Р. Курант - Уравнения с частными производными (1120419), страница 67
Текст из файла (страница 67)
е. функция ша, дважды непрерывно дифференцируемая в О, непрерывная и неотрицательная в О.+Г, равная нулю в точке се и удовлетворяющая условию Л)тво) ( — 1, (В следующем пункте мы построим такие функции ш, для некоторого класса областей,) Теперь мы сформулируем следуюгцую более общую теорему. ТеОРемА.
Тгредположим, чта в области О с пголвко что описанны.ии свойсгпвами функция г' принадлежит С„и что а — непрерывная функция в О+Г. Тогда существует единственное решение а уравнения (1), принадлежащее С+, и совпадающее с функцией э на 1'. Д о к азат ел ь ст во. В силу предыдущей теоремы в области 0„ существует решение и„уравнения й(и,)= Т", совпадающее с - на Г„ / Применение оценки (4 ) показывает, что нормы 11ия11„„функций и„ в областях О„равномерно ограничены.
Отсюда следует существование сходящейся (равномерно во всякой замкнутой подобласти О) подпоследоватсльности ия, причем предельная функция и имеет ч О конечную норму 11гг)1, „н удовлетворяет в 0 уравнению б(и)=у', Если мы определим функцию и на Г так, чтобы она совпадаяа 339 Э 7. Аириолиые огееееи Шеидере там с еч то наи останется только показать, что функция и непрерывна в О+ Р. Для этого возьмем точку О на Г и соответствующий снльныи барьер пг .
Из свойств пг следует, что для любого е ~ О существует такая константа ре, что !р — 9(О)~ <е+Фш, в О+Г. Если мы положим (р= а+йг ео, где lгг = п1ах(lг, знр ~ г" — ср(О) ~), то ! р — гр Я) ~ < Ф' в О+ Г. Лалее, заметим, что Е(Ре)=- се.+ МгЯ!еео) ( — внР ( г — ср(гг) (, так как с (О и ь)шо) < — 1, Из способа построения функции Ж' следует, что 1Г7 + (ии — гр (О) ) )~ О На Г„ Е1К + (и„— гр(()))) = — г'.1%') + (г' — сгр(О)) < О н О„. Применяя принцип максимума к функциям (Ег + (и„ - гр(СС)), мы можем сделать вывод, что !гг„— гр(О)!<В' в О„, н, переходя к пределу, получаем (и — гр(О)) (Ж' в О.
Но в силу непрерывности ш мы имеем ге'(2е в некоторой окрестности тоски ф таким образом, функция и непрерывна в О. Так как 0 в произвольная точна границы. то функция и непрерывна в О + Г и теорема доказана. 3. Сильные барьеры и нх приложения. Чтобы завершить рассмотрение краевой ззлачи. мы укажем, как построить сильный барьер и„ для тех граю чн.гх точек О, которые обладают следующим свойством: существуег замкнутый шар ЯО, такои, что его пересечение с О + Г состоит из единственной точки О. Пусть ге — радиус сферы ЯО, а г — расстояние до центра сферы ЯО, который мы принимаем за начало координат. Оператор с задается формулои (1) и предполагается равномерно эллиптическим.
т. е. удовлетворяюгш м условиям а) н б); кроме того, с считается неположителы<ым. Положим ш, =ре,(Я е — г е1, З4О Гл. 1)т. Теория потенциала и эллиптические уравнения где й, и р — положительные постоянные. Ясно, что функция ш не- отрицательна в Сг+т и обращается в нуль только в точке !',). Непосредственный подсчет дает я л й [ш, ] = йыог -р-4 (р+ 2) ~~ аых1х.+ гз ~з (ап+ 0;х,) + и у=т г =1 и +сш, (й,рг-а — т — (р+2)ги+ ~з (аи+(тх) г =. 1 в силу свойства а) и неравенства с (О. Если теперь мы выберем р, а затем й,, достаточно большчми, то мы будем иметь Л[ш, ] ( — 1.
Таким образом, если а, и р выбраны соответствующим образом (при этом они зависят только от )т, и, М и области б), то функция юо имеет все свойства сильного барьера. Заметим '), что с помощью сильных барьеров мы можем распространить метод Перрона (см. й 4, п. 5) для решения уравнения Лапласа на решенно задачи Дирихле для общего однородного эллиптического уравнения вида (1') из й 6, а именно Т.[и]= лч'„1 а,зи, + ~'.,Ь,п,+ си =О, с (О; с з=| при этом требуется, чтобы задача была разрешима в малом, т, с.
чтобы для достаточно малых шаров существовало решенно с проиавольными непрерывными граничными данными. В этом случае можно легко построить функции, аналогичные субгармоническнм (супергармоническим). Непрерывная функция и называется обобщенной субгармонической (супергармонической) функцией, если дяя любого достаточно малого шара С нз области О, и (()~) Мс ]и]. Здесь функция Ма[а] равна а вне С, а в С является решением >равнения (1') пз й 6, совпадающим с а на границе С. Свойстна 1), 2), 3), доказанные в й 6, п.
