Р. Курант - Уравнения с частными производными (1120419), страница 84
Текст из файла (страница 84)
что определитель [[В,.[ = [[Ь"ч[[ не обращается в нуль. Если матрицы А, В не зависят от неизвестного вектора и, а с зависит от и линейно, то система называется линейной; если А и В ') Мы рассматриваем только .определенные системы' (см. гл. 1, й 2, и. 3). где число Л уравнений равно числу неизвестных. Ь' 2, Характеристическая нормальная форма 423 где В = Š— единичная матрица, откуда следует, что линии у = = сопз1 — нехарактеристические, или свободные.
Мы пополним основные фактьн касающиеся системы (1а), рассмотрев сначала линейный илн почти линейный случай (см. гл. 111, 0 2, п. 1). Характеристические кривые С вида ~т(х, у)=0 задаются дифференциальным уравнением ах: йу=т (2) нли яе„+ р, =0.
причем — является корнем алгебраического уравнения (2') Е;Е= [[А — тЕ[! =О. Из этого уравнения следует, что матрица А — тУ особая. поэтому для характеристической кривой существует собственный вектор 1=(Ен ..,, Е„), дяя которого ЕА=тЕ, (4) В соответствии с Э 2 гл. !П гиперболичность системы Е. определяется с помощью требования, чтобы все корни тн ..., ея уравнения ее=0 были действительны и чтобы, кроме того, существовали й линейно независимых собственных векторов Р, ..., 1я. В частности.
тзк будет обстоять дело, если все корни т и, следовательно, все характеристики, различны. Гиперболическую систему можно заменить системой, эквивалентной ей с точностью до линейного преобразования, причем эта система получается из уравнений (1а), если умножить их соответственно на компоненты собственного вектора Е', Е = 1, ..., Ф, и сложить или если умножить систему (!), (1') или (!а) слева нз левые собственные векторы 1 и воспользоваться соотношением (4). Из (1Я) с помощью умножения на !=ЕЕ получается эквивалентная система ЕтЕ.[и[=Л'[и]=Р(и +тти„)=1 с (1=1, 2, ..., а). (5) В предположении, что эта система линейная или почти линепная, мы можем еще более упростить систему (5), введя вместо неизвестных не зависят от и, а с завнспг от и, ио не линейно.
то система называется лоспяа линейной и с неп можно обращаться почти так же, как с линейной. В противном случае, если А и В зависят также н от и, система называется каазалинейной. Как мы аидеян, любая нелинепная система, если ее продифференцнровать, становится по существу эквивалентной некоторой квазилинедной системе. В силу того, что ~.'В,~ р0, мы можем разрешить систему (1) относительно и и записать ее в эквивалентной форме и +Аи„= — с, (1а) 424 Гл. К Гиперболические уравнении с двумя переменными функций и новый неизвестный вектор У с и компонентами, получаемый с помощью линейного преобразования У" = 1*и (к = 1...,, й). (6) Если на характеристике С; ввести дифференцирование по направле- нию характеристики, 7) = — +я,— —, д д ду ~ дх' (7) и положить 8' = 1'с + и (1' + .р ) ( — ) то система примет вид 7)еуч = д'.
(8) Обозначая дифференцирование по независимой переменной у вдоль характеристики через г(1е(у, систему (8) можно записать в виде — "У'=д'(х, у, У) ° Си ду (9) или, короче, в матричном виде У,+ Ги„=д, (9') где Т вЂ” диагональная матрица с элементами;, на диагонали. Формы (5), (9), (9') являются нормальными формален системы. Очевидно, что имеет место следующий фзкт: почти линейная гиперболическая система эквивалентна симметричной сисглеме с матрицами коэффициентов А и В, причем одна из этих матриц, например матрица А, положительно определенная').
