Р. Курант - Уравнения с частными производными (1120419), страница 74
Текст из файла (страница 74)
С другой стороны, в Э 4 мы покажем, что если задано уравнение вида (1'), то мы при весьма общих предположениях можем найти две действительные функции т(х, у) и а(х, у) ) О, удовлетворяющие уравнениям Э 2. Ооаио интегральное уравнение системой. Таким образом, любое решение уравнения (1') является действ>пельной частью пссвдоаналитической функции второго рода, Заметим, что линейная комбинация двух псевдоаналитических функций с действительными постоянными коэффициентами снова является пссвдоаналитической, но произведение двух таких функций, вообще говоря, не является псевдоапалитическим. Ниже мы покажем, что псевдоаналитические функции имеют важные свойства, общие с обыкновенными анзлнтическими функциями, и что псевдоаналитпческпе функции первого и второго рода можно рассматривать как два представления одного и того же математического понятия.
ф 2. Одно интегральное уравнение Изучая решения уравнения (4), т. е. [а, 1>)-псевдоаналитические функции первого рода, мы' будем предполагать, что коэффициенты а(я), >>(а) определены всюду, удовлетворяют условию Гальдера и тожлественно обращаются в нуль вне большого круга (а( < Я. (Эти предположения делаются только ради простоты, а результаты, которые будут получены, справедливы при гораздо более общих предположениях.) Изучение уравнения (4) основано на некоторых свойствах ком* плекснозначного двойного интеграла г)(а)= — — / ~ г " Ждт), где г.=(-+1>). Мы предполо>ким, что комплекснозначная функция р(а) обращается в нуль вне круга (а) < 71 и всюду удовлетворяет неравенству (р) < ЛЕ Тогда ~Ч(з)l~< ' IЧ(я>) >7(аэ)> <~Л4>з! яз! 1+~ «Р для любого е, такого, что О < е < 1; при этом константа К зависит только от е и й.
Если же в окрестности некоторой точки функция р(я) удовлетворяет условию Гальдера, то функция д(з) имеет частные производные, удовлетворяющие условию Гальдера в этой окрестности, и удовлетворяет уравнению (7) д,=р Все эти утверждения можно доказать с помощью методов, описанных в гл. 1Ч, ~ 8. Мы заметим также, что соотношение (7) справедливо даже тогда, когда мы не предполагаем, что р удовлетворяет условию Гальдера, если только нам известно, что существует некоторая непрерывно зуб Дополнение к гл. )Ь'. дифференцируемая функция С,с(г), такая, что Я; = р.
Это можно получить из тождества Грина, что читатель легко сможет проверить. Пусть Ф(г) — ограниченная непрерывная функция, определенная в области О. Функция ш(«) яе гяется (а, Ь)-псевдоаналитический тогда и только тогда, когда функция Т" («), определеннан форлсу.гоа г" (г) = те(г)+ — ) ~ — = — —.-- — ' А бт), (8) 1 г с' а (':) и (С)+ Ь(й) се(() я о аналитична а О. Чтобы доказать это, заметим, что двойной интеграл в формуле (8) является непрерывной по Гельдеру функцией от г, так что из того. что одна из функций пс или / удовлетворяет условию Гельдера, следует то же самое для другой. Ес,чи, кроме того, функция в удовлетворяет у.словию Гальдера, то из того, что одна из функций ш или /' является непрерывно дифференцируемой, следует то же самое для другой.
Лифференцируя формулу (8) и применяя соотношение (7), мы получим для ш в области 0 дифференциальное уравнение Таким образом, функция Ф удовлетворяет уравнению (4) тогда н только тогда, когда с'-, =О, т. е. когда функция г'(г) аналитическая, Как следствие этого результата мы получаем теорему об устранимой особенности: Если псеедоаналитическая е области 0 с. )г — гь) (г фувсция ш(г) ограничена, то ее можно сиак определить е точке гь, что она будет псеедоаналсстическоб ео всем круге (г — «ь( с.г.
