Р. Курант - Уравнения с частными производными (1120419), страница 65
Текст из файла (страница 65)
!'е'. Теория оотениио ш и эллинги !вские уравнения решения. Шаудер [1, 2[ ') по.!учил некоторые априорные оценки решений п(хн х,, ..., х„) линейных эллиптических уравнений вида е н Б [и] === ~й а;ни„+ У, б!и, + си = Т' и !!=1 /=1 в ограничешюй области О. Г!рименяя эти оценки, оп прямым методом решил краевую задачу (для с <О), не прибегая к построению фундаментального решения уравнения.
Оценки Шаудера справедливы для равномерно эллиптических уравнений вида (1) с ограниченными коэффициентами, удовлетворяющими условию Гальдера, т. е. для уравнений, удовлетворяющих следующим условиям. Существуют такие положительные постоянные ш, М и а (О < а < 1), что в области О а) для любых действительных с!, Гэ, ..., с„справедливо неравенство б) (ц ~, [Ь(, [с[ М (С Ге=1, 2, ..., и), в) коэффициенты апы др с удовлетворяют условию Гальдера (см. й 1, п. 2) с показателем а и коэффициентом М. Мы приведем оценки Шаудера оез доказательства (см. ссылки на литературу в примечании 1) и изложил! метод Шаудера решения краевой задачи для уравнения (1). Кроме того, мы укажем некоторые применения этих оценок; в частности, можно доказать, что решения (1) облалают свойствами, аналогичными многим свойствам гармонических функций.
1. Оценки Шаудера. Чтобы придать сжатую форму оценкам, которые дают границы для производных решений уравнения (1), улобно ввести классы функций, имеющих производные различных порялков, и подходящие „нормы", выражающие „величину" функций этих классов, Лля этой цели мы определим класс С (и — неотрицзтельное целое число) — класс функций и(хн х,.,.„хе), имеющих частные производные до порядка лг, непрерывные в 6+0, я класс Сме„(ги — неотрицательное целое число, О < а < 1) функций и из С, таких, что их производные порядка т удовлетворяют в О+Г условию Гельдера с показателем о (см.
й 1, п. 2). Класс С,, который иногда называют С, — это класс ф!нкций, непрерывных в О+Р. ') Более простые доказательства дали Миранда [Ц, Луглис, Нярсиберг и другие. Агмон, Лу!'лис и Ниренберг [Ц получили аналогичные оценки решений общих краевых задач для эллиптических уравнений любого порядка; см. особенно стр. 650 †б. В этой эке работе приведена библиография. Э 7. Алраорньсе оценки Шаудера Обозначая любую из производных функции и порядка сн через 0 и, мы введем „норму" в Сер ,:',сс,'~ =- снах /и(Р)~+ шах /О>сс(Р)/+ ... + п>ах [В и(Р)[, РРОС Г РЕ 0--Г Сбоэг где максимум берется также по всем производным указанного порядка.
Обоаначая через Н„[В и) наименьшую константу К, такую, по все производные функции и порядка сн удовлетворяют в 0+> условию Гельдера с показателем а и коэффициентом К, мы введем н С,„,, норму ,'~ и!~ ., „= 'г' и'г + Н„[х)оси], Теперь классы С„определены для всех чисел а О. 5!сно, что класс С, является .тинейным классом, т. е. любая конечная линейная комбинация функций из С с действительным>с коэффициентами также принадлежит С,. Кроме того, легко видеть, что норма ци'~, обладает следующими свойствами: ,",иц,) О (;~ и ~) = О только при и —:= — О); , с и „.=- ! с [ ! и ~,', для дюной действительной постоянной Г; ' и + о(!„ ~~ ), и ~„+ яо(, '(неравенство треуголысика).
Следовательно, класс С, можно рассматривать как линейное пространство, элементами, илн „точками", котооого являются функции и, н в котором норма )' б определяет метрику, нли расстояние между двумя функциями и и о: 'у и — О), . В этом пространстве мы следующим образом определяем сходимость последовательности функций [и,[: и„ -ь и, или 1нп и„ = и, тогда и только тогда, когда у'сса — и:', -ь О. (Сходимость по норме ([сс[[ . где ис — целое число, эквивалентна равномерной сходимости в О+Г функции и и ее производнь>х до порядка лс.) Ясно, что любая сходящаяся последовательность [и„) является последовательностью Коши, т. е.
обладает тем свойством, что [,ию — и,~[,— РО при лс, п — е~. Кроме того, линейное нормированное пространство С, полно, т. е. в С, любая последовательность Коши сходятся. Доказательство этого утверждения предоставляется читателю, Таким образом, С, есть полное линейное нормированное пространство, т. е. пространство Банаха '). Для функций, определенных в некоторой замкнутой ') См., например, Ванах [1), где изучаются такие пространства, а также Данфорд и Шварц [1) и дополнение (й 1б) к этой главе [си. также Люстернин Л. А. и Соболев В. И., Элементы функююнального анализа.
Гостехнздат, М. — Л., 1951. — Лрихс, ред.) зз Гл у(т. Теория потенциала и эллиптические урпэненпя подобласти В области 6, мы будем обозначать соответствующие пространства и нормы через С„ и в и в Кроме пространств С„, нам понадобятся пространства непрерывно дифференцируемых функций, производные которых могут заранее указанным образом обращаться в бесконечность на границе Г. Пусть п' обозначает расстояние от точки Р в 6 до границы области Г, и пусть с(р, .— — ш1п(др, и' ) для любой пары точек Р, ьт.
