечно-разностных отношений прн фиксированном Ь следующие обозначения: и = — „(и(Рл) — и(Р)), а", = — „(и,е(Рл) — ага(Р)), л 1 1 — „(Ь (Р~) — Ь~(Р)), с" = л ( (Рл) — (Р)) т л (У(1 л) У (" ))' а через сл обоаначнм оператор, коэффициентами которого являются конечно-разностные отношения для коэффициентов исходного оператора Ь, Тогда мы можем записать полученное в результате этих операций уравнение в виде 1(ил(Р)1 Ьл(и(Р )1+ Гл (10) Так как у и коэффициенты уравнения принадлежат С,э„, их конечноразностные отношения можно записать в виде интегралов, например, 1 Г д аК= ) д агл(Ры)е(Г о где Ри,— точка с координатами (х,+ГЬ, хг, ..., х„), и, следовательно, эти отношения принадлежат классу С„.
Кроме того, так как в' рещение и принадлежит Сг „, правая часть Рл (в которую входят в производные решения и в точках области Вн) прпнадлежит Св . Далее, ~~Р„(" ,<К„, где Кл — постоянная, не зависящая отп Ь. Рассматривая функции и" как решения уравнения (10), мы можем применить к ннм внутреннюю оценку (4), причем В будет замкнутой подобластью области В'1 мы получим, что гг-~-е ~~ Ка' где Ка — постоянная, яе зависящая от Ь. Из этой оценки следует, что существует такая последовательность лн т~„л [Ьн1-+О, для которой последовательности (и н~, (и,."), (яын~ равномерно сходятся в В к некоторой функции о и ее производным он тт,л соответственно. Кроме того, функция тэ принадлежит классу Сг,, в 4 7. Априорные оценки Шардера Но прн й-ьО функция и сходится просто к и е Следовзтельно, мы е доказали, что и,, принадлежит классу Сте„. Аналогично мы можем в показать, что производная и принадлежит Са,.
[1=1, 2, ..., и), в т. с. что и принадлежит Сзе„. в Этот метод легко можно применить к общему нелинейному уравненшо второго порядка ео(хн хт, ..., х„, и, и,, ию ..., и„„)=0, которое является эллиптическим, т. е. для которого квадратичная форма и ,4' Ри, "-.Д» ь егы всюду является положительно определенной. Кроме того, применяя теорему о днфф ренцируемости решений линейных эллиптических уравнений (стр.
343), мы можем легко показать, что любое решение и не,ншейного уравнения, принадлежащее С к ю 0 ( а ( 1, является бесконечно дифферснцируемым, если функция Г обладает производными всех порядков по всем аргументам. На самом деле было показано, что это утверждение справедливо, даже если и принадлежит только С,'). Наконец, решение является аналитическим, если функция Р аналитическая (см. следующий пункт). 5, Дальнейшие результаты, касающиеся эллиптических уравнений; поведение вблизи границы. В предыдущем пункте мы с помощью неравенств Шаудера покааали, что решение эллиптического уравнения второго порядка обладает большой гладкостью, если коэффициенты уравнения достаточно гладки и если с самого начала предполагалась некоторая гладкость этого решения.
Вопрос о дифференцирусмости и аналитичности решений дифференциальных уравнений рассматривался многими математиками, начиная с С. Н. Бернштейна, которому принадлежит фундаментальная работа [1[ об уравнениях второго порядка. На дальнейшие исследования оказала большое влияние работа Хопфа [4[. В этой работе Хопф применяет „параметрикс", чтобы получить интегральные представления для производных решения. [Параметрикс — фундаментальное решение дифференциального уравнения, содержащего только члены второго порядка с постоянными коэффицизнтами, равными значениям соответствующих коэффициентов заданного уравнения в некоторой фиксированной точке.) При доказательстве аналитичности решения нелинейного уравнения эти формулы интегрального предста') Си, Ниренберг [3[ и [1). См.
также Марри [4). Гл. НС Теория потенйиаяа и эллиптические уравнения аления распространяются на комплексные значения независимых переменных '). Марри [2] доказал аналитичность решении лбщ ~х нел ~цепных элл,птических уравнениИ произвольного порядка с помощ ю инте. гральных формул, распространенных на комплексную оСла ть. Кроме того, он доказал для таких уравнений, что решение зздачн Дирихле аналлтично в окрестности границы, сели все данные предпллагаются аналитическ~ми.
