Р. Курант - Уравнения с частными производными (1120419), страница 73
Текст из файла (страница 73)
Из неравенства (5) тогда следует, что первые производные функций ит, а следовательно, в силу равенствз (7), и первые производные от Ьц„, равномерно ограничены по абсолютной величине на всех компактных подмножествах А множества О. В силу внутренних оценок Шаудера (гл. !У, 3 7) вторые производные функций и также равномерно ограничены по абсолютной величине и равностепенно непрерывны в любой компактной подобласти. С помощью теоремы Арцела (и обычного диагонального процесса) отсюда получается, что некоторая подпоследовательиость )ит ) сходится (вместе со своими производными вплоть до второго порядка) в области О к функции и (и ее соответствующим производным). Но так как последовательность )и ) монотонна, то ася последовательность сходится к и.
Пусть в формуле (8) т — ьсо; мы видим, что — о < и < о, алеловательно, если мы положим и=О на Р, то функция и будет непрерывна в О+я. Переходя к пределу при т-ьсо в формуле (7), мы делаем вывод, что и является решением задачи (3). Легко видеть, что построенное решение и является наибольшим из решений. Действительно, если та — некоторое решение задачи (3), то из принципа максимума следует, что [са) ( о. н по индукции, что ш.(и (т=О, 1, ...). 370 Приложение к гл.
ГК Если бы мы начали итерационный процесс с и„= — о, мы цолучнли бы наименьшее решение. б) Рассмотрим снова задачу (3) в более общих предположениях, а именно, считая, что у(х, и) =у,(х, и)+у,(х, и), где величина ]у',] ограничена и дУ1(ди)0. (Примером может служить встречающийся во многих математических и физических задачах случай, когда у =е".) Как и раньше, мы можем предполагать, что о==О, Согласно теореме о конечных приращениях, мы можем записать задачу (3) в виде ду1 у]и]=ои — д ' (х, и)и=у',(х, 0)+у',(х, и), и=О на Г; ди здесь и(х) находится между 0 и и(х).
Если применить к уравнению с левой частью У.]и] неравенство (13) из гл. 1Ч. 9 6, то получится оценка ] и ] ( К гп ах ] у', (х, 0) + уа (х, и) ] ( М, (9) Мы найдем решение задачи (3), рассмотрев несколько измененную задачу, к которой мы сможем применить результат а). Пусть и(и)— непрерывно дифференцируемая монотонно возрастающая функция, олределенная для — со ( и ( со и такая, что и(и)= и для ]и](М и ]и(и)](2М для всех и. Рассмотрим модифицированное уравнение с функцией у,(х, и)=Л(х, и(и)) в правой части: Ьи=у',(х, и)+у,(х, и)=у(х, и), и=О на Г. (3) Ясно, что ду1Уди)~ 0 и что Л(х, 0) =у,(х, 0).
Из неравенства (9) следует, что решение задачи (3') не больше М по абсолютной величине и, следовательно, является решением задачи (3). Заметим теперь, что для некоторой константы уьг имеем ]У(х, и)]( вцр ]Л(х, и)+Л(х, и)](Лг, !ш <зм и в силу а) сделаем вывод, что задача (3'), а следовательно, и (3) имеет решение. Если дуУди) О, то решение задачи (3) единственно, согласно общей теореме единственности (гл. !У, 9 6, п. 2).
В этом случае дтя решения задачи (3) можно также применять метод продолжения цо параметру, рассматривая для 0 ( г ( 1 однопараметрическое семейство задач Ли=!у(х, и), и=О на Г. При Г = 0 решением является и = О. Согласно рассуждениям в пункте а), множество Т тех значений г, для которых аадача (3") имеет решение, принадлежащее Сат„(см. гл. !Ч, В 7, п. 2), открыто. Неяинейнв~в уравнения 371 шах — ! < сА' зпр! Ьа!, да и дк, (11) где константа с зависит только от числа измерений п. Мы покажем, что для достаточно малых Й последовательность функций, определяемых формулами данн~ = Р (Н1т-Ы! (т=1, 2, ...) а,,=О на Г, ив=О сходится к решению уравнения (10). Введем норму (см.
