Р. Курант - Уравнения с частными производными (1120419), страница 83
Текст из файла (страница 83)
0 для уравнения и — и„ = 0 н линии у = 0 в качестве кривой С, Однако в 9 9 мы дадим нетривиальное расширение понятия решения, введя „слабые решения". Такие решения могут иметь разрывы первых производных, причем злесь снова окажется, что этн разрывы могут происходить только вдоль характеристик. В случае линейных дифференциальных уравнений отличительное свойство характеристик как линий, на которых возможны разрывы, сохраняется также для разрывов самой функции и.
Во всех этих 4 1. 'ларактерисгикц дифференциальных уравнений 417 случаях мы найдем обыкновенные дифференциальные уравнения вида (10) для распространения этих разрывов. 4. Общие дифференциальные уравнения второго порядка. Предыдущие результаты легко распространить на общее дифференциальное уравнение второго порядка Г(х, у, и, р, (г, г, а, 1)=О. (11) Мы снова рассмотрим кривую С в пространстве х, у, и и предположим, что она дополнена до полосы первого порядка С, или до полосы второго порядка Сю Мы будем считать, что Са — интегральная полоса, т.
е. что соответствующие величины х, у, и, р, д, г, а, ! удовлетворяют уравнению Г = О. Первым шагом к решению задачи Коши является дополнение интегральной полосы Са до полосы третьего порядка С, несущей величины, соответствующие третьим производным функции и(х, у), которая удовлетворяет уравнению (! 1).
Мы можем следующим образом получить характеристическое соотношение: пусть Л вЂ” параметр на кривой С, проекция С которой на плоскость х, у задается уравнением в(х, у) = О. Мы введем новые координаты Л и ьа а окрестности Сь. Тогда функция и(х, у) перейдет в функцию и(Л, э), и мы можем написать ге(х, у, и, р, у, г, а, 1)=6(Л, тн и, иы и,, ихо и,, и,). Начальная интегральная полоса С, называется характеристической, если не все старшие производные функции и, в частности, не все третьи производные, однозначно определяются на этой почосе дифференциальным уравнением. Если вторая выводящая производная и может быть определена на полосе из дифференциального уравнения О = О, т.
е. если это дифференциальное уравнение может быть записано в виде и~~ =д'(Л,:ь, и, и, и, иж, иь ), то с помощью дифференцирования мы получаем третью внешнюю производную и; .очевидно, вместе с ней мы определяем все остальные третьи производные на полосе Сз. Другими словами, если Сл„+ О, то все старшие производные на полосе Са могут быть определены, и полоса Са является свободной, т. е.
нехарактеристической. Следовательно, для характеристической полосы Са должно выполняться условие 6, = О. Это ,характеристическое соотиоше- 99 ние" легко привести к виду ~в -+~~ у+~~а=О. (12) Несколько другим путем, который более соответствует п. 1, мы можем вывести характеристическое соотношение, вычисляя на начальной у Л Характеристики дифференииальнык уравнений 419 Диффереициалс,иый оператор называется гиперболическим иа полосе второго порядка или иа поверхности и(х, у), если неравенство (13) выполияется в каждой точке.
Как и в частном случае квазилииейиых уравнений, надо заметить, что характеристическое соотношение иа данной интегральной поверхности можно рассматривать как дифференциальное уравнение в частных производиых первого порядка для функции су, а характеристические кривые образуются семействами решений -=-сопз1. б. Дифференциальные уравнения высших порядков. !Три изучении дифференциального уравиеиия и-го порядка с неизвестной функцпеи и(х, у) мы будем пользоваться следующими сокращенными обозиачеииями длсс р,= — „(~.=О, 1, ..., и). дх" дул Дифференциальное уравнение и-го порядка имеет вид Р(х, у, и, ..., р„, ..., рл) = О; (14) здесь явно ие выписаны производные порядка меньшего, чем и. Мы введем понятия характеристик и характеристического соотношения следующим образом.
Предположим, что се=и(х, у) — интегральная поверхность и что иа ней задана кривая С вместе с соответствующей полосой и-го порядка Сл, причем проекция кривой С;ср(х, у) = О отделяет область, где у > О, от области, где у < О. Пусть Л вЂ” параметр иа полосе. Снова иа интегральной поверхности и(х, у) мы введем ) и су в качестве независимых переменных вместо х и у. Мы обозначим через и (), р) функцию, в которую перейдет и(х, у), и введем обозначение дли сл = и т ..т дл для и-й производной функции и, выводящей из полосы Сл.
Тогда мы получим где точки поставлены вместо членов, ие содержащих и-й производной ас. Заданное дифференциальное уравнение (14) можно теперь рассматривать как диффереициальиое уравнение относительно функции и(Л, р). Если иа кривой С уравнение (14) может быть приведено к виду ис =у'(Л, р, и, ...), где ис уже ие содержится явно в правой части, то мы можем с помощью дифференцирования по ср однозначно определить выводящую 420 Гл. )г.
Гиперболические уравнения с двум а переменными (и+ !)-ю производную ог и все остальные производные (и+1)-го порядка от функции и, Это всегда возможно, если Р ~ О. Если гт„=О для всех ), то мы будем говорить, что ф— характеристическая полоса. Если записать это соотношение в старых координатах, то получится основное харакпгеристичесиое соотношение ун+Р 1гн — гг7 + г Р гн О нн г гн г к г ' ' ' т (15) (16) т. е. в обыкновенное дифференциальное уравнение для характеристической кривой С на о. Если рассматривать соотношение (15) как дифференциальное уравнение в частных производных с неизвестной функцией двух независимых переменных с7(х, у), то любое решение этого уравнения дает на поверхности не только отдельную характеристическую кривую С, но и целое семейство характеристических кривых у(х, у) = = с с параметром с.
