Р. Курант - Уравнения с частными производными (1120419), страница 75
Текст из файла (страница 75)
Таким образом, Л есть компактное подмножество В. Легко видеть, что Т непрерывно преобразует В в Л и, в частности, дает непрерывное отображение Л в себя. Теперь мы применим теорему Шаудера о неподвижной точке ') (см. 9 9 н 15 этого дополнения), которая утверждает, что непрерывное отображение компактного выпуклого множества в банаховом пространстве в себя имеет неподвижную точку. Из этой теоремы следует, что существует функция в(е), принадлежащая Л, такая, что в = Те, т. е.
8(е) = — — ' 3' Х ~а (()+ Ь О вЂ” 'Ю вяжи- к!1 ~, ' — —,', 1 Ж Хц. о Эта функция удовлетворяет рассматриваемому дифференциальному уравнению (11) и обращается в нудь в точке ') См. 9 !5 этого дополнения. ') С помо~пью более длинных рзссуждеиий можно обойти применение теоремы Шзудерз. До»алке»»е з гл 1У. 380 г) Пусть область гз и кривая С удозлезгеоряюпг условиям теоремгя б), и пусть Т(«) — заданная аналитическая функция е области О.
Тогда функцию з(«), существование которой утверждается е теореме в), можно выбрать так, чтобы она была действительной на С и обращалась з нуль е заданной точке «а кривой С. Доказательство очень похоже на доказательство теоремы б). Мы снова будем рассматривать только случай единичного круга, Чтобы найти требуемое решение уравнения (11), мы рассмотрим оператор Тп который преобразует ограниченную непрерывную функцию з(«), заданную в области О, в функцию а,(«) — а,(«з), где 2» а,(«) =а(«) — — ) ль 1ша(ем)д0 2в3 еп а (функция а(«) здесь опредечяется формулой (12)). Затем мы применяем к уравнению в= Т,з теорему Шаудера о неподвижной точке.
Тот факт, что преобразование Т, отображает пространство В в его компактное выпуклое подмножество, следует из теоремы Привалова. ~ 4. Приложения принципа подобая В качестве первого приложения мы укажем теорему о локальном поведении псевдоаналитических функций. Пусть функция сз(«)— псездоаналитическая з области О ( 1« — «с! ( г. Тогда либо и(«) при « — ««ь принимает значения, сколь угодно близкие к любому комплексному числу (существенная особенность), либо существуют положительное целое число и и комплексное число а + О, такие, что » ге («)— » «««ю (г — го) (1 3) (это значит, что тв имеет полюс порядка и), .либо та(«) имеет з точке «е устранимую особенность. Если функция ш(«) регулярна з точке «„и ш(«е)=О, те Ф О, то сущесплзуелг положительное число и и комплексное число а ~ О, такие, что та («) а (««О)» (14) (нуль порядка и).
Это утверждение сразу следует из принципа подобия а) и соответствующих классических утверждений относительно аналитических функций. В качестве следствия мы получим хорошо известную теорему Карлемана, утверждающую, что решение уравнения (4), не равное тождественно нулю, имеет только изолированные нули и в каждой точке может иметь нуль только конечного порядка.
Из 381 4 4 Прилояселил принципа подобия этой теоремы следует, в частности, что псевдоаналитическая функция однозначно определяется своими значениями на любом открытом множестве. То же самое утверждение справедливо тогда для решений эллиптических дифференциальных уравнений вила (!) с гладкимн не- аналитическими коэффициентами. Эту теорему об однозначной продолжимости можно различными методами распространить также на эллиптические уравнения вида (1) с ограниченными измеримыми коэффициентами.
Ароншайн ') доказал теорему об однозначной продолжнмости для уравнений второго порялка с достаточно гладкими коэффициентами в и-мерном пространстве э). Мы сейчас применяли ту часть принципа подобия, которая описывает структуру псевдоаналитнческих функций, Теперь мы дадим применения тех утверждений, которые являются утверждениями о существовании. Мы покажем, что для эллиптического уравнения вида (1') существует функция Грина в любой области Р, ограничеьшой простой замкнутой дважды непрерывно дифференцируемой кривой С.
Чтобы построить эту функцию, возьмем д'(дэ, г) — функцию Грина для уравнения Лапласа, соответствующую рассматриваемой области, с особенностью в точке ге и положим 4сс = — а — 192 !1ринцип подобия г) утверждает, что в области Р существует [а, а[-псевдоаналитическая функция тп (д), такая, что частное ш[(й — )пт) равномерью непрерывно, отлично от нуля и действительно на С. Возьмем некоторую точку гь на С и положим 0 (аш а) = Гсе ~ чп (г) г(з. и Криволинейный интеграл не изменится, если путь интегрирования деформировать так, чтобы он не проходил через особую точку гэ.