4 для субгармонических функций, легко распространить на обобщенные субгармонические функции с помощью принципа максимума для уравнения (!') из й 6; удобная для этой цели форма принципа максимума дана в й 6, п. 4. Если мы хотим найти решение и уравнения (1') нз й 6 с заданными граничными значениями у, то мы определяем соответств)пешие обобщенные нижние (верхние) функции как такие обобщенные суб- ') Это замечание принадлежит П. Лаксу. См.
также Таутц [1], Беккенбах и джексон [1]. Симонов [1] применял также некоторую модификацию метода Перрона к решению нелинейных эллиптических уравнений второго порядка в предположении, что решение с задавнымн непрерывнымн гранич. ными условиями можно найти для малых областей. й 7. Аараорньсе оценки Шаудера 341 гармонические (супергармонические) функции, которые не больше (не меньше) р на границе. Как и в случае уравнения Лапласа, искомос решение и равно тогда верхней грани всех нижних функций. Чтобы доказать, что эта верхняя грань является решением уравнения (1') из 9 6, мы для решения, определенного в шаре, должны получить оценки производных в меньшем концентрическом шаре, такие, чтобы оценка зависела только от максимума модуля решения и от того, какие именно шары рассматриваются.
Мы должны также доказать, что предел равномерно сходящихся решений уравнения (1') из 9 6 тоже является решением (см. 9 4, п. 5). Для уравнений, коэффициенты которых удовлетворяют условию Гйльдера, это утверждение следует из внутренних оценок Шаудера, Чтобы показать, что на границе функция и совпадает с р, мы применим сильные барьеры '). Сильные барьеры можно использовать также для того, чтобы в граничных точках оценить первые производные ращений уравнения (!), обращающихся в нуль на границе.
Ламма. Пусть и является решением уравнения с.[се[=у, с<0, )-~ — ! <йазцр[У[ (1=1, 2, ..., и), где сс — постоянная, зависящая только от лс, М и О. (9) Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть Я вЂ” произвольная точка границы. Так как и обращается в нуль на границе Р и ~Ф<!й~ ') Заметссм, что рассматриваемое общее эллиптическое уравнение второго порядка и уравнение Лапласа имеют одни и те же регулярные граничные точки.
См. О л ей и и к О. А., О задаче Дирихле для уравнений эллиптического типа, Мателс сд. 24 (66), (1949), 3 — 14, а также Миранда [1),— Серии. ред. где оператор Е предполасается равномерно эллиптическим, т. е. уловлетворяющпм условиям а) и б). Предположим, что решение и и его первые производные непрерывны в О+Р и что и обращается в нуль на Р. Пусть область О ограничена, имеет на границе непрерывно изменяющуюся касательную плоскость и обладает следующим свойством: существует такая положительная постоянная й, что для любой точки с~ на границе Р можно найти шар радиуса Й, пересечение которого с областью О+ Р состоит из одной только точки Я.
Тогда в любой точке границы 342 Гл. /Р, Теория потенциала и эллиптические уравнения то достаточно в точке >;> оценить производную по внутренней нор. мали ди)ди. Г!усть хг — построенный выше сильный барьер. Из построения функции я ясно, что в точке Я ('о (<й, с некоторой постоянной яз. зависящей только от т, М и 0 и не зависящей от выбора граничной точки г'.>.
Г!оло>ким ю = ю зцр [ Г[; ясно, что Е[о + и[ <О. Так как и обращается в нуль на границе. то, применяя принцип максимума к функциям ю + и, мы находим, что в области 6 [и~ <ю. Обе функции и и ю равны нулю в Я, и, следовательно, в этой точке ~ф) <)ф ~ <й,-р[.Г[. откупа непосредственно следует неравенство (9). 4. Некоторые свойства решений уравнечия А [и[= г. Мы будем здесь предполагать, что функция Г прииаллежит классу С„и что в области с> выполняются условия а), б), в), сфзрчулировзаные в начале этого параграфа. Для того чтобы были справеал >вы любые утверждения, касающиеся решений в замкнутых подобластях 6.
те же самые требования должны выполняться только в любой заикнутой подобласти. Сначала мы получим следующее свойство: если и есть дважды непрерывно диффсрснцаруез>ос решение уравнения 11). >по вторые производные этого решения удовлетворяют условию Гельдера в ли,бой замкнутой подобласти с>. Лостаточно установить этот факт для шаров, лежащих в О. В замкнутом шаре В, лежащем в ст, мы запишем уравнение 11) в виде и и ла а>>и>1+ б>и> = У вЂ” си. ~! эи >,> ! > 1 Соглзсно теореме. доказанной иа стр.
338, в о существует решение ю УРавнения и и ээ а>>ю»+ ~' о>ю> =у — си, >,1=! >=! совпадающее с и на границе. Кроме того. вторые производные функции о удовлетворяют условию Гальдера с показателем а в некотором 4 7. Априорньсе оценки Шаудера ьсеиьшщс концентрическом шаре, Но решение ю этого уравнения с иснссвенно; следовательно, и жми, и вторые производные и удовлесиорчюг условпсо Гальдера. Начиная с этого места. мы будем предссалссгать, что все решения обладают этим свойством. Применяя внутреннюю оценку (4). мы сразу получаем аналог теоремы о компактности для гармонических функций (з 2, п. 3).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
