Р. Курант - Уравнения с частными производными (1120419), страница 64
Текст из файла (страница 64)
Э б. Краевые задави длл обгних уравнений. Единсгвеннасгь реигенив 325 Следовательно, максимум любой функции и, непрерывной в 0-]-Г н удовлетворяющей условию М ]п])~ О в 6, достигается на границе Г. (Это утверждение называется слабой формой принципа максимума.) Ясно, что можно сформулировать аналогичный принцип минимума. Теорема единственности и. 1 вытекает также из указанного ниже следствия принципа максимума.
Следствие. Пусть функция и удовлетворяет в 0 уравнению (1'); сс:щ и достигает внутри области положительного максимума, то л: — — сопя!. Следовательно, если функция и непрерывна в О+ Г, неположительна на Г и удовлетворяет условию С]о]) О в 6, тоа: Ов0. Для доказательства этого следствия прелположим, что и имеет положительный максимум во внутренней точке Р.
Поскольку функция а непрерывна, то опа положительна з некоторой окрестности точки Р; но в этой окрестности М ]а] = Е ]гг] — си О, так кзк с О и, поэтому, в силу принципа максимума, а= †..:сопя!. Таким образом, множество точек, где принимается максимум, открыто в 6. С другой стороны, в силу непрерывности и, оно одновременно замкнуто в 6 и, следовательно, совпадает с О. Отсюда следует, что функция и всюду в 6 равна некоторой положительной постоянной.
Доказательство принципа мзксимума опирается на следующую лемму. Ламма. Пусть 5 — открытый шар и Рв— точкз на его границе. Предположим, что коэффициенты оператора М ]о] ограничены в 5 и что существует положительная постоянная т, такая, что неравенство о,е]г',ь ) гп ~ г; (11) выполняется для всех:, и для всех точек х из 5. Далее, предположим, что Рис, 22. функция а два~яды непрерывно дифференцируема в 5, непрерывна в 5+ Р„ и удовлетворяет в 5 условиям М ]и] )~ О и и ( а (Рв). Тогда пРоизводнаЯ по внешней ноРмали с(иге(гг в точке Р,, пошгмаемая как нигкний предел выражения Ьа1дп, положительна. Доказательство. Пусть 5" — меньший шар, касающийся 5 в точке Р„изнутри (см. Рис, 22).
Тогда Р является единственной точкой максимума функции и в замыкании 5" шара 5'. Возьмем 32б Рл. 110 Теорпл потенциала и эллиптинвекив кров«енин л начало координат в центре шара 5" и положим г' = ~в хсс го обозначает «=1 расстояние между точкой Р, н началом координат. Обозначим через 5' пересечение 5" с фиксированным шаром 5, с центром в точке Ро и радиусом, !!сцен!им чем го.
Граница 5' состоит из сферических сегментов границ 5! и 5', которые мы обозначим через 5! и 5! соответственно, Теперь мы введем вспомогательную функцию -«т' И=в — е полохснтельную в 5* н равную нулю на границе этого шара. При достаточно больших а мы можем сделать выражение М [И]= е "' 4оз ~ аыхсх — 2и,пс(асс+ Итх,.) 1,в=! ! положительным внутри 5'1 действительно, в силу (11) форма и а,. х,хв строго положительна в 5, тзк как г строго положи«,л-! тельно.
На 5! функция и меньше, чем и(Р„), и, следовательно, она строго меньше, чем и(Ро). Поэтому для достаточно малого фиксированного в функция и= и+вИ на 5! меньше, чем и(Р,). Рассмотрим теперь функцию и в области 5'. Внутри 5' мы имеем М [и] =М [и]+вМ [И] > О. В силу утверждения на стр. 320 в и.
