Р. Курант - Уравнения с частными производными (1120419), страница 78
Текст из файла (страница 78)
е, что а >О, ас — Ьэ==1, а+с (сопз1. (36) Пусть т(з) — действительная функция, определенная в единичном круте и равномерно удовлетворяющая условию Гальдера. Задача Неймана состоит в том, чтобы найти решение о этого уравнения, опоеделенное и непрерывно дифференцируемое в единичном круге и удовлетворяющее на границе условиям дв — =хо„+ут„=т+7г при [г~ =1, (37) при а=1, где константа к подлежит определению. Мы покажем, что эта аадача всегда имеет решение.
При доказательстве используется следующая Апгиогнля ОпенкА. Предположим, что дано некоторое решение задачи Неймана. Говда функция о и ее первые производные ою о озраничены, и первые производные удовлетворяют условию Гельдера; при этом максимумы модулей и константы ') Этот пример взят из работы Берса и Ниренберга [2[. Дополнение к гл. г"г'. в условии Гельдера зависят только от постоянной' в условии (36) и от заданной граничной функйии -..
Д о к а з а т е л ь с т в о. Заметим сначала, что из ограниченности первых производных следует ограниченность самой функции. Затем мы оценим константу й. Так как непостоянное решение уравнения (35) не может принимать максимальное или минимальное значение во внутренних точках, то нормальная производная должна менять знак па границе. Поэтому постоянная й не может быть больше, чеи максимум [т[. Таким образом, мы находим оценку для максимума модуля и модуля непрерывности функции -.(з) + й. В некоторой точке границы тангенциальная производная сь должна обращаться в нуль.
В этой точке ш= — р„— (,=л(т+й). Поэтому нам достаточно найти молуль непрерывности функции ш. Эту функцию можно также записать в виде то= и+ (п, если положить и=ос, и= — ь . Так как уравнение (35) эквивалентно ж системс 2Ь с и = — и.+ — о, л а "' а и„= — и„ то функция то(з) будет осуществлять квазиконформное отображение с некоторой константой, зависящей только от постоянной в условии (36).
Поэтому для этой функции можно найти представление вида (30), Тогда граничное условие (37) можно записать в виде Ке[зв(з)]=т(з)+А, [а[=1 илн ке [Х ' (С) У (С)[ = т [)( ' (С)[+ й. [',! = 1. Так как мы знаем, что преобразования с=д(л), а=у '(ч) удовлетворяют условию Гвльдера, то мы можем записать последнее соотношение в виде Ке [чепп>7(ч)[= о(Г), [ч[ = 1, где функция Л действительна и имеются оценки для максимумов мо. дулей, показателей и констант Гйльдера для функций ) и а. Легко доказываемое обобщение теоремы Привалова (сформулированное и до.
казанное в й 14 этого дополнения) показывает, что функция Г(С) при [([(1 удовлетворяет условию Гвльдера, Так как то(л) ==) [у(з)[, то условию Гельдера удовлетворяет и чо. 395 5 го. Одна нелинейная краевая задача Рассмотрим теперь нашу задачу Неймана для линейного уравнения вида (35), т. е. для уравнения, в котором коэффициенты а, 5, с зависят только от х и у, и сформулируем следующую теорему, Теогемл сэщвствовлния и кдинстввнности. Для линейного равномерно эллиптического уравнения вида (35) задача Неймана имеет одно и только одно решение. Доказательство единственности сразу следует па сделанного уже замечания о том, что для непостоянного решения нормальная производная на единичной окружности должна менять знак.
Утверждение о существовании вытекает из следующей леммы. Ламма о нвпгегывности. Рассмотрим последовательность уравнений а<ю(х, у)ц +25<"'(х, у)тв +с'"'(х, у)~з „=О. (38) Ми предположим, что все эти уравнения равномерно эллиптические (с одной и той' же константой) и что их коэффициенты удовлетворяют одному и тому же условию Гйльдера. Ми предположим также, что при п-ьсо коэффициенты во всех точках единичного круга стремятся к коэффициентам уравнения а (х, у) р„„+ 25 (х, у) 9„+ с (х, у) о „= О.
(39) Пусть 9<я< для каждого и есть решение уравнения (38), удовлепгворяюи<ее граничным условиям нашей задачи Неймана. Тогда функции ~у<"' в замкнутом единичном круге вместе со своими первыми производными равномерно сходятся к решению задачи Ней<мана для уравнения (39). Доказательство. В силу априорной оценки все функции ~у<з>, <з<з>, р<з< равномерно ограничены и равностепенно непрерывны. У Тогда, по теореме Арцела, мы можем выбрать подпоследовательность ~~у'"1 ~, которая вместе со своими первыми производными сходится к некоторой функции ~у(х, у), Ясно, что эта функция удовлетворяет граничным условиям задачи Неймана.
С другой стороны, из оценок Шаудера (см. гл. <Ч, 9 7) следует, что в любой замкнутой подобласти единичного круга равномерно сходятся вторые производные функций ры)~. Поэтому предельная функция удовлетворяет уравнению (39). В силу уже доказанного утверждения о единственности. мы а роэ<ег!оп делаем вывод, что не было необходимости выбирать подпоследовательность и что 9<е' -ь р. 396 Дополнение к гл. !)У. Из леммы о непрерывности следует, что задача Неймана разрешима для линейного уравнения (39), если коэффициенты этого уран пения можно аппроксимировать с помощью коэффициентов уравнений, для которых решение задачи Неймана уже найдено, Мы знаем, что для уравнений с очень гладкими коэффициентами это можно сделать, например, методом интегральных уравнений (см. гл, Гч', 9 !О).