Доказательство следует из того, что это справедливо для аналитических функций и что двойной интеграл не изменяется, если нз области интегрирования исключить одну точку. Для заданной функции Г"(г) уравнение (8) можно рассматривать как линейное интегральное уравнение относительно неизвестной функции те(г). Это уравнение, как доказал Век> а, всегда однозначно разрешимо. Однако мы не будем пользоваться этим фактом, 8 3. Принцип подобия Мы называем две заданные в области П комплексные функции се(г) и Т'(г) подобными, если отношение шсс)' ограничено, отгранячено от нуля и непрерывно в замыкании области. Мы докажем четыре теоремы, утверждающие, что любая псевдьаналитическая функция подобна некоторой аналитической функции, и обратно. а) Пусть се(г) — произвольная [а, Ь]-псеедоаналитическая функция е области О. Тогда существуют аналитичесссан функ- З 3. Принцип подобия 377 ция Е(г) и комплекснозначная непрерывная функция з(е), та- кие, что то(з) = ~ м)У (з).
(9) Кроме того, в(г) непрерывка в замыкании 0 и удовлетворяет условию Гельдера, причем максимум ее модуля и модуль непрерывности зависяль только от коэффициентов а, д. Доказательство состоит в том, что явно выписывается функция з(г). Если ш(з)— = О, то доказывать нечего. Если ш не обращается тождественно в нуль, то мы обозначим через 0з открытое подмножество О, в котором го(г) чь О, и положим ° ГХ(а()+ (~) Р11— оо Функция в(г) всюду непрерывна; в 0ь она непрерывно дифференцируема и удовлетворяет уравнению в-, == а+Ото(ш. Поэтому Е-, = 0 в Е),, т.
е. функция Е(г) аналитична в 0. Из теоремы об устранимой особенности для аналитических функций следует, что Е(г) аналитична также во всех изолированных точках дополнения 0 — 0в. Пусть теперь га†неизолированная точка Е) — 0з. Тогда существует последовательность точек (г,), таких, что ю (г,)=- О, г= 1, 2,..., и е, — ь гм й(ы можем выбрать такую подпоследовательность, что последовательность аргументов г, — г тоже будет стремиться к некоторому углу О.
Простое применение теоремы о конечном приращении показывает, что в точке гв выполняется соотношение ее сов О.+ + ш снп О = О. С другой стороны. чо(гь) = 0 и, с.чедовательно, в силу (4), также и 2чо, -= ш„ + гев = 0 в точке гь. Поэтому те (гз)=чоэ(гь)=0, так что)пп(то(г)Яг — гс))=-0 и 11ш[Е(г)Е(г — гь)!=.-О. г-+м х-ь м Отсюда следует, что функция Е(г) имеет комплексную производную также и в неизолированных точках 0 — О, так что Е(г) аналитична во всей области О.
Так как аналитическая функция, не равная тождественно нулю, имеет только изолированные нули, мы можем а роз1ег!оп( сделать вывод, что дополнение 0 — 0ь состоит только нз изолированных точек, так что мы можем написать э(г)= — — ~ Яа(")+Ь(Г) — -:;-] —,. — '. (10) о То, что эта функция обладает нужными свойствами, следует нз результатов э 2 этого дополнения.
б)' Пусть выполнены предпололсения пгеоремы а) и пусть граница области 0 состоит из простой за,якнутой двазкды непрерывно дифференцируемой кривой С и область 0 нахо- Дополнение к гл. 11Ц о ((г)= — ] д, 1гпз(е")б0, о зо(г) = о (г) гг'(г) — з(го)+ г((го). Из теоремы Привалова следует, что аналитическая функция г(г), действительная часть которой на окружности !г/=1 равна 11пз(г), непрерывна в замкнутом единичном круге, причем максимум ее модуля, а также постоянные а н Н в условии Гальдера зависят только от коэффициентов а и Ь. Ясно, что функция е-ыы1ш (г) аналитична. С другой стороны, функция зо(г) действительна при ! г, := 1 и обращается в нуль при г = г .