гл. 1М, 9 7, п. 1) ! и1, = шах(и(+гпах ! — ! ! дх;, и обозначим через р положительную константу, ограничивающую величины !у !, !дЯда! и !ду/ди,! (1=1, 2,,... п) при !)а!!, <!. Вели !(аин1!!, (1, тО, согласно (11), мы получаем, чтО Чтобы завершить доказательство, нам надо только показать, что Т замкнуто; тогда множество Т, будучи непустым и олновременно замкнутым и открытым, совпадает со всем отрезком.
Чтобы убедиться в том, что множество Т замкнуто, выберем последовательность аж решений задачи (Зн), соответствующих значениям 1,н, стремящимся к некоторому г; мы должны показать, что ЗадаЧа (Зн) ИМЕЕТ РЕШЕНИЕ дяя Г. СОГЛаСНО ОЦЕНКЕ (9), фуНКцИИ (и,„!, а следовательно, и !7(х, и )! равномерно ограничены.
В силу неравенства (5) (в его сильной форме) первые производные от функций а, а следовательно, и от Т" (х, и (х)) равномерно ограничены по абсолютной величине. Применяя оценки Шаудера и теорему Арцела, мы получаем, что некоторая подпоследовательность последовательности а,„ сходится к решению и задачи (Зе); зтим заканчивается доказательство существования методом продолжения по параметру. в) Вообще говоря, можно доказать разрешимость краевой задачи для дифференциального уравнения Ьа=у(хо ..., х„, и, и,, ..., а„)=Т[а), (10) если только основная обласлгь 0 выбрана дослгалгочно малой Мы ограничимся случаем, когда Π— шар радиуса )с и а=О на Г, причем будем предполагать, что функция у непрерывна и имеет первые производные по всем аргументам. Заметим сначала, что из сильной формы неравенства (5) следует, что 372 Дополнение к гл.
1(г. и, следовательно, так как иок„.ц = 0 на Г, )ио„ец) ( сгсзр. Если мы выберем гс таким, что сйр+ сестр < 1, то по индукции установим, что вообще ))и1Л),',-<1. Применяя теорему о конечных приращениях, мы, кроме того, получим )й(иокгц — иою))~<)Е)и„к>) — Е)ие„ц) < щ.,')иок,— и~ ~Дц Из (11) мы заключаем, что ))и1 гц — и< ~)), - (сИ+сКг)пи))и< 1 — и1и ц))ц 1 Ограничив И еще и требованием, чтобы было (с)с+ сгсз) пр < —,, мы будем иметь 1,, ))иг ч ц — иг >))г < 21иою — иг -ц))г и, следовательно, )) игмец — иою)), (2 "')) ищ — и,в))ц откуда следует, что функции иою и их первые производные равномерно сходятся к некоторой функции и и ее соответствующим произзодди,к ньщ.
Нетрудно показать (см. й 1, п. 2.), что равномерно удодхг влетворяют условию Гальдера во всякой компактной подобласти области О. С помощью внутренних оценок Шаудера мы легко устанавливаем, что вторые производные функций иоы также равномерно сходятся во всякой компактной подобласти из 5 и, следовательно, функция и в области О имеет непрерывные вторые производные и удовлетворяет уравнению (10). ДОПОЛНЕНИЕ К ГЛАВЕ !(г ТЕОРЕТИКО-ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ТОЧКА ЗРЕНИЯ НА ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ ') Теория уравнения Лапласа на плоскости по существу эквивалентна теории аналитических функций комплексного переменного.
Произвольному линейному дифференциальному эллиптическому уравнению с частными производными второго порядка относител.нз функции двух независимых переменных можно поставить в соответствие теорию обобщенных аналитических функций, или, как их еще называют, ') Это дополнение принадлежит Лилиану бергу. 373 б !.