1, гпах и достигается на границе области 5'. Но и ( и (Ро) на 5', и о = и к, и(Р„) на 5.',(за исключением точки Р,); кроме того, п(Р,) = и(Ро). Таким образом, шах и достигается в точке Ро. Отсюда следует, что в Р„ — '"- =--""-+в — "" > О, ссп сгп ссп н поскольку с(Цг)п к О, то с(и — )О; ап лемма доказана. Теперь легко получить принцип максимума. Пусть функция и в 6 удовлетворяет условию М [и] ) О. Если и ф совв1 имеет внутреннюю точку максимума, то можно найти шар, целиком леткащий в О и такой, что на его границе лежит точка максимума функции и, а внутри точек максимума нет. В силу леммы, в этой точке а!асс(п '> О, а это б й 7(риввые задачи дяя обсйик дравиеяий.
Единггввяииггь решения 327 противоречит тому факту, что первые проиаводные функции и обраншются в нуль во внутренней точке максимума. Как л!ы замечали ранее, нз принципа максимума слелует, что любая функция, удовлетворяющая в 6 условию М [и[)~ О, принимает максимальное значение в граничной точке. Если в 6 существует шар Ь', такой, что точка максимума Ра лежит на его грзнице, н если в шарь Я коэффициенты оператора М ограничены и удовлетворяют условию (11), то лемма и принцип максимума дают следующий полез!гый результат; либо и= — сопл! в 6, либо производная по внешней ноРмали г(игг(п в точке Рв положительна ').
НапРил!еР. дла таких областей из этого результата следует, что функцив Грина для уравнения М[и[=-О (она обращается в нуль на границе области 6 и имеет особенность во внутренней точке) в любой точке границы удовлетворяет условию г)и[г(п с.. О, так как эта функция достигает минимума на границе. Этот результат лает нам также простое доказательство еднпствен!юсти решения второй краевой задачи, нли задачи Неймана, для уравнения М [и[ = — О, причел! это доказательство легко распрострапить на уравнения вида (1'). Задачу лучше всего сформулировать следующим образом.
На границе Г области 6, обладающей непрерывно изменяющейся нормалью, задана непрерывная функция ~; требуется найти решение и уравнения М [и[ = О, непрерывное и обладаю!цее непрерывными первыми производными в 6+Г, принимающее заданное значение в некоторой фиксированной точке Р и такое, что его пропзнолная по внешней нормали на Г равняется функции 9 с точнссгью до вддитнвной постоянной: г(и — =9+С. йп ') См. Хопф [1]. Надо отметить, что утверждение леммы и последнее утперждение остаются справедливыми даже в том случае, когда наименьшее собственное значение матрицы (аы) может обращаться в нуль а точке Рл, т.
е. когда в точке Р, нарушается эллиптичаость уравнения, если направление границы 5' в ~очке Р, не является характеристическим. В этом случае и 1 сумма ~„агах;хл, используемая в доказательстве леммы, также строго г, л=! больше нуля в окрестности точки Ры следовательно, можно пронес!в н остальную часть доказательства. Аналогичные результаты см в работе Нуччи [1[. [См. также работу Г.
Фикера (р ! с Л ег а О., Оп а ип!!!ед !Ьеогу о! Ьоипдагу чапае ргоЫеша !ог ейдр!!с-рагаЬонс ециапопэ о! весопд огдег, Воипдагу ргоЫешэ !и щйегеппа1 ециа!!опв, 6!ппч %!эсопэ!и Ргевэ, 5(ад!воп, 1960, 97 — 120; русский перевод: сб..Митематиди УА!л 6 71963)), а также пнкл статей А. )1. Александрова (Александров А. )(., Исследования о принципе максимума, р)вв. вмсш, учвбн. ваввд., матем., № 5(1958), 126 — 157; № 3 (1959), 3 — 12; № о (1959), 6 — 32; № 3 (1960), 3 — 15; № 5 (1960), 16 — 26; № 1 (1961), 3 — 20). — Приди ред.[ 328 Гж ее.
