Р. Курант - Уравнения с частными производными (1120419), страница 69
Текст из файла (страница 69)
Если правая чисть 7 и ковффициекты уравнения аринадле всат классу С,, где т — неотрииательное целое число и О в < 1. то в любой ограниченной подобласти В, замыкание гсоторой ленспт вО+ Г, функции и принадлевсит классу С Зга теорема включает как частный случай аналогичную теорему па стр. 343. Заметим сначала, что в силу указанной теоремы (на стр.
343) пашу теорем> достат< чно доказать локально, т. е. для малых о'ласгсй В, например, в слу а, когда  — малый полушар с центром ~ а Гп Мы можем также предполагать, что коэффициент с обращается ') Ск. также Гарабедян, Г. Леви н Шиффер [1). 348 Гл, 7)т. Теория лотеяциили и ял.>логические Кривнския Положим оя= си"; легко видеть, что норма )~Е [оя!)[>~к., ограничена постоянной, не зависящей от Ь, и так же, как на стр. 344, получается, что функции и,, 1= 1, ..., и — 1, принадле>кат классу Саве.. Итак, все производные и вида дти/дх,дхр 1< и, /'л.,л, принадяежат С>„„.
С помощью самого дифференциального уравнения мы в можем выразить производную дти/дх~ через эти производные и производные более низкого порядка и установить, что она тоже принадлежит С>е„. Таким образом, и~Сз„„. Для лт ) 1 эти рассуждев в ния также применимы. Аналогичным образом можно доказать дифференцируемость вплоть до любого порядка решения нелинейного уравнения В=О (стр. 345), если это решение обращается в нуль на границе и принадлежит классу Сз~,, а граница и функция Р достаточно гладки. Общие результаты в этом направлении приведены з работе Агмона, Дуглнса и Ниренберга [1!.
ф 8. Решение уравненам Белвтрами В гл. Ш, 3 2 мы показали, что задача о локальном приведе. нии любого эллиптического уравнения аи„, +2Ьи„+-ватт+ .. =О и„-1 и -1- ... =О н к виду в нуль; этого можно добиться, если разделить и на положительное решение однородного уравнения в области В. Существует такая подобласть А области О, обладающая гладкой границей, что замыкание В содержится в А+Р,, а замыкание А лежит в 6+.Р>.
Пусть ч — функция, бесконечно днфференцируемая в области А, равная единице в точках области В и равная нулю вместе со всеми своими производными в тех граничных точках А, которые лежат в области 6, Сначала мы докажем теорему для а=О. Положим о=".и; тогда легко видеть, что функция Е [о! принадлежит а замыкании А классу С„. Применяя основные теоремы существования и единственности (стр. 334 и 337), мы видим, что о принадлежит Стлэ„, так что и принадлежит С> „.
Теперь мы укажем идею доказательства в для лс=!. Следуя доказательству теоремы о гладкости на стр. 343, мы рассмотрим конечно-разностное отношение и", причем разности берутся по направлениям, параллельным первым и — 1 осям, т.
е, параллельным плоскости, в которой лежит Рг Функция и" удовлетворяет уравнению Б[ "(Р)[= — /,"[~(Р„)[+У". Э 8. Реиаениэ уравнений Бельтрана с помощью преобразования а(х, у), р(х, у) эквивалентна задаче о нахожденип такого решенич уравнений Вельтрами Ьр + срг ар, + Ьрт а — а к Уас Ьа ' У )?ас Ьа для которого акр — а р, в О. В этом параграфе мы построим такое решение') в предположении, что а, Ь, с удовлетворяют условию Гальдера с показателем а, О а' а а 1. Длг! любой днфференцируемой комплекснозначной функции в переменных х и у, которую мы обозначаей через ш(г) (г=х+ау), введем формальные, операторы дифференцирования дв 1 !'дв дв! дв 1 (дв .
дв! Ясно, что эти операторы перестаноаочны н что для них справедэивы обычные правила дифференцированию у-(~(~)ю (г))= ив,+~,я; д аналогичная формула имеет место для д,'дг. Если г" — дифференцируемая комплекснозначная функция в, то (г(ю(л))] =у в + ! ю . Тоигдество Грина принимает вид ~ ( га, + в ) йх г(у = — ~ (и иаг — в наг), (2) рассмотрим уравнения Бельтрами (1) и положим я = а+!р, ') Результат и идея доказательства принадлежат Корну и Лихтенштейну. Ланный влезь вариант доказательства был независимо найлен Берсом н Чжэааь Шэн-шэнеи.
Как показал Марри, уравнения Бельтрамн (1) и (3) можно решапь в обобщенном смысле, если и(?) — измеримая функция, )!?~ 0 < !. Ссылиа нз литературу си. з работе Альфорса н Берса 11). 1См. также книгу Белуа 111. — !!рим. ред.1 где йс=г(х+!йу, йз=йх — !?(у, а оператор Лапласа бти равен 4в —. Утверждение, что в(г) является аналитической функцией, может быть выражено так: 350 Гл. Л'. Теория потенциала и эллиптические уравнения Мы сразу можем получить урзвнения 2а - 1Гас — да = (д — 1а .+ 1 ')У ас — дт) р + (с — Ьд — )У ос — д > р, 2н>,")Гас — да=(д+>а+11Гас — дз)рх+(с+ГЬ+ 1'ас — дз) р . Простой подсчет показывает, что коэффициенты прн р и р в правых частях этих уравнений пропорциональны, и мы видим, что те с — а — 2>Ь н>х с+а+2)>ас — Ьв е — а — 2>Ь р= (3) с+а+21'ос †Легко видеть, что уравнения (!) можно также получить из уравнения (3), поэтому выражения (1) и (3) эквивалентны.