Определение псеедааналнтннесннк функций псевдоаналитнческих функций. Гйы вкратце опишем основные факты этой теории '), а также укажем на другие связи между теорией функций и эллиптическими уравнениями. р 7, Определение псевдоаналитииеских функций Сначала мы напомним, каким образом аналитические функции связаны с уравнением Лапласа. Пусть Ф(х, у) — гармоническая функция, удовлетворяющая уравнению Лапласа бФ Ф,л+Ф~ =О.
Положим и =Ф„, о= — Ф . Тогда функции и(х, у), о(х, у) удовлетворяют уравнениям Коши — Римана ил — о„=О, и„+ел=О так что комплексный градиент те=и+(о является аналитической функцией номплексного переменного е = х + (у. Кроме того, сами функции и и о также являются гармоническими. С другой стороны, моткно найти сопряженную к Ф гармоническую функцию 1Р из уравнений Коши — Римана Ф, — 1Р =-О, Ф +1Р =О, Функция Ф является действительной частью комплексной аналитической функции ы'= — Ф+Л'. Функции ьй и ю связаны соотношением ге (з) = и Я (е)(из. Рассмотрим теперь общее линейное дифференциальное уравнение с частными производными эллиптического типа а,рц+ 2а,гу: + аггс7„+ атссг-+ агсс, + псу= О.
(1) Предположим, что в рассматриваемой области старшие коэффициенты ан(с,'т() обладают первыми производными, удовлетворяющими условию Гальдера, и что уравнение имеет положительное решение ц, (с, т(). Если мы введем новые независимые переменные х=х(с, и)), у=у(.", и), такие, что отображение (с, т1) — ь(х, у) является гомеоморфизмом г), удовлетворяющим уравнениям Бельтрами (см. гл. Ш. й 2 и гл. !Ч, э 8), связанным с метрикой аю с(гг — 2ап йс с(Л+ ам с(тг ') Эту теорию разработал Л. Беро; независимо она была развита И.
Н, Векуа. Изложение зтой теории дано в работе Берса [Ц вместе с подробной библиографией. См. также И. Н. Векуа (1). ') Гомеоморфизм — зто топологическое отображение; оно взаимно однозначно, непрерывно и имеет непрерывное обратное отображение. 374 ~7ололкеиие к ел.!К и если мы введем также новую неизвестную функцию Ф =1~и(а, то уравнение (1) примет канонический внд ЬФ+ а(х, у) Ф + р (х, у) Ф„= О. (1') В дальнейшем мы будем рассматривать только такие уравнения.
Как и ранее, положим и = Ф , о = — Ф . Эти функции удовле- творяют системе дифференциальных уравнений и — от = — аи+ ро, сс„+о,=О, которая является частным случаем эллиптической системы — о = 1и+ ~ыо, (3) и„+ о„= а,и+ аа о; такие системы впервые были изучены Гпльбертом и Карлеманом. Применяя комплексные обозначения, введенные в гл. 1Ч, й 8, мы можем записать систему (3) в виде ;= (г)-+д(х), (4) где 4о = — ам+ага+там — )аио 4О =ац — аг .+1аа1+(ани а — т =аа, к а„+ т, =,'!а (5) (эта система также имеет вид (3)). Из этих соотношений видно, что уравнение (1') эквивалентно эллиптической системе аа +чу а~а„— таа = — ф; (6) уравнение может быть получено из системы с помощью исключения ф.
Функция у+)ф, соответствующая решению системы вида (6) с коэффициентами, удовлетворяющими условию Гальдера, называется псевдоанилитиееской фуиициеи второго роди, связанной с этой Непрерывно дифференцнруемое решение уравнения (4) мы будем называть исевдоокалитической функцией первого роди, определенной системой (3), или еще (и, Ь]-псевдоаналитический функцией, Комплексный градиент любого решения уравнения (1') ивляется (и, и)-псевдоаналитической функцией, причем 4и = — а — (р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