Таким образом, существование решения доказано в общем случае. (Заметим, что тот же метод годится для доказательства существования решения равномерно эллиптических уравнений с коэффициентами, которые не только не удовлетворяют условию Гельдера, но не являются даже непрерывными.) Теперь мы возвращаемся к нелинейному уравнению (35), Обозначим через Э банахово пространство непрерывно дифференцируемых функций Ф, заданных в замкнутом единичном круге, с нормой (/Ф,'~ =глад)Ф~ +шах~Ф вЂ” (Ф ~. Пусть Л вЂ” подмножество З, состоящее из функций, удовлетворяющих граничным условиям нашей задачи Неймана и априорным оценкам, полученным для решений нашей задачи. Легко видеть, что Л есть выпуклое компактное подмножество Ю.
Пусть Ф вЂ” некоторая функция, принадлежащая множеству Л. С помощью этой функции мы построим линейное уравнение а(х, у, Ф(х, у), Фл(х, у), Ф (х, у)) р,„+ +26(х, у, Ф(х, у), Ф„(х, у), Ф (х, у))~ + + с(х, у, Ф(х, у), Ф (х, у), Фу(х, у)) р =0 и обозначим через у однозначно определенное решение задачи Ней- мана для этого линейного уравнения. Если мы положим р= Т(Ф), (40) то преобразование Т будет переводить Л в себя.
То, что это преобразование непрерывно, легко можно показать с помощью сформулированной выше леммы о непрерывности. Согласно теореме Шаудера о неподвижной точке, преобразование Т должно иметь неподвижную точку. Другими словами. существует функция р, такая, что р= Т(р). Это н есть искомое решение задачи Неймана. Тот же метод применим в более общих случаях. Например, мы могли бы доказать разрешимость задачи Неймана для нелинейного уравнения вида а (х у м рх ру) аул+ 2а (» у р р ру) рлу+ + с(х, у, р, р„, ч );р у = г((х, у, ср, р„, э ), 0 1б Обобщение геаре,ча Римана об отображениях 397 если оно равномерно эллиптическое и его правая часть удовлетворяет неравенству Э 11.
Обобщение теоремы Римана об отображениях Понятие квазиконформного отображения естественным образом приводит к далеко идущим обобщениям теоремы Римана об отображениях. Эта теорема утверждает, что любая заданная односвязная область, например, для простоты, жорданова область (т. е.
область, ограниченная простой жордановой кривой) может быть отображена нз другую жорданову область конформно, т. е. так, чтобы бесконечно малые окружности переходили в бесконечно малые окружности. Отображение может быть выбрано так, чтобы три заданные точки на границе одной области переходили в три заданные точки на границе другой области. Естественно поставить вопрос, можно ли отобразить одну заданную жорданову область в другую так, чтобы в каждой точке выполнялись следующие условия: бесконечно чалый эллипс с эксцентриситетом е и большой осью, наклоненной под углом 0 к оси х, переводятся в бесконечно малый эллипс с заданными эксцентриситетом е' и наклоном большой оси 0'. Мы можем требовать, чтобы числа е, е', 0, 0' зависели и от рассматриваемой точки и от ее образа.
Легко проверить, что при соответствующих предположениях о непрерывности геометрические условия, наложенные на такое отображение, могут быть выражены аналитически с помощью требования, чтобы осуществляющая это отображение функция те(е) ='и+1о удовлетворяла квазилинейиой системе дифференциальных уравнений в частных производных эллиптического типа, т. е. системе вида и„=аы(х, у, и, о)ох+а„(х, у, и, о)о„, их = ам (х у и, о) ох+ агг(х у и, о) о .
Предположим, что коэффициенты этой системы удовлетворяют условию Гйльдера и что система равномерно эллиптическая. При этих предположениях справедлив следующий результат (впервые доказанный 3. Я. Шапиро' ): Заданная жорданова область О на плоскости е может бать отображена на заданную жорданову (41) ') См. Шапиро (1]. Эту задачу и ее обобщения рассматривали многие авторы; см. библиографию в работе Боярского ]1]. (Далеко идущее обобщение втой теоремы принадлежит М. А.
Лаврентьеву, см. его работу в гИ атем. сб., 21 (63) (1947), 285 — 320, — Прим. ред.] !с((х У 9 Р 7~)1 <Д (]9 ]+]9 !)+А. В этом случае мы получили бы необходимые оценки, применяя не представление (30), а более общее представление (33). 398 дополнение к гл. Лг. область О' яа плоскости ш с помои[ью пары фуяяций и(х, у), о(х, у), удовлетворяюгцих сиспгеме (41). Отображение можно выбрать так, чтобы три заданные граничные точки О переходилн в три заданные граничные точки О'. Эту теорему можно доказать с помощью метода, описанного в предыдущем параграфе. Представление (30) для функций, осуществляющих квазиконформное отображение, дает необходимые анри.
орные оценки. р' 12, Две теоремы о минимальных поверхностях В наших предыдущих исследованиях мы подчеркивали аналогию, существующую между аналитическими функциями комплексного переменного и решениями эллиптических дифференциальных уравнений. Однако в случае нелинейных уравнений возникают новые явления, которые не имеют аналогий в теории аналитических функций. Мы проиллюстрируем это на примере двух теорем, касающихся решений одного из самых простых нелинейных уравнений — уравнения минимальных поверхностей (см. гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
