Р. Курант - Уравнения с частными производными (1120419), страница 88
Текст из файла (страница 88)
3 утверждает теперь, что а тождественно обращается в нуль, и, таким образом, теорема единственности доказана также и для квазилинейных уравнений. 6. Энергетические неравенства. Неравенство (4) п, 3 утверждает, что значение Е(л) для положительных Ь ограничено величиной, отличающейся от Е(0) только фиксированным постоянным множителем, Во многих уравнениях, описывающих физические явления, величину Е(л) можно истолковать как энергию некоторой части физической системы в момент времени И. Поэтому неравенство (4) в таких случаях (и по аналогии в общем случае) нааывастся энергетическим неравенством. В гл.
Ч1, 9 9 такие энергетические неравенства будут применяться для доказательства существования решения задачи Коши в случае и независимых переменных. Но для двух независимых переменных в ч 6 этой главы будут построены решения прямым методом, который одновременно дает другое доказательство только что полученной теоремы единственности. Э 6. Представление решений в 4орме Римана Начало современной теории гиперболических уравнений в частных производных было положено Б. Риманом, пояучившим представление решения задачи Коши для уравнения второго порядка '). В его работе нетобщего доказательства существования и способа построения решений, а лишь рассмотрены некоторые примеры, допускающие явное решение.
В предположении, что решение и существует, Риман дает лишь изящное явное интегральное представление и в форме, аналогичной представлениям решений краевых задач для эллиптических уравнений с помощью функции Грина; это интегральное представление является типичным обраацом для большого числа аналогичных формул, определяющих „линейные функционалы" Я). Элементарное изложение теории Римана будет в дальнейшем сильно обобщено.
') Риман развил эту теорию как приложение к своей классической работе о динамике сжимаемых газов (см. Раман (1)). ') Си. примечание иа стр. 450 и дальнейшие рассуждения, в часниосги, гл. Уй 6 15 и приложение. Э 5. Представление решений в дтарме Римана 447 1. Задача Коши. Любое линейное гиперболическое уравнение второго порядка после соответствующего преобрааованив может быть записано в одной из двух форм (ср. гл. КЕ э 2, п. 1) 1.[и).= — и +пи +Ьи„+си=у, (1) !'.[и)= — и — и,+аин+ди +си=у, (1') где а, [т, с, 7" — заданные (непрерывно дифференцтр.емые) функции независимых переменных х, у.
Начальная кривая С предполагается „свободной", т. е. она нигде не касается характеристических направлений; характеристиками для уравнения (1) являются прямые, параллельные осям координат; у для уравнения (1') это прямые Н Р((, 7) х+ у = сопя( т! х — у = сопзг. тт Нанта цель состоит в том, чтобы выразить решение и в точке Р через функцию )' и начальные данные, т. е. через значения функции и и некоторой „выводящей из С' производной и на кривой С. (Из таких начальных данных на С х опРсделЯютса и и„= Р, и ив = !7). Из 4 4 мы заключаем, что область зависимости для точки Р:(Е э))— это область, ограниченная двумя характеристиками, проходящими черсз Р, н кривой С. В случае уравнения (1) это треугольная область (.), изображенная на рис. 30.
Если начальная кривая вырождается в прямой угол, образованный прямыми х = а, у = р, то мы пе можем уже задавать два условия на С; вместо этого мы ставим „характеристическую задачу Коши"'), в которой на прямых х = а, у = р задаются только значения и. 2. функция Римана. Риман обосновывал свой метод получения формулы представления с помощью аналогии между дифференциальным уравнением и конечной системой линейных уравнений. Такую систему относительно неизвестных и! можно решать следующим образом; умно>ким левые части на неопределенные пока величины о', сложим эти произведения, перегруппируем слагаемые в этих билинейных формах, вынося за скобку неизвестные и', и, наконец, определим о' так, чтобы коэффициенты при всех ит обратились в нуль, кроме, например, коэффициента при лг, который сделаем равным 1. ') Иногда эту задачу называют задачей Гурса.
— Прим. Ред. 448 Гл. ]>, Гинербо.>ические уравнения с двумя переменим,ии Таким обрззом мы получим представление для и', аналогично для ае и т. д. Соответствующие величины о' зависят от коэффициентов, но не зависят от правых частей уравнений. Представление для аначения решения нашего дифференциального уравне»ия в точке Р можно получить аналогичным образом: умножают дифференциальное уравнение на функцию о, интегрируют но области ~Д, преобразуют интеграл с помощью формулы Грина, так чтобы функция и оказалась множителем в подинтегральной функции; затем пытаются определить функцию о так, чтобы получить требуемое представление. Мы уже ввели понятие сопряженного оператора >.* для данного оператора Ь (гл.
