Р. Курант - Уравнения с частными производными (1120419), страница 81
Текст из файла (страница 81)
У, Гилербалинесние уравнения с двумя перелгеннмми Основную задачу Коши' ) для уравнения (2) можно поставить следующим образом. Дана полоса первого порядка С,; надо найти решение и(х, у) уравнения (2), такое, чтобы поверхность и(х, у) содержала полосу Сн Естественно, при этом предполагается, что функции )„определяющие полосу Сн имеют непрерывные производные первого, и, если понадобится, более высокого порядкаг). Вместо того чтобы сразу же попытаться решить эту задачу, мы поставим сейчас менее тонкий вопрос: позволяют ли условия (2) и (3) однозначным образом дополнить заданную полосу С, до полосы Сг, удовлетворяющей уравнению (2)? Такую полосу С, мы будем называть иннгегральног! полосой.
Записав соотношения для интегральной полосы С, в виде р = гх + зуч (г = ах + г уч мы получим на С, систему аг+ дз+ с! = — А хг+ уз =р, ха+ус= у (4) а д с х у О О х у = аут — дху+сх' Ф О вЂ” в этом случае С, называется свободной полосой, вторые производные однозначно определяются на Сэ полосой С, и дифференциальным уравнением; либо в некоторой точке Р кривой Са г',) = аут — дху+ схг = О. (5) ') Для двух независимых переменных х, у, несонненно, полезно рассиотреть решения, полосы и харзктеристики в трехмерном пространстве х, у, и, как мы это делали з гл. !!. Однако часто мы будем концентрировать свое внимание на плоскости независимых переменных х, у и рассматривать полосы или кривые в пространстве х, у, и как кривые на плоскости х, у.
несущие значения и, р, д,,... Если контекст ясен, мы позволим себе применять то из этих определений, которое окажется более удобным. ') решение ищется в некоторой малой окрестности кривой См— Прим. ред. трех лиг!ейных уравнений относительно г, з, !. В результате для любой точки Р полосы С, возникает следующая альтернатива: либо для любой точки Р кривой Сэ 4 Д Характеристики дифференциальных уравнеиий 409 Говорят, что в такой точке Р, т.
е. в точке, где выполняется это „характеристическое соотношение', функции, задающие полосу, образуют характеристический элемент. В дальнейшем предполагается, что либо вся рассматриваемая полоса свободна, либо она состоит целиком из характеристических элементов. Во втором случае полоса называется характеристической (см. гл, ПК ф 2).
Если полоса С, свободна, т. е. если Я-,н О всюду на Св, то интегральная полоса С, однозначно определяется как расширение полосы С,. Кроме того, лифференцируя уравнения (4), мы убеждаемся, что на Св одноаначно определяются также интегральные полосы более высокого порялка. Например, для третьих производных г, з, Г„ мы получаем трн уравнения аг„+ дз + сГ„= — а г — Ьнэ — с„à — бн, хг„+ уз„= г, хзн + утн = з' правые части этих уравнений известны, а опрелелитель системы не обращается в нуль. Если Г;Г= О вдоль кривой С, т.
е. полоса первого порядка С, состоит целиком из характеристических элементов, то из того, что определитель (5) обращается в нуль, следует, что между левыми частями уравнений (4), а следовательно, н между их правыми частями имеется некоторая линейная зависимость, причем коэффициенты зависят только от х, у, и, р, а. На С, это соотношение дает некоторое новое условие на р и д, кроме соотношения полосы (3); это условие должно выполняться, если полосу С, можно дополнить до интегральной полосы второго порядка Сп Такую полосу первого порядка С, мы называем характеристической полосой; несущая полосу кривая Св называется характеристической кривой (характеристикой) в пространстве х, у, и, а ее проекция Св — проекцией характеристической кривой, или просто характеристической кривой на плоскости х, у. На характеристической полосе С,, включенной в интегральную полосу второго порядка, вторые производные г, э, 1 не определяются однозначно, а только с точностью до слагаемого, которое является произвольным решением однородной системы, соответствующей (4).
Итак, либо полоса С, свободнаи, а в этом случае дифференциальное уравнение однозначно определяет вторые и старшие производные функции и ка Сп если заданы и, р, а; либо полоса содержит точки, удовлетворяющие характеристическому соотношению (5), Если С, целиком состоит из таких 410 Гл «г. Гггперболинеские уравнения с двуня переменныни точек, то ее можно расигирить до интегральнои полосы С только при выполнении некогпорого дополнительного ус.ловля. В атом случае расигирение уже не лзляетсп однозначным, Тогда полоса С, называется характеристической.
Рассмотрим, например, линейное дифференциальное уравнение их = 0 и полосу Сн заданную функциями х = Л, у = О, и = йЛ (с постоянным й), р =- й, д =- /(Л). Все точки этой полосы удовлетворяют соотношению (5), и из уравнений (4) следует, что вдоль полосы д = О. Следовательно, на полосу надо наложить дополнительное условие (у = сонэк для того чтобы ее можно было расширить до интегральной полосы. Другими словами, среди всех полос, элементы которых удовлетворяют условию (5), только плоские полосы являюгся характеристическими. Характеристическое соотношение потучается также с помощью слелующих рассуждений(которые можно обобщить на и независимых переменных); эти рассуждения относя«ся к основному многообразию т(х, у) = =0 («ст+ ~р~~ эь 0) полосы С, (см.