Характер корней алгебраического уравнения относительно переменной ч (17) определяет тип дифференциального уравнения (14) в окрестности интегральной полосы. Если это алгебраическое уравнение имеет и различных действительных корней, то дифференциальное уравнение называется вполне еиперболичесяим, или просто гиггерболичесиим, в точке пространства х, у, и, ..., ро, ..., р„, или на полосе С„, или на поверхности и=и(х, у). Если все корни алгебраического уравнения комплексные, то дифференциальное уравнение называется эллиптическим.
Если некоторые из действвтельных корней совпа- Мы считаем полосу и-го порядка с проекцией у=О характеристической, если 1) всюду на ней выполняется соотношение (!5), и 2) она является интегральной полосой. Вопрос о том, можно ли определенную таким образом характеристическую полосу включить в интегральную поверхность, т, е, вопрос о существовании решения задачи Коши, остается здесь открытым.
Теперь мы вернемся к рассмотрению характеристических интегральных полос на заданной интегральной поверхности Х На поверхности о; и =и(х, у) соотношение (15) выполняется в том случае, если всюду в (15) подставлена функция и(х, у) и значения ее производных, а область изменения х и у ограничена дополнительным условием э=О. Если кривая Т=О записана в виде у=у(х), то для наклона у' = — у :гу характеристическое соотношение переходит в уравнение Э" д Характеристики дифференииальнык уравнений 421 дают, то дифференциальное уравнение часто называют параболаческиш'), (Однако в дальнейшем мы несколько изменим эту классификацию, отнеся к гиперболическим некоторые классы уравнения с кратными характеристиками, для которых все-таки разрешима задача Коши.) 6.
Инвариантность характеристик при преобразованиях координат. Характеристики дифференциальных уравнений в частных производных инвариантны относительно преобразований координат. Другими словами, при преобразованиях независимых переменных характеристики переходят в соответствующие характеристики преобразованного дифференциального уравнения. Доказательство становится ясным при рассмотрении простейшего случая дифференциального уравнения второго порядка Г(ик, и,, а, )=О, которое при переходе к новым пеРеменным "=, т[ пРеобРазУетсЯ в УРавнение 0(а~;, иГ, и )= чч = О.
Инвариантность и здесь либо непосредственно следует из интуитивного понятия характеристической полосы, либо из тождества ;„'+ ~„;„ру+ У:„Т,', = Он,р', + О„, 7,7„+ Он,',, которое получается после элементарных вычислений. Из инвариантностп характеристик следует, что гиперболические уравнения обратимы ло времени, т. е. гиперболичность сохраняется при преобразовании х' =- х, у' =- — у, где у рассматривается как время. Так как любая нигде не характеристическая кривая может быть преобразована в нигде не характеристическую прямую, то достаточно решить задачу Коши лишь для случая, когда ось л выбрана в качестве начальной линии.
7. Сведение к квазилинейным системам первого порядка. Без ограничения общности при изучении задачи Коши можно рассматривать лишь задачи, касающиеся квазилинейных систем первого порядка (см, также гл. 1, 6 7, п. 2). Здесь мы повторим обычные приемы, с помощью которых производится такое сведение. Если дифференциальное уравнение Р(х, у, и, р, д, г, е, г)=О (12) не является квазнлинепным, то уравнение, полученное из него дифференцированием, например по у, (гт) =Р',г + Г,в +Г,Ге+Гер +Г ~7 +Ут„д+Г =О (!8) ') Определение параболических уравнений и систем в узком смысле или, как говорят, параболических по И. Г. Петровскому, дано, например, в книге И, Г.
Петровского [1), изд. 3, стр. 352. Этот класс уравнений сохраняет многие свойства просгеншего параболического уравнения — уравнения теплопровадпостн. — Прим. ред. 422 Гл. (г. Гиперболические уравнения с двумя переменными является квазилинейным. Оно вместе с уравнениями ~у =1, г =в, в,=( у ' у к' у и =~у, ру — 3, дает квазилинейную систему первого порядка относительно неизвестных функций и, р, д, г, в, т. Если заданы начальные условия и = у (х), и = д (х)(при у = 0), то начальными значениями для функций, входящих в систему, будут и = у, р =- у", ц == ье г =- У ° в = д', а 1(х, 0) определяется из уравнения г = О. Решение и, р, д, г, в, г системы дает решение и исходного уравнения. Чтобы убелиться в этом, мы заметим, что из нашей системы следуют соотношения ву ук Чуя суку' (в ' Ч е)у Так как в = д„при у = О, мы имеем в == чу„== и, .
Аналогично можно отождествить другие неизвестные функции системы с производными функции и. Наконец, проверяется, что йр(йу = О; так как на начальной прямой г" =О, то отсюда следует, что и является решением исходного уравнения. Такое сведение к квазилинейным системам первого порядка всегда можно произвести в силу нашего обычно~о предположения о том, что все входящие в задачу функции достаточное число раз днфференцируемы (см.
также гл. 1, й 7, п. 2). В соответствии с этим мы в дальнейшем сосредоточим свое внимание на квазилинейных системах первого порядка; мы напомним н расширим те рассмотрения, которым посвящен 2 1 гл. П!. ф 2. Характеристическая нормальная форма для гиперболических систем первого порядка 1. Линейные, почти линейные и квазилинейные системы. Квазнлинейная система первого порядка записывается в виде') У,"[и! ~ [и" и,+Ьыиу) = с (к = 1, 2, ..., й) (1) или, в матричных обозначениях, где А,  — матрицы, а с — вектор, У,[и[= Ам,+Ви, =с. (1') Мы предположим, что в рассматриваемой области матрица В неособая, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