Теория погеняипло и эллинги ~евнин дравнения — Е[д[)~ шах ! Е! в 0 р) шах [и! на Г, ! !(к. то Для доказательства достаточно покааать, что функции о=и — д и — и — д неположительны. Но это вытекает нз следствия принципа максимума, так как функция и удовлетворяет условию Е[п[=Е[и[ — Е[Ег[= У вЂ” Е[д[)~О и так как на границе и= э — д'. ' О. Аналогично доказывается, что д.< О. Теперь мы построим такую функцию д, предполагая для удобства, что область 0 лежит в полупространстве х,)~0, Мы будем считать, что существуют такие положительные постоянные лг, Ь, что всюду в 0 ац )~ т, — б, .-.
б. Положим к=шах!у[(е'" — е" )+шах[~[, причем х, с.х в О, а и — положительная постоянная, выбранная так, чтобы функция Ег удовлетворяла поставленным условиям. Ясно, Чтобы доказать единственность, мы должны псн<азатьн что яюбое решение и уравнения Лт'[и[ = О, удовлетворяющее на Г условию г(и[е(п =сопя( =я и обращающееся в нуль в точке Р, тождественно обращается в нуль и, следовательно, )а=О. Мы предположим, что коэффициенты оператора э)т' [и[ ограничены в 0 и удовлетворяют условию (11) и что в любой точке Р, на Г мы можем найти открытый шар 5, целиком лежащий в 0 и такой, что точка Р, находится на границе этого шара. Если и есть решение, то из принципа максимума следует, что а принимает максимальное и минимальное значения в некоторых точках границы Г. В силу наших предыдущих рассуждений в этих точках производная е(а)его соответственно положительна или отрицательна, если и не является тождественной константой.
Но г(и/е(н=)е, следователы<о, сс= — сопя( в 0; кроме того, и тождественно обращается в нуль, так как и= О в Р. Принцип максимума можно применять не только для доказательства единственности решения и уравнения (1') (а, следовательно, и уравнения Е [и] =)), принимающего заданные граничные значения и = у на границе Г области О, но и лля оценки функции и. Мы утверждаем, что если функция д удовлетворяет условиям 4 7.
Яороорнвге оценки Шоудери жо е) гпах )~!. Кроме того, при достаточно болвгиих и — б(д) = гпах)/!(е"к (аног+дго) — с(е"" — е" ) — ошах(со()~ )~ и|ах ( г~ (а ног+ д а) )~ шах ! у !. Выбор а зависит только от т и д. Таким образом, мы получили следующую априорную оценку. Для решения и уравнения (1'), удовлетворяющего граничным условиям и =о, справедлива оценка (12) 1и! ( шах!(в(+ гпах) Г~ (е"' — !), где а- постоянная, зависящая только от Ь и т, а х — такая лосгиоянная, чгно ) хг ~ ( х а Ск Даже не предполагая, что с (О, можно получить оценку вида )и) . Й(гпах)р(+п1ах)у!), (13) осли область б — достаточно узкая в некотором направлении, например хы или, более точно, если (шах с) (ь"' — 1) ( 1. (14) (Тогда постоянная й зависит от т, д, гпахс и х.) Действительно, в этом случае мы можем записать уравнение в виде Л4 (и)+с и=(с — с) и+у =у', где с =гп1п(с, 0), и применить априорную оценку (12).
Получим игах(и( = игах /~!+снах / Г~ (е"' — !) ( ( гп ах / Г ! + (е"." — 1) (гп ах / Г / + шах ( и / гп ах с). или шах)и! ( тах1т1+ гоах ! у((екк — 1) «к 1 — гиок с (е" — 1) Заметим, что из оценки (13) следует единственность решения краевой задачи. ~ 7. Априорные оценки Шаудери и их приложения Г!ервые систематические исследования краевых задач для нелинейных эллипгических уравнений принадлежат Бернштейну. В своих фундаментальных работах он выяснил, что основным и, как правило, наиболее трудным этапом при решении нелинейных эллиптических задач является получение достаточно сильных априорных оценок дла Г.!.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