Фридман [1) установил анаяогичные результагы, пглучая оценки для всех производных решения и и доказ 1вая сходнмосгь ряда Тейлора к функции и. В указанных ваше доказательствах аналитичности с самого начал» прели ь»агается некоторая гладкость решения. В случае л»нейных элл,пг»ческих уравнений проиавольного порядка д:фференц~руемость решений вплоть до границы прз очень слабых ограничен нях бььча доказана для весьма широкого класса граничных у»повий. Мы отсылаем читателя к работе Ниренберга )2], где имеются дальнейш»е ссылки. Для неллнеиных уравнении предстоит еще лшого работы по ослаглснию предположений о гладкости.
В случае лвух независимых переменных работу в этом направлении начал Морри [!, 3]. Недавно появились работы де Джорджи ]1], Нэша ]1] и Мозера )1], касающиеся случая большего числа измерений з). Мы отметим также интересную работу Хейнца )2) об уравнениях Манж» вЂ” Ампера, в которой обо( щаются результаты Г. Леви (см, ссылки в раооте Хейнца) на неаиалитнческие уравнения. Рассматривая уравнения общего типа, Хйрмандер [4]') охарактеризовал дифференциальные операторы 7. с постоянными коэфф ц»ситами, такие, что яюбое решение и уравнения С[и) =7' бесконечно дифференцнруемо, если функция 7" бесконечно д..фференцируема. Хйрмандер ]2] и Мальгранж ]2) обо(шили эти результаты на линейные уравнения с переменными коэффщ!иентамн. Теперь мы переходим к вопросу о регулярности вплоть до границы решений дифференциальных уравнений, удовяетворяющ 1х дифференциальным условиям на границе.
Хермандер ]3] рассматривал решения уравнения 7.]и] = г' с постоянными коэффициентами в полу- пространстве, удовлетворяющие дифференциальным граничным условиям (тоже с постоянными коэффициентами) на плоской границе. Он охарактеризовал операторы и граничные условия, такие, что решение ') В 1937 г. И. Г. Петровский впервые доказал аналитичность решений для общих нелинейных систем эллиптических уравнений, которые тенерь часто называют эллиптическими по Петровскому. См. рабо~ы И.
Г. Пегровского»7АН СССР, 17 (1937), 339 — 342; Матель сб.. 3 (47), (1939), 3 — 70. — Прим. ред. е) См. Н ирен б е рг Л., УМН, ХЧШ, вып. 4 (1963), 101 — 118. — Прим. ред. ') См, такжв Ш и лаз Г. Е„УМН, Х1Ч, 5 (1959), 3 — 41.— Прил.
ред. 4 7. Априорньге оценки Шаудера бесконечно дпфференцируемо вплоть до границы. если заданные ф; икпии (правая часть 7' и значения граничных операторов. аеиствующ ~х па фуккц ю и) бесконечно дифференцируемы Вля линейных элляпгпческих урзвнений с переменными коэффициентами дифференцнруемосгь вплоть до границы решений, удовлетворяющих граничным условиям, была доказана для широкого класса граничных условий. Случай граничных условиИ типа Дирихле освещен в работе Пиренбергз !6). В некоторых так называемых „задачах со свободной границей' частью задачи является определение области, в которой сугцествует решение эллиптического уравнения, удовлетворяющее заданным граппч|ым условиям Так~ е задачи возникают в газовой диналг1ке и. кои п~о, в теории волн на поверхности воды.
В таком случае надо и только доказать, что рещение аналитична в окрестности неизиестпой границы. но и установить, что сама граница аналитическая. Фупдаченталь,ая рябова по этим вопросам принадлежит Г. Леви (2/'). В заключение это~о пункта мы покажем как можно распространить теоремы предыдущего пункта о д ффгренцируемостн на р щения залаю Вирихле и доказать их д1фференцчруемэсть вплоть до границы. Так как речь идет о лопал ном поведении функппи.
мы будем счнтать, что некоторая часть границы Г, лежит на плоскости, например на плоскости х„=- О, и установим дифф ренцируечость решения на Г, и в окрестности Г,, причем предполагается, ч~о Г, — открытое множество на плоскости ха=О. Для гладкой границы все мпкно свести к такому случаю с помощью некоторого лолзльпого преобразования коорд пьат. Вычитая соответствующую функц ю, мы можем всегда перейти к случаю. когда функция и о~ ращзется в нуль на Гп Р,шсмотрим дважды непрерывно дифференцируемое решение и уравнения (1) в области О, предполагая, что Г, леисит на границе О. Предположим, что выполняются условия а), б), в), сформулированные в начале Э 7. и что функция и принадлежит классу С,„в 6+ Г, п обращается в нуль на Г,. Тогда мы имеем следующую теорему.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