Функция р удовлетворяет условию Гальдера [см. 3 1, п. 2) в силу свойств коэффициентов а, д, с, а ее абсолютная величина меньше чем 1. Мы выразим условие о р — о р,ФО через функцию а=о+>р и покажем, что достаточно йайти такое решение ти уравнения (3), что тз,+О в рассматриваемых точках. Заметим, что уха ' 2 Рхун + свуа охр>, — оурх =- у ас — Ь' отсюда видно, что наше условие эквивалентно условию о>+о'+ х у +Рт+ Рэчьб, а длЯ РешениЯ УРавнениЯ (3) это можно выРазить как ш,~О, Из формы (3) уравнений Бельтрами следуют многие весьма специальные свойства решений. Заметим сначала, что если à — аналитическая функция и в является решением уравнения (3), то ) (ти(з)) также является решением, так как à — рУ =/ (н> — рш )=О. Обратно, если ш — такое частное решение уравнения (3), котооое непрерывно и взаимно однозначно отпора>кает область 0 плоскости з в некоторую область 0' плоскости и>, причем тихФьО, то любое другое решение т> уравнения (3) в области 0' явяяется аналитической функцией ш в области 0'.
Действительно, из уравнения(3) мы получаем О=о — ро =о (и — рш )+о (ш — рте )=о я (1 — !р1а), так что о-=О. Таким образом, если мы имеем частное решение ш, осушествляю. шее указанное отображение, то задачу об отыскании другого реше- С Б. Решенье Пльвнений Бельгоами 35! ння, удовлетворяющего другим условиям (например, на границе), можно свести к нахождению аналитической функции Г" (ш), удовлетворяющей условиям, которые являются аналогами условий, налоькенпых ~га решение.
Напрпьгер, задача об отыскании в круге 5, лежащем в области 6, решения уравнения (3), имеющего на границе заданную действительную часть и приш<маюшего в точке Р заданное значение, свод,гтся к задаче об отыскании аналитической функции в области 5' — образе 5. причем она должна иметь заданную действительную часть на границе и заданное значение в Р'.
Следовательно, мы можем считать, что задача решена. '!тобы построить то гастное решение уравнения (3), которое лает требуемое отображение, по крайней мере в лгалой окрестности, мы должны показать следующую теорему. Если фунгсция р(е) удовлетворяет условию Гельдера с показате.гелг и в окрестностп тачки е = О и ((г(е)) 1, то уравнение (3) ижеет в окрестности начала координат решение ш(е), такое, шпо ш,(0) ги О, а производные функции я(в) удовлетворяют условию Гй гьдера с поколите,ге.и сг. Достаточно доказать теорему в предположении, что р.(0) =О. Действительно, если мы ввелем новую переменную ч=а+р(0)я, то ш =ев +та р(0), ш =тес! (О)+ш, ь с' и уравнение (3) перейдет в уравнение пг- = р. (Г) ш где , (О) = И (е) — И (О) 1 — и (0) и (е) Заметггм, что если !(г~ (1, то якобиан преобразования е-+".
положителен н ~а! ( 1. Кроме того, функция !ь(ч) удовлетворяет условикг Гельдера с показателем а и р(0) = О. '!тобы доказать теорему, мы сначала исследуем уравнение иу= 1, прелполагая, что функция г' удовлетворяет условию Гельдера с показателем и в круге 5,: !е! ( г. Полагая яо= ~ ~У($, т))1од!1 — в~д(агг) и учитывал, что го= 4(д/де)(д/де)о=у(с, 4), мы приходим к сле- лующлм леммам. 352 Гл. Лт. Творил потенциала и эллиптические йравпепил Ламма 1. Функция а (г) = — — / ~ — т- дс" ьйь ('.
= ь+ ь йь) 1 сс у(С) н 5 имеет в 8, непрерывные частные пролзводньье, которые определяются формулами И.;(г)= Г" (г), и,(г)= — — Зь Зь =;, ЖаЬт), ! с ь" л' ("-) — у (г) так что и является частным решением уравнения и- =у', Мы предоставляем читателю доказательство втой леммы, аналогичное доказательству второй теоремы из й 1, п. 2. Там была доказана днфференцируемость потенциала распределения масс с плотностью, удовлетворяющей условию Гальдера, и получены выражения для производных. Леммл 2. Пусть функция )''(г) в круге 8, удовлетворяет условию Гальдера с показателель и и коэффициентом Н. Положим Г(") — т' (л) Тогда суьцесьпвует такая постоянная С, завасяьцая только оль а, что (р (г) ( ( СНг", (4) и функция р(г) удовлетворяет условию Гсльдери с показа'пеле.м и и коэффициентом СН.
Ло к азате ль ств о. Мы получим оценку (4), взяв в выражении для р(г) абсолютную величину под знаком интеграла и использовав неравенство )у'(~) — у (г)( ( Н1( — г (". Чтобы доказать, что функция р(г) удовлетворяет условию Гальдера, берем флкслрованные в 5, значения г, и г Ф г, и полагаем В=! г,— г 1 Пусть г, — точка 8,, удовлетворяющая условиям ( г2 — г11л., Ь, )га — гаям ° 3 и г — 1гз() В)10. Покажем, что для некоторой константы С, справедливо неравенство 1р(гь) — р(г )( (СНо", 1= 1, 3; из него следует требуемое неравенство ! р (г,) — р (гз) ( ~( 2СН3 . Мы рассмотрим только случай ь' = 1: р (гь) р (гз) пр ~ ~ з (н) с( ь(т) 1 (5) 3„ где У(гь) — У(() У(гь) — У(() )ь*, — ь ь*, — ьь' 353 ф 8.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