в) Пусть Л'(г) — аналитическая функция, определенная в об'- ласти О. Тогда существует функция з(г), непрерывная в замыкании О, удовлетворяющая ус,говию Гельдера и равная нулю в заданной точке го, такая, что функция то(г)=е'"~у(г) является 1а, Ь)-псевдоаналитическогГ. Функцию з(г) можно выбраяь так, чтобы максимум ее модуля и моду.гь непрерывнослги зависели лголько от а, Ь. В силу доказанной выше теоремы об устранимой особенности мы не нарушим общности, если удалим из области П все нули аналитической функции у.
Тогда мы можем предполагать, что Л'(г) Ь О в П. 'Если мы сможем найти функцию з(г), удовлетворяющую дифференциальноиу уравнению з- = — а+ Ь вЂ” е'-', 2 то функция е'Т будет (а, Ь)-псевдоаналитический. (И) дится целико.и внутри или це,гиколг вне С. Тогда функцию з(г) можно выбрать таь, чтобы она била действительной на С и обращалась в нуль в заданной' точке го кривой С, Мы докажем эту теорему только для случая, когда С является единичной окружностью, а 0 — единичным кругом. Случай общей кривой С можно рассматривать аналогично нли свести к единичному кругу с помощью конформного отображения. Доказательство опирается на классическую теорему (принадлежащую Л.
Корну и И. И. Привалову), касающуюся сопряженных функций. Пусть гг(г)=(/+Лг — аналитическая функция в единично.и круге. Если функция (л(х, у) непрерывна в единичном круге и удовлетворяет в нем условию Гельдери с показателем и<1 и константой Н, то функция ь (г) в замкнутом круге удовлетворяет условию Гбльдера с показателем а и константои ЬН, где я зависит только от и, Доказательство теоремы Привалова дано в й 14 этого дополнения. Чтобы доказать утверждение б), определим з формулой (10) и по- ложим 379 б 8. Принцип подобия Чтобы найти такую функцию в, мы рассмотрим оператор Т, преобразующий ограниченную непрерывную функцн1о в (е), заданную в области О, в функцию и(е) — о(зз), где (е)= )ТГ~ад+Ь(~)+~~~У~~ е'ю-'<с1~ ~~""~~.
(!2) Ограниченные непрерывные функции в области Ту образуют действительное векторное пространство В, так как линейная комбинация двух непрерывных ограниченных функций с действительными коэффициентами также является непрерывной и ограниченной. В этом пространстве можно ввести норму ))вй) = эпр )в (е)). Если )в„) является последовательностью Коши по этой норме, т.
е. если 1пп ))в„— ли ) =.-О, юя, л.иса то существует ограниченная непрерывная функция в (е), такая, что ))в„— з))-ьО, Таким образом, пространство В является полным нормированным пространством, т. е. банаховым пространством '). Ив свойств двойного интеграла, установленных в 9 2 этого дополнения, следует, что максимум модуля и модуль непрерывности любой функции о = Тв аависят только от а, Ь, и, если область В неограничена, они имеют (равномерно по е) порядок О ()е) ) при е — ь .ю.
Пусть Л обозначает множество всех функций с таким максимумом модуля и модулем непрерывности и — в случае неограниченной области О— с таким поведением на бесконечности. Множество Л вЂ” выпуклое (см. 9 15 этого дополнения). Кроме того, из теоремы Арцела (см. т. 1, гл. И, 9 2) следует, что из любой последовательности функций, принадлежащих Л, мы можем выбрать равномерно сходящуюся подпоследовательность, т. е. подпоследовательность, сходящуюся по норме пространства В.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