гл. 1, прил., Э 1 и гл. 1П, э 2). Мь« будем называть дифференциальный оператор второго порядка, примененный к функции и, внутренним дифференциальным оператором на Сн или оператором, действующим внутри С,, если он на кривой Ср может быть выражен через величины, описывающие по лосу Сн Например, их является таким внутренним дифференциаль ным оператором для полосы к =-Л, у=О, и =О, р= О, д =/(Л), так как их =Ч, Теперь чы ставим следующий вопрос: каким условиям должна удовлетворять полоса Сн чтобы квазилинейный дифференциальный оператор (1) был внутренним оператором на С,У Оказывается, что необходимым и достаточным условием этого является выполнение на С, карактвристггческого соотношения С~(~, ~)=а«л+дс э +с«а=а. (5) Здесь О (и, т) называется „характеристической формой".
Доказательство. Вместо х, у мы введем новые координаты т)=э(х, у) и Л=ф(х, у) так, чтобы Л (илн ф) тождественно совпадало с ранее введенным на С, параметром, а у была бы переменной, „выводящей' из Сн Тогда для любой функции и(х, у) ихх = иеу х+ ггра~хфх+ "«4х+' "у~хе+ "Ьфхх иху = иве«сх9у+ ать(«нефу+ Ууф ) + гг««фуфу+ и„'Тху+ ггчф у и = и, е'+ 2и «т ф + и „фу+ и у + ивф 4 д Характеристики дифференциальных уравнений 411 и если 1Э(ф, ф) есть билинейная форма (см. т. 1, гл.
1, Э 1, п. 4), соответствующая квадратичной форме »», то (. [и! = а~,Я(ф, ~р)+ 2итф(с~, ф)+ и,,„ЬЬ1(ф, ф)+ + а (.[.р[+ аь(. [ф!. (7) На полосе С, дифференцирование, по ф = к является внутренним дифференцированием, а дифференцирование по э является дифференцированием, выводящим из С, (см. гл. !1, прил. 1, Э 1). На С, функция и и ее первые производные известны, а также известны те производные второго порядка, которые получаются нз первых производных с помощью дифференцирования по ).=ф. Таким образом, единственный член в операторе Ь [и[, содержащий вторые производные, не лежащие в Сп есть и ()(~, »7). Условие 1,1(ф, ч»)=0 при ф=-0 является, следовательно, необходимым и достаточным для того, чтобы с[и) был внутренним оператором.
Теперь мы рассмотрим дифференциальное уравнение 1. [и [+ с( = О. (2) Мы снова немедленно приходим к альтернативе: нли ь',г(»7, э) =,'-0 в любой точке С,, н в этом случае выводящая нз С, производная и, а вместе с ней и все вторые производные функции и, однозначно определены на С,; или же (,1(а, ф)=0 в некоторой точке Р полосы С,, н тогда дифференциальное уравнение (2) в этой точке полосы представляет собой дополнительное условие на величины, определяющие полосу. Если мы предположим, что полоса С, задана (т. е.
что вдоль кривой Св известны первые производные функции и) и если ь,ь(у, ф)= — 0 всюду на С,, то это новое условие имеет вид обыкновенного дифференциального уравнения относительно функции и =и аргумента ф=)., а ииешю 2аЯ(ф, ф)+ н( [ф[+ ... = О, где точки поставлены вместо величин, известных на полосе. Ясно, что характеристические условия (6) и (5) эквивалентны.
Действительно, тзк как т„-+ф,у=О, т. е. э» у х левая часть формулы (6) с точностью до множителя совпадает с левой частью (5). Характеристические полосы С, могут существовать только в тех областях, где 4ас — дт ( О, 412 Гл. 'е'. Гиперболические уравнения с двумя переменными иначе уравнениям (5) или (б) не могут удовлетворять никакие действительные отношения х: у (или чу,; сс ), Мы напомним следующие определения. дифференциальный оператор аи„+Ьи +си является гиперболическим в точке Р: (х. у, и, р, с)) пятимерного пространства х, у, и, р, чу, если в этой точке 4ас — Ьг < О (9) (см.
гл. 1!1, 9 2, п. 1). Аналогично, он называется гиперболическим на поверхности и =и(х, у), если условие (9) выполняется в каждой точке этой поверхности. Ясно, что если условие (9) выполняется в некоторой точке Р пространства х, у, и, р, чг, то оно будет выполняться и в соответствуюпшм образом выбранной окрестности Р. В дальнейшем мы все~да будем предполагать, что дифференциальные операторы гиперболичны в рассматриваемых точках. Если дифференциальный оператор линеен, то гиперболичность его зависит только от х, у и не зависит от и, р, у. В частности, проекции характеристик Сс определяются тогда только дифференциальным оператором независимо от и, р, чу.
Наконец, мы подчеркнем следующий важный факт: характеристическое соотношение для дифференциального уравнения (2) инвариантно относительно любых преобразований независимых переменных х, у. Это непосредственно следует из того факта, что характеристическое условие необходимо и достаточно для того, чтобы ь!и! был внутренним оператором на Сп Чтобы получить формальное доказательство, мы перейдем от переменных х, у к 1, ч). Получим аис +Ьи, +си +й=игсц+Ри:,+Та„+Ь, где коэффициенты а, 'р', Т, о в правой части являются функциями Е ти и, и;, и,.
Тогда, как легко проверить, ! уг.+Ьу Т + уг=иФ+Й у +Тра, из чего уже следует наше утверждение, 2. Характеристики на интегральных поверхностях. До сих пор мы ограничивались тем, что рассматривали переменные вдоль некоторой полосы; теперь мы рассмотрим всю поверхность о: и = и(х, у), причем мы будем предполагать, что она является интегральной поверхностью уравнения (2). На такой интегральной поверхности не только и, но также и р = и, и ч) = и, а следовательно, и коэффициенты а, Ь, с, с( являются известными функциями х и у, Мы предполагаем, что на всей рассматриваемой поверхности выполняется 413 4' 1. Характеристики дифференциальных уравнений условие (9), т, е. что уравнение (2) гиперболическое.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
