Р. Курант - Уравнения с частными производными (1120419), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Так как заданное решение (/ уравнения (!) может быть разложено каждым нз этих способов, то мы приходим к задаче об определении получающейся в результате рассеяния расходящейся волны (/т, если известна сходящаяся волна (lз. б б. Краевые задача для общин Нраннениа Едннггвенность решетт 319 р б. Краевые задачи для более оби]их эллиптических уравнений. Единственность решения Хотя уравнение Лапласа би = 0 типично для эллиптических уравнений, построение более общей теории даже для уравнений второго порядка потребовало бы большой дополнительной работы и вышло бы за пределы этой книги; кроме того, эта теория еще не развита полностью. Поэтому мы отсылаем читателя к соответствующей литературе '), а здесь ограничимся кратким изложением некоторых основных фактов, относящихся к краевой задаче и построению частных решений.
В третьем тоне мы снова рассмотрим теорию линейных эллиптических задач с более обц!ей точки зрения, в связи с варнационным исчисленном. Теперь мы рассмотрим задачу о единственности: при каких условиях решение краевой задачи определяется однозначно? 1. Линейные дифференциальные уравнения. Пусть Е[и] = 0— эллиптическое дифференциальное урзвнение Е[и]= ~г агьц + ~~ Ь!и!+си=.— М[а]+си=О, (1) г, ь=! ь=! где ит — — д'и)дхгдхь, иг=ди,дх! Пусть коэффициенты а,. =а р Ьг, с — непрерывные функции пере!генных х,, хг, ..., хн в ограниче>шой об!ласти П и-мерного пространства Йн. Квадратичная форма а;„(хц х,, х„)1~(„ ь, л.=! предполагается положительно определенной относительно параметров:, во всех точках х области б. Тогда мы можем сформулировать следующую теорему. Твоввмл вдннственностн.
Ег.ги с.~ О, то для уравнения У[и]вшМ [и]+си = ~,, а;ьигь+ ~г Ь,и!+си=О (с <0) (1') !, ь=! существует не более одного решения, алеющего а 6 непрерывные производные до второго поряд!та включив!елька, непрерывного в 6+ 1* и принидгающгго заданные граничные значения ') См. ссылки в примечании к стр. 242. В частности, книга Ь)ираиды [!' содержит подробную и обширную библиографию. ЗОО Гэ. г'У Теория потенциала и э.шип>ические Крввпевип на границе области 0'). Другими словами, решение уравнения (!'), равное нулю на Г, тол<дественно обращается в нуль в О. Снзчала мы докажем, что если дважды непрерывно дифференцируелгая функция и имеепг максимум ао внутренней точке Р, то в этой я!очке М [и) О. Отсюда следует, что если к то.иу же с(Р) ( О и и(Р) ) О, то Е[и) (О е пгочке Р.
(Более сильную формулировку принципа максимума см. в и. 4.) Действительно, если фу'ш»ция и ил»еет максимум в точке Р, то все первые производные и! в этой точке обращаюгся в нуль, а л»атрица вторых производных иы(Р)=[>ы является матрицей неположительной квадратичной формы.
Таким обраи зом, в точке Р сумма М[и) равна 5= ~> агьдгь, т, е. следу про>', Ф=! изведения двух матриц (а! ) и (Ьгл), Этот след не может быть по. .>о>кительныл», Действительно, если мы ортогональныл» преобразование!» приведем матрицу (аг„) к диагональному виду (р,.), р, ) О, а матрицу (д»л) тем же самым преобразованием приведем к виду (ргь), то значениевеличины 5 не изменится и мы будем иметь ~= Х рЛи.
Так как матрица (р! ) так же, как (ды), является матрицей неполо>хительной квадратичной формы, то ри в О и, следовательно, 3:~ О. Это доказывает наше утверждение. Предположим теперь, что и есть решение уравнения Т. [и] = О, равное нулю на Г, и что с ( О. Применяя наш результат к функ»п>ям и и — и, мы убедимся, что функция и не может достигать в 0 ня положительно~о максимума, ни отрицательного минимума, вместе с условием и = О на Г это приводит к выводу, что и тождественно обратаепгся е нуль е О. Случай с . О можно свести к случаю с ( О с помощью следующего приема, предложенного Пикаром. Положим и = е (х) о (х) и получим для функции о дифференциальное уравнение вида и и / и Л итога+з ~я~ Егт>г+о~ се+ ~я~ аг„егь+',Гдге! =О, (2) г, ь=! г=! >',а=! г=! ') Если условие с <О не выполняется, то мы не можем, вообще говоря, рассчитывать на едпнственность, что сразу видно, если рассмотреть уравнение дгг + си = О в случае, когда с есть одно из положительных собственных значений, соответствующих граничному условию и = О.