Для любой функции и, непрерывной в 6+Г и обладающей в 6 непрерывными производнымн до порядка пт, мы определим Ц и ~~ „, = з цр ~ и(Р) ) + з и р тХр ! О' и (Р) , '+ ... + з цр т) р ) Е)'" и (Р) ! рса рда .:а где верхняя грань берется также по всем производным указанного порядка; норма ~~ и ~, может быть бесконечной. Для функций и, производные которых порядка тп удовлетворяют условию Гальдера с показателем и в любой замкнутой подобласти области 6, мы положим Й гбн 1 Н .
~Е)" и(Р) — О-ни(6)~ р, аеа ,'Р— 6,,' где верхняя грань берется также по всем производным порядка т, а ~Р— 6~ обозначает расстояние между Р и 6; кроме того, мы положим !~и',,=('и(~ + Й (д"'и1 Пусть С вЂ” класс функций и, непрерывных в 6+Г, обладающих непрерывными производными до порядка тп в 6 и таких, что норма , и,:~ конечна. Пусть С .,„--подкласс класса С, состоящий из функций, лля которых конечна норма",,и~) ч„при О к.
и !. Таким обРазом, классы С, н соответствУющне „ноРмы" ц Цп опРеделены для всех а~О. Кроме того, нормы у цп обладают свойствами, укаванными выше для норм ц' 'й',, и класс С, образует линейное пространство, которое, как легко видеть, полно относительно нормы ~) Таким образом, С, — банахово пространство. Ясно, что если функцгя и принадлежит С„то она принадлежит пространству С, для люоой замкнутой подобласти 6. Теперь мы можем сформулировать априорные оценки. Сначала мы заметим, что требовании типа б) н в), наложенные на коэффициенты, можно в наших новых обозначениях записать короче, так В 7.
Анраорные оценки Шаудера что вместо требований а), б) и в) мы теперь имеем а с )осах'1' (2) с,е=! с=! н !!ас„!Ко !!бс!!,, !!с!!„.< 2М. (3) Оценки бывают двух типов: „внутренние" оценки (в любой замкнутой подобласти В области О) и оценки „вплоть до границы' (во всей области 0 + Г). Мы соответственно будем считать, что у принадлежит пространству С, или С„. Внут!аннин оценки. Если а — решение уравнения (1), вторые производные которого удовлетворяют условию Гельдера (с показателем а) в любой замкнутой подобласти области О, то норма ;! и !!а„„конечна и !! а !! ае „( К (!! и !!е+ !! У !! „) (4) Здесь К вЂ” постоянная, зависящая только от сн, а, М и диаметра области 6.
Для вывода оценок вплоть до границы мы требуем, чтобы область 0 и граничные значения сс функции и были достаточно глад!!ил!к. Мы называем область 6 гладкой, если она имеет гладкую границу, т. е. если мы можем покрыть Г конечным числом шаров, таких, что часть поверхности Г, заключенная в каждом нз этих шаров, с помощью выделения одной из координат, например хн, может быть аадана в виде х,=д(х!, ха, ..., х„,), причем предполагается, что функция д имеет вторые производные, удовлетворяющие условию Гальдера с показателем а.
Кроме того, граничные значения цс также предполагаются гладкими относительно локальных параметров хн ха, ..., х„,, т. е. и они должны иметь вторые производные, удовлетворяющие условию Гальдера с показателем и. Используя фиксированное конечное число систем локальных параметров на границе и норм !!о!!т „в каждом шаре, можно определить для функции ц! норму !!су!!' как максимум норм !,,'ц!!! Оценки вплоть до гглницы.
Пусть и — принадлежащее классу С„ „ решение уравнения (1) в гладкой области 0 с гладкими граничными значениями у. Тогда !, и!!!ее ( К! (е!! и!!о+ !!У!!, + !!Ф!а*к) (5) где К,— постоянная, зависящая только от лс, а, М и области О. 334 Гл. I[>. Теория потенциала и эллипгнчесние уравнения и из 2 - "- К ([[.Г [ «+ [[й>[ ) ,'[и['„„< К',(,',.Г,,[„+ Л,'[г'н „), (4') где К' и К' — постоянные, зависящие только от т, и, М и от > диаметра обяасти О. 2. Решение краевой задачи. Мы опишем метод Шаудера решения краевой задачи для уравнения (1) с с < О и коэфф:щнентами, удовлетворяющими условиям а), б), в) нли (2) и (3), Г[редположим сначала, что ограниченная область 0 и граничные значения >в гладкие и что у принадлежит С.. Тогда мы имеем следующую теорему.
Теогемл. Существует единственное решение уравнения (1), принадлежащее пространству С .„и прсснсслающее граничные значения р. При докааательстве теоремы достаточно рассмотреть случай ч=:-О, так как предположения о гладкости обеспечивают существование функции о из Сг „, принимающей на 1' граничные значения у. Тогда функция и — ч> обращается в нуль на границе и является решением уравнения Г. [и[= à — Г.[в[. Наша цель состоит в том, чтобы з несколько этапов доказать, что оператор Г абрагам Вывод оценок Шаудера слишком длинен, чтобы его приводить здесь. Он основан на оценке вторых производных решений уравнения частного вида, а кменно, уравнения Пуассона Ьи = Г. Одна из этих оценок, которую мы будем применять при решения краевой задачи, угверкдает, что если и есть решение уравнения Ьи=)' в областа, где Г принадлежит С„, О < в: < 1, то фунниия и в каждой замкнутой подобласти принадлежит С „.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