В частности, мы всегда можем предполагать, что матрица А в уравнении (!н) симметрична. Для квавилинейных систем введение новых переменных У не привело бы к такому простому виду, как (9), так как производные от коэффициентов 1 также содержали бы неизвестные функции. Следовательно, в этом случае мы должны удовлетвориться нормальной формой (5). ') В матричных обозначенная преобразование системы (!") к симметричному (диагональному) виду может быть описано саедуюгцим образом.
Мы полагаем У = Ни, где строки матрицы Н являются собственными векторами 1г, и подставляем в (1н) выражения и= Н 'У, и,= Н 'и +Н„'и, и„= Н' 'У -1-Н 'и. Уравнение (1") принимает внд АН 'ил+ Н 'и„=с — (Анл +Н ) У Дзлее, умножая слева на Н, мы получаем систему в диагональном виде и,+НАн- и,=а, где 0 = Н(с — АН У вЂ” Н У) — известный вектор, линейно зависящий 1 1 л я от У н ие ззвнсящяй от производных У. 425 4 2. Характеристическая нормальная форма Тем не иенее просто с помощью дифференцирования уравнений (5) по х и у можно было бы получить для производных функции и упрощенные уравнения, обладающие более слабой нелинейностью, причеи введение линейных комбинаций этих производных уже дает нужный эффект. Если мы снова ограничимся линейными операторами (., то из нормальной формы мы можем сразу вывести основные свойства характеристических кривых.
В частности, нормальная форма делает ясным тот факт, что на характеристической кривой линейная комбинация !2. является внутренним дифференциальным оператором. Кроме того, нормальная форма подсказывает нам, что, кроме решею1й с разрывными производными, рассмотренными в 2 1, можно ввести в рассиотрение обобщенные ретаенил, которые сами имеют разрывы, в частности, претерпевают скачок при переходе через кривую С, а в остальном — гладкие функции; при этом кривая С должна быть харзктеристикой. В гл. И, 2 4 мы рассмотрим в более общей форме разрывы и их распространение вдоль характеристик. Здесь будет отмечен только следующий факт, который очевидным образом следует из формулы (8).
Все компоненты вектора (т', кроме (/", непрерывны при переходе через кривую С". Распространение скачка [ст'"] = ит вдоль С происходит в соответствии с обыкновенным дифференциальным уравнением ') тсчт — =К(х, у, ы). тту 2. Случай й = 2, Линеаризация с помощью преобразования годографаа). Для гиперболических систем двух уравнений, так же как для одного уравнения второго порядка, можно (как в $1) ввести два семейства характеристических кривых в качестве координатных кривых. Это значит, что вводятся две характеристические переменные а и р, такие, что уравнения а=ту(х, у)=сопя! и [т=ф(х, у)=сопя! дают два различных семейства характеристзк; в квазилинейном случае они зависят от рассматриваемого частного решения и', из, а в линейном случае они не зависят от а и известны а рг!ог1.
Введение характеристических переменных а и р особенно удобно при изучении нелинейного уравнении Монжа — Ампера (см. приложение 1, э 2). Мы можем рассматривать а', и', х, у как четыре функции двух независимых переменных а и р и получить эквивалентную систему ') В квазнлинейном случае уравнение для скачка исследовал Нитше [3]. ') С ч, гл. !!1, й 2, и.
5, 426 Гя. О. Гипербаяияеские уравнения с двумя перененны,ни четырех уравнений с характеристическими независимыми переменными )гпиг+ д??и? Тг !?г~ц1+ йшцг Т? (1 1 а) х,= у„, х =и?у;, Р (116) где !г'*, !", -.* — известные фУнкции и', и?, х, У, х„, ..., Уе Для линейной системы уравнения (11б) и уравнения !11а) неза- висимы; для квазилинейной системы эти уравнения связаны. Во вся- ком случае, совокупность этих уравнений заиеняет исходную систему, причем полученная система четырех уравнеш?и проще и не содер- жит явно независимых переменных. В одном важном частном случае квазилинейная система с двумя неизвестными функциями сразу сводится к линейной системе путем замены зависимых переменных независимымя, т. е.