у 6 Краевые задаю! длл общих уравнений Единственность решении 321 (3) где 1 с' = с — — (а»»(ха+ д (ь) е!' Поскольку а„> О, мы можем подобрать постоянные С и 1» таким образом, чтобы всюду в О было с* < 0 и е > 1. Из ранее полученных результатов вытекает, что функция о, а следовауельпо, и а=до, тождественно обращается в нуль в О, Это завершает доказательство нашей теоремы единственности. 2.
Нелинейные уравнения. Теорему единственности для решений урзвнения (1') можно применить прн доказательстве единственности для нскоторык нелинейных уравнений второго порядка Р(хь, хга ..., х„, и, ин ..., и„„) =О, если выполняются следующие условия: для всех точек х,, хт, ..., х„ нз О и для всех значений остальных аргументов функ!(ии Р уравнение является эллиптическим, т. е. квадратичная форма и Х диев е, ь=! положительно определена и др!ди -, О, (Эти условия можно слегка ослабить,) Если и и о — решения, соответствующие одинаковым граничным значениям, то равность в = и — о удовлетворяет уравнению и и Р„, тает+~ Рарь+Р„тв О, ьщ=! г ь=! где »и обозначает среднее значение ! у = ~ т(хн ..., хи, (и+(! — ()о, ги,+(1 — !)оь, ... о ..., Гиии-+(1 — !) о„и) йг.
Это уравнение лля ю почучается, если выражение Р(х», ..., хи, и..., ии„) — Р(х», ..., х„, о, ..., о„„) представить в виде интеграла. Уравнение для ы имеет вид (1'), причем с = Р„ ( 0; поэтому мы можем сделать вывод, что та = О. где р! — некоторые функции точки, непрерывные в области О.
Если в качестве г мы выберем функцию г = Π— еах~ то получим и и а!во!а+,'»', крзь+ с'о = О, !,ь=! е=! 322 у л. ур. Теория потенциала и эллиптические кривлении Рассмотрим теперь квазилинейное уравнение л а! идэ+д=О ,л=! и предполоэкнм, что коэфф:щненты а, и д являются функциями только от х,. х,, ..., хл, и,, иг, ..., ил (т. е. не зависят от и). Тогда мы можем доказать единственность решения краевой задачи прн более слабых предположениях. Если и — такое решение этого уравнения, что соответспэгу!отан матрица (а! ) яаляептся полоэюительно определенной всюду в тэ, то любое ре!иение о этого уравнения, совпадающее с и на границе, совпадает с и всюду в тт.
Заметим, что нет необходимости заранее предполагать, что уравнение является эллиптическим лля функции о. Чтобы доказзть это, мы снова положим и — о = ш н рассмотрим тождество ат [и) игл — ~~ агя [ю) о, +д [и] — д [и) = О, т,е=! т,л=! где мь! применяем сокращенные обозначения а; [и) =а!э(хэ, х,, ..., хл, и,, и,, пл), и т. д. Это тождество можно записать в виде ад„[и) п!э, + ~~ о;„(а;л [и] — аэа [о) )+ д [и) — д [и) = О т,л=! !,а=! Применяя теорему о конечных приращениях ко второй сумме и следующему за ней члену, получаем л л а,э [и) шы+ ~ аде, =О, ь а=! !=1 где а, = а, [и, о) — некоторые функции от хп ..., хл, ап..., ил, ты ..., ол. Теперь, если мы полставим те частные значения и и о, которые мы рассматриваем, в функции а! [и[ и а![и, о], эо получим линейное уравнение относительно тв; это уравнение будет эллиптическим уравнением вида (!').
