Р. Курант - Уравнения с частными производными (1120419), страница 76
Текст из файла (страница 76)
Мы приводим формулы без доказательства. Пусть те(г) — псевдоаналитическая функция, определенная в области О, лежащей внутри простой замкнутой гладкой кривой С, и предположим, что я непрерывно продолжается на С. Тогда для г из () справедлива „формула Коц)и" 2я .1 с (15) Этот интеграл надо понимать в следующем смь)еле. Если параметрическое представление кривой С имеет внд Г(з), О ., з - Е, то для любой функции у, определенной на С, имеем (Х(ч) )Г Г г) = ~ ~ (Х!" (з)) ~'(з) г (з) г) Е с о Интеграл (15) равен нулю для точек г, лежащих во внешности С. 1)!ь) будем предполагать, что коэффициенты уравнения (4) удовлетворяют требованиям, сформулированным в 8 2 этого дополнения, так что принцип подобия можно применять во всей плоскости. Согласно этому принципу, существует псевдоаналитическая функция первого рода, подоб)ная аналитической функции а(г — го)", где л — положительное или отрицательное целое число.
Мы обозначим эту функцию через те(г)=л ) (а, го, г) и назовем ее формальной . И) степенью. Она ведет себя, как а(г — го)", при г-+го и равна 0()г)") на бесконечности. Применяя принцип подобия, легко убедиться в том, что эти свойства однозначно определяют функции 7~ ). Из принципа подобия также следует, что существует такая константа К, зависящая только от рассматриваемого уравнения, что —,',;.аИг — го~"=-1~РО(' го. г))~(К~а! ~г — го~' ЗВ4 Дополнение и гл. 1'е'. Рассмотрим теперь псевдоаналитическую функцию, определенную в области 0 < (г — г„( < ес. Тогда ш(г) единственным образом представляется в виде ряда те(г)= ~г грв(ал, ге, «), и- — и сходящегося в этой области. Если бесконечное число коэффициентов а„при и < 0 отлично от нуля, то функция имеет существенную особенность в ге. Если только конечное число коэффициентов а„с отрицательным и отлично от нуля, то функция имеет полюс, а если в разложении имеются только коэффициенты а„, соответствующие положительным и, то функция регулярна в г .
Эти результаты можно, конечно, переформулировать так, чтобы они относились к решениям дифференциальных уравнений с частными производными эллиптического типа второго порядка, без упоминания псевдоаналитических функций. ~ б. ДиЯЯеренг4ирование и интегрирование лсевдоаналитичесних ййуннций Говорят, что два решения уравнения (4) с (г) и 6(г) образуют порождаюя(ую пару, если они не обращаются в нуль и если мнимая часть их отношения О!с положительна. Так, для уравнений Коши — Римана порождающую пару образуют функции 1 и а также е', (е'. При весьма общих предположениях можно доказать, что порождающие функции всегда существуют.
Например, в предположениях й 2 этого дополнения, можно взять в качестве порождающей пары два ограниченных целых решения уравнения (4), принимающих в начале координат значения 1 и д Пусть (Г, 6) — поронедающая пара для уравнения (4), Любую комплекснозначную функцию це(г) можно однозначно записать в виде ( ) = е (г) с (г) + ф (г) О (г), (16) где функции а и ф действительны. Удобно кажлой функции ш ставить в соответствие функцию ея(г) = ее-(-Рь Как будет показано ниже, если ш — псевдоаналитическая функция первого рода, то еп — псевдо- аналитическая функция второго рода. Так как любые две достаточно гладкие функции с, 6, которые не обращаются в нуль и отношение которых ОгР имеет положительную мнимую часть, образуют порождающую пару для некоторого уравнения вида (4), то мы в дальнейшем будем говорить о (с, 6)-псевдоаналитических функциях.
Функция (16) является (с, 6)-псевдоаналитической тогда и только тогда, когда (17) у,-Р+ Ф,-О =- б. 385 ф я Лифференчироеание и интегрирование Действительно, по предположению, мы имеем Г;= аге+ЬР, 0;=а0+вО, так что Введем теперь действительные функцви т(г) и е(г) ) О с помощью соотношения а — гт = !Р/О. Тогда уравнение (17) будет совпадать с системой (6) и наша терминология будет оправдана. Если функция (18) является (Р, 0)-псевдоаналитической функцией то ее (Р, О)-производная определяется формулой = тв = 7ег + ' еО. (18) Если функции А(г), В(г) определяются уравнениями Г, = АГ+ ВГ, О,= АО+ ВО, то формулу (18) можно записать в виде ю = та, — Аю — Втв.
Если навестив производная та, то функцию тв или, точнее, соответствующую псевдоаначитическую функцию ы второго рода, можно получить с помощью интегрирования. Действительно, определим двойственную порождающую пару (Р, О)'=(Р', 0*) с помощью соотношений Тогда, согласно формулам (17) и (! 8), получим 2о, = В*ею, 2),= — О*я, так что м(га) — м(г,)= ) (Ке(Р'твг(г) — !йе(О*чае(г)1. (!9) Замечательно, что (В, 0)-производная от (Р, О)-псевдоаналнтической функции сама является псевдоаналнтической, но, вообще говоря, 388 Дополнение и гл.