х и у надо счи- тать функциями и = и' и о = и?. Такое сведение возможно для си- стемы, состоящей из дифференциальных уравнений, однородных отно- сительно производных, вида а'и„+ дги + с'о . + д'о = О, а'и + 6?и +с?ое+д?о = О, у я у где а',..., д? — функции только и,о, причем якобиан й= и„о — и о не обращается в нуль.
Мы имеем и =/у,, и = — Ух„, оя= — йу„, о =ух„, и наша система переходит в линейную систему а'у, — Ух, — с'у, + цчх„=- О, агу, — д'х, — с?уи+ дгх„= — О относительно функций х1и, о) и у(гг, о). Это преобразование играет важную роль в гидродинамике, причем и, о обозначают компоненты скорости в стационарном двумерном потоке. Оно называется пре- образованием годографа, так как на плоскости и, о образ траекто- рии частицы, движущейся по плоскости х, у, т.
е. траектор.ш конца вектора скорости, называется „годографом" этой частицы. ф 3. Приложение к динамике сжц.ииемой жидкости Движение сжимаемой жидкости дает поучительный и важный пример, поясняющий понятие характеристик '). В главе т!1 мы рассмотрим ') Чтобы облегчить сопоставления с литературой по гидродинамике, мм в этом параграфе применяем обозначения, несколько отличные от обозначений 6 2.
Йапример, вместо у мы употребляем букву б обозначающую время. Дальнейшие подробности относительно приведенных здесь примеров можно найти в книге Куранта и Фридрихса !1,'. э 3. Прсслаженссе к динамике сжимаемай жидкости 4227 такое течение, зависящее от трех пространственных переменных и от времени.
Здесь мы ограничимся случаями, которые можно описать с помощью двух переменных. 1. Одномерное изэнтропическое течение. Дифференциальные уравнения для скорости и(х, 7) н плотности р(х, 7) при одномерном изэнтропическом течении имеют вид ь'[и, р1== — ри„.+ ир,+р,=о, 7.'[и, р]: — рии + ри,+сер =О. „Скорость звука" с(р) определяется формулой с = ]сеу'ф) ь О, где р = 7 (р) — заданная монотонная функция, выражающая зависимость давления р от плотности р. (Условие 7'(р) > О выражает гиперболичность втой системы.) Для этой квазилинейной системы первого порядка характеристические направления т = асх: Л определяются уравнением ]=О, сс — -. ст следовательно, -.= — и ь с. Система гиперболическая, так как существуют два различных действительных корня:.
Для каждого из этих значений т существует нетривиальное решение (Л', Лт) системы Л'+(и — т)Л =О, (и — т) Л' + сеЛт = О. Если к=и+с, то Л'; Лт=с; если с=и — с, то Л': Лт= — с. При каждом из этих значений отношений Л': Ла линейная комбинация УА'+Ж' содержит производные от функций и и р по одному и тому же направлению (по соответствующему характеристическому направлению). В соответствии с этим мы получаем следующую систему дифференциальных урзвнепий: М [и, р]:.=- р [и,+ (и+ с) и 1+ с [р, + (и+ с) р,1= О, Ля[и, р]=--- р[и,+(и — с) и„[ — с[р,+(и — с)р„1 =0. Мы можем ввести характеристические переменные а=ф(х, г), [) =ф(х. г) так, что уравнения ф (х, т) = сопя( и с7(х.
7) = сопя[ будут определять характеристические кривые, длп которых — ф,: ф =ах: асг'=-и+с — фе: фл=с(х: ас~= и — С, 428 Гл. (Г. Гиперболические уравнения с двумя псременньсни Так как — фг: фл = х„: С„и — ~р,: р„= ха . Гз, мы получим уравнения ри„+ ср„= О, риз — ср, = О, х, =(и+ с) Гы (16) х =(и — с)Г для четырех функций и, р, х, с характеристических переменных и, р (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