Таким образом, ш = О. 3. Теорема Реллиха для дифференциального уравнения Монжа — Ампера. Наконец, в качестве примера нелинейного уравнания, не удовлетворяющего условиям теорем предылущего пункта, мь! рассмотрим краевую задачу лля(нелинейного) уравнения Монаков Лмпера А[и)=-Е[и„иэ — иг )+Ли,,+2Ви,-[-Си -[-у=О, 4 б. Крагвые,гада«и дгл общих йравненнй, Единствеггнссул ренгенил 323 Пусть коэффициенты А, В, С, О, Š— непрерывные фушсции х и у в области О, удовлетворяющие неравенству АС вЂ” В' — 7)Е > О.
Тогда мы можем сформулировать теорему единственности '); Существует не долее двух ретениг! уравнении (4), приниггггнгщих одинаковые араничные значения нп Г. Д о к а з а т е л ь с г в о. Если и — решепне уравнения (4), то, согласно (4) и (5), мы имеем неравенство (Еи„х+ С) (Еи + А) — (Еи«у — В)' > О. (6) Из него следует, что произведение (Еи„ + С)(Еиу †, 'А) долгкно быть больше нуля; поэтому ни один нз этих двух множителей нс должен обращаться в нуль в б. Следователыю, оба онн либо всюду положительны, либо всюду отрицательны. Поэтому наша тсорема будет доказана, если мы сулгеем показать, что существует не более одного решения краевой задачи, для которого всюду в 6 Еи х+С > 0 (слеловательно, н Еи +А > О), (7) и не более одного решения, для которого Еи«+С< 0 (следовательно, и Еиуу+ А ( О).
(8) Достаточно рассмотреть случай (7). Если мы предположим, что существуют два решения и и о краевой задачи, для каждого из которых выполняется неравенство (7), то разность ю.= и — о должна удовлетворять двум уравнениям +О) ! ) ( «х уу ху)+( «х+ ) ~г+ +(Еоуу+ А)оу,„.— 2(Ео„, — В)иггу, 0 = Е (и) — 1 ! и — ц ! = — Е (ог,„га, — ш,' ) + (Еи, + С! ш,, + +(Еиу +А)и„х — 2(Еих — В)ш в результа~е сложения которых получается уравнение Рш „— 2(~ш у+ 7ггоууу = О. (9) Здесь коэффициенты Р=Ео +А+Еиу +-А. Я =Ео~, — В+Еи,« — В, Й = Ео«г. -+ С+ Егс, г + С ') Сн. Реллих ()р Гл. I(г.
Теория потенциала и эллиптическое уравнения являэотся непрерывными функциями точки в области О. Квадратичная форма Р!г — 2О!.о+ йэ)г является положительно определенной, так как, в силу формул (6) и (7), она состоит из двух положительно определенных слагаемых. Так же, как в и. 1 и 2, из равенства (9) и граничного условия то=О мы делаем вывод, что то тождественно обращается в нуль в О, доказывая тем самым теорему единственности. Из простых првмеров видно, что в общем случае мы лолжны ожидать существования дэу.с различных решений. Так, например, краевая задача для уравнения с граничным условием (10) в елиничном круге имеет решения и=х'+у' — 1 и о=1 — хг — у'1 для первого решения Еи,„+С=2, для второго Ео„+С= — 2. С другой стороны, если функция Е обращается в нуль е некоторой точке Р области О, то граничная задача не можеог иметь более одного региения.
Действительно, если в точке Р мы имеем Еи + С = С(Р), то всюду з1дп(Еи„,+С)=з!по С(Р), тзк как Еи „+С не меняет знака в области О. Это значит, что знак выражения Еи, +С один и тот же для всех решений и'). 4, Принцип максимум» н его применения. Возвращаясь к линейному уравнению (1) с с ~ О, мы сформулируем теперь усиленную форму принципа максимума Пэннцип илкснмгмл г). Если функция и удовлетворяет условию гИ[и[ )~ 0 и принимает максимальное значение во внупгренней точке, то и =сопз1.
') Надо отметить, что дифференциальное уравнение Монжа — Ампера может быть получено из простой вариационной задачи. При этом мы пренебрегаем дополнительным членом Аи„л+2Ви +Сит и рассматриваем уравнение оллигз о„г = р (х, у), Как легко проверить, оно является уравнением Эйлера для функционала У[и] = ~ ~ [инну — 2о и,и +иги, +бри~йхйу. о ') В этой формулировке теорема принадлежит Хопфу [2[. Здесь дано слегка измененное доказательство Хопфа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