)'г'. относптелы<о другой порождающей пары. Чтобы доказать это, мы вы- числии ') ю; и получим тл-, = (теГ+ ', г0); = = р (аГ + бГ)+ .', (п0 + 80) + + 'р-Г+ '. О), — р;(АГ+ВГ) — (,-(АО+ВО). Замечая, что (г-Г+-ф О),: —.:О, и выражая 8п, о;, ф, ',— через то и то, согласно формулам (17) и (18), мы получим уравнение ю) = лю — Все, из которого следует, что функция ю является (а, — В)-псевдоанали- тической. Порождающая пара (Гн 6,), соответствующая )равнению те- = аеа — Вы, называется последующей для пары (Г, О).
Исходная пара (Г, 6) сама является последующей для некоторой пары (Г н 6,), которая может быть получена следующим образом: пара (Г,, 6,) является двойственной к паре, последующей для пары, двойственной к (Г, 6). Простое доказательство этого факта предоставляется читателю. Таким образом, заданная порождающая пара (Г, 6) может быть включена (прнчем бесконечно большим числом способов) в последовательность порождающих пар (Г-м 6-а)* (Г-! 6-1) (Га Оо) (Гг 61) (Га Ог) (20) такую, что пара (Г„О,) является послелующей для (Г,, 6,,). Такая последовательность называется периодической с периодом и, есл ~ (Г„, 6„) =(Го, Оо).
Наименьшее а, для которого это имеет кесто по всем последовательностям, в которые можно вкл1очнть пару (Ги, Оо), называется минимальным периодом для (Г,, Оо); говорят, что пара (Г, 6„) имеет минимальный период оо, если ее нельзя включить ни в какую периодическую последовательность. Проттер [1) показал, что существуют порождающие пары для любого заданного ми- нимального периода. Относительно порождающей последовательности (20) заданная (Ео, Оо)-псевдоаналитнческая функция я (я) имеет производные всех порядков, которые определяются рекуррентными формулами 1п1 "~„,о„) ге а1о~ =пь тощ-и = —" — '." — (и=0, 1, ...).
Фе Можно показать, что, как и в случае аналитических функций, после- довательность чисел (то1п)(зо)) для некоторого фиксированного л однозначно определяет функцию то, ') То, что функция ы непрерывно дифференпнруеиа, можно доказать, применяя теоремы существования для уравнения (1'). 387 а 7. Уравнения емжианнага типа Применяя порождающую последовательность (20) и описанный выше процесс интегрирования, можно с помощью квадратур построить последовательность (Рн 0,)-псевдоаналитических функций частного вида, называемых локальными формальными степенями; они обозначзются через Л, (а, гв, г). Эти функции определяются рекуррентными соотношениями (" га г) =" гГ о 2, (а,г,х) (и) тгх (п= 1, 2, ...), где а и гз — комплексные постоянные.
Название „степень' оправдывается тем, что для (Га 0,)=(1, 1) (в=0, ь1, ...) мы имеем (" «о г) = " (г — га) Глобальные формальные степени, описанные в й 5 этого дополнения являются частным случаем локальных формальных степеней, ф 7. Пример. Уравнения смешанного тило Не ссылаясь на общую теорию (Е, О)-днфференцирования и интегрирования, можно сразу проверить, что если пара (ту, ф) удовлетворяет уравнениям (21), то пары (р', т1т'), где тр =Ух (т =фх и (Ф, %), где Ф и гР определяются не зависящими от пути интегралами Ф=Г( ".-~ф" ) '=Х("'"+-''у) так>хе являются решениями системы (21). Порождающая пара (1, гр(у)) является последующей для самой себя, функция ~8'+фф' является (1, г)т)-производной от ~8+ 18ф, а эта последняя функция является (1, гр)-производной от Ф+18%'. ') Слт.
Берс и Гельбарт (1). Особенно простой класс псевдоаналитических функций получается, если в качестве порождающей пары берутся функции р = 1, 0= — г8(у), где р(у) — положительная функция. В силу условия (17) функция е+Грф является (1, гр)-псевдоаналитическоя тогда и только тогда, когда 7 и ф удовлетворяют уравнениям ') 'у ='р(у)ф рт= — Р(у)ф .
3ВВ Дополнение к гл. ![т, Определенные выше локальные формальные степени можно явно выписать. для простоты мы рассмотрим только степени 2'ю(а, О, л). Положим У У в У 1'"(у)=31[ (д) сЬ), ..., Р (я) о У У и, ""() — ' ""() — Х~() ''(у)= ' л 3 (т) в о У<з>(,) 31/ 3( ) [,1з1( з р! '(у)=21~ Р(т[) учн(т[)лье, (23) о Тогда для действительных Л и р и и = 1, 2..., имеем л л.1лт (Л+ [р., О, х [-[у) = Л ~~кл ( ".
] х" т[7['7(у)-[- ~1) 7-о а +![к ~ ( .) х" 7!7[г171(у). (24) !=О р. = 1 (у)ф, ту гз (у) Фх' где мы не предполагаем, что действительные функции р, и р, положительны. В формулах (22) — (24) надо только заменить 11 на р и 1[р на 17[тг. Система (25) может тогда быть нли эллиптической, или гиперболической, или смешанного типа. В качестве примера системы смешанного типа рассмотрим систему 9.=У, т = — уфл Исключение функции р приводит к так называемому уравнению Трикоми') уф.,+ф„=о. ') Теории етого уравнения была заложена в знаменитой работе Трнкоми [!].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