Действительно, если С вЂ” замкнутая кривая в области Р, такая, что в ограниченной ею области 0 не содержится точка вш то мы имеем, согласно теореме Грина, )те ~ тпь(я=)те 21 ~ [ тв;оьк сьу = О. ') См. Аронщайн [Ц. Независимо тот же результат доказал Кордес [Ц. Кальдерон [Ц показал очень общую теорему единственности для задачи Коши.
Эти работы обобщают основную идею Карлемаиа [Ц. Независимо Мальграннс [Ц и П. Лакс [Ц установили интересную связь между свойством однозначной продолжимости и свойством Рунге для эллиптических уравнений. Недавно Плись [3, Ц и независимо Коэн [Ц дали примеры эллиптических уравнений, для которых свойство однозначной продолжимости не имеет места. ') См. также Ла иди с Е. М., ДАЛ СССР, 107, 5 (1956), 640 — 643; Лаврентьев М.
М., ДА~ СССР, 1!2, 2 (1957), 195 — 197; Не!пз, 14аслгггатеп Алпд. 1Рьзж Бдмпьяеьь, ! (1955). ! — 12, и книгу Хстрмаььдера, указанную в примечании на стр. !59, — Прим. ред. 382 Дополнение к гл Л', Чтобы локазать однозначность функции 0(г,, х), мы должны показать, что криволинейный интеграл, взятый по некоторой замкнутой кривой вокруг особой точки, равен нулю. Но на С мы имеем а'=О и, следовательно, д„дх+ й' ду = О, так что Ке(твдг) =О на С ' дС= Ке ~ чейз=О, с с откуда и следует наше утвержление, Функция 0(г,, г) является решением уравнения (1'). Она постоянна на С и, как легко видеть, имеет логарифмическую особенность в точке гз.
Следовательно, она и является искомой функцией Грина. Заметим, что такой метод построения функции Грина дает сразу существование и непрерывность ее нормальной производной нз границе. Аналогичным способом мы можем построить решение уравнения (1'), которое обращается в нуль на некоторой луге кривой С и равно 1 на дополнении этой дуги. Если мы имеем такую функцию, то мы легко можем решить для уравнения (1') первую краевую задачу.
Применением принципа подобия получается также слелующий результат: существ»ет одна и только одна ограниченная(а, Ь)-псевдоаналптичесная функция те(г), определенная во всей плоскоспгп и принимающая в некоторой точке ха значение а. Действительно, в сил> теоремы в) существует псевдоаналктнческая функция вида ае'~о, причем здесь функция в(г) ограничена на всей плоскости и ь (гз) = О.
Единственность следует из теоремы а), которая утверждает, что любая ограниченная псевлоаналитическая функция, определенная на всей плоскости, имеет вил е'Ы>/ (г), где у (х) — ограниченная целая аналитическая функция, т, е., согласно теореме Лнувилля, постоянная.
Таким образом, ограниченная „целая" псевдоаналитическая функция либо не имеет нулей, либо обращается в нуль тождественно. Теперь мы можем доказать одно утверждение, сделанное в 8 1 этого дополнения, а именно, доказать, что уравнение (1') эквивалентно системе (б). Мы предположим, что коэффициенты а, !г удовлетворяют условию Гальдера и равны нулю вне некоторого большого круга.
Согласно только что доказанной теореме, существует ограниченное решение (вв, тс) сястемы (5), определенное на всей плоскости и такое, что ов — — 1, тв —— О при г = О. й!ы можем требовать, чтобы всюду было а ) О. Действительно, предположим, что ас = О в некоторой точке г„; тогда ограниченное решение системы (5) а = ва, т = ча†тв(гс) обращается в нуль в точке г„ и, слеловательно, равно нулю тождественно, что невозможно. 883 5 5. Формальные стю)енл ф б.
формальные степени Формальные степени удовлетворяют соотношению ~оо()а+р8 'о г)='~ю(а го г)+Р~ю(Р го г) если л и р — действительные постоянные. Лля доказательства достаточно проверить, что функция в правой части обладает свойствами, однозначно определяющими функцию в левой части. Можно также показать, что л (а, го, г) является непрерывной функцией от г . (л) С помощью формальных степеней можно дать аналитические выражения для произвольных псевдоаналитических функций, по аналогии с классическими результатами теории функций.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