1П, прил, 1, 8 2); нри этом выражение о>.[а] — а>" [о] должно иметь вид дивергенции. Для уравнения (1) >." определяется формулой ].' [о] =.л, — (ао)л - (бо), + со, и мы имеем о1. [и] — и>'.е [о[ = (ои„+ бао) — (ио — аио) . Интегрируя это равенство по области с> с границей Г, мы получим с помощью формулы Гаусса -П( [и] — )- о с ] [(мил + (>ио) а>х + (ао„— аида) а>у].
г Применим эту формулу к области зависимости для точки Р. Учитывая уравнение (1), найдем, что — ~ (уо — иЛя [о]) с>х а>у = о [о(и„+с>и) с>х+ и(о„— ао) с(у] = ЛВ > ВРе РЛ ]г [о(и + ба) а>х+ и(о — ао) с(у[+ Лв ] и(о — ао) а>у — ~ о(ил+ [>и) с]х, ЛР ВР и так как ~ т> (и„+ [>и) а>х = о (Р) и (Р) — о (А) и (А) — ~ и (о„— с>о) с[х, ЛР ЛР р Б. ()редсгееление ренлениа е ферме Римана то а(Р)о(Р)=и(А)о(А)+ ~ и(о — до)с(х+ ] и(о — ао)ду — ,' АР ВЛ ~ [о(и +Ьи)с(х+и (о — ао) с(у]+ ~ ~ (уо — иЬ' [о])сгх лгу, АВ '!тобы получить представление для а(Р) =и(с, т)), мы выберем в качестве о функцию Й(х, у; с, и), удовлетворяющую следующим условиям: а) Й как функция х и у удовлетворяет сопряженному уравнению Ь,*.,„[й]=6.
(2) б) й, = дй на АР, й = ай на ВР, или, если написать зто подробно, Й,(х, у; В л)) = Ь(х, т) й (х, у: с, т)) прц у =- ~, й (х, у; с, т~)=а(с, у)й(х, у; '„т) при х=с. в) Й6 'ч С т)) — 1. Условия б) являются обыкновенными дифференциальными уравнениями для функции Й вдоль характеристик; интегрируя их и применяя условие в), чтобы определить значение постоянной интегрирования, мы получим для значений й на характеристиках, проходящих через Р, формулы е й(х, тд с, т))=ехр ~ Ь(Л, ъ))асЛ1, Г й (,', у; с, т)) = ехр ~ ~ а 6, Л) дЛ ~ . 1л (3) (3') и(Р)= и(А) й(А; с, т))+ ] [й(и +ди) с(х+и(й — ай) асу]+ + ~ ~' Й) (х (у, а Задача отыскания решения й уравнения (2), удовлетворяющего условиям (3), (3'), является характеристической задачей Коши.
Вопрос о существовании ее решения будет рассматриваться в начале В 6. ч ункция й называется функцией Римана, связанной с оператором Ра с помощью втой функции получается формула представления Римана 450 Гя 'ч'. Гиперболические уравнения с двумя переменными Чтобы получить более симметричное выражение, мы сложим это ра- венство с тождеством 0 = — [и(В)й(В) — и(А) й(А))— 1 2 — ) ~.2 (ияй+ ийя) с(х+ 2 (игй+ ийг) ду~ 1 1 АВ которое получается, если выражение ий проинтегрировать по частям вдоль С от А до В: и(Р) = 2 [и(А) й(А)+ и(В) й(В))+ 1 + ) (~ — йия+(ай — —, йя) и~ дх— АВ 2 Йиу+[ай 2 Йу) и]ау)+ ) ) Й) ггхау. (4) Формула (4) дает представление решения уравнения (1) для произвольных начальных данных, заданных на произвольной нехарактеристической кривой С, через решение сопряженного уравнения й, зависящее от х, у и двух параметров [, т1 ').
Выводя форлгулу представления (4), мы предполагали с)чцествование решения и уравнения с[и) =Г с начальными данными на АВ и существование функции Рил1ана й. Легко проверить следующий факт. Если функция Римана существует и имеет достаточное чксло производных по своим аргументам, то функция и(Р), определенная формулой (4), является решением уравнения ь [и] =Г' с заданными начальными условиями, если только кривая С нигде не имеет характеристического направления. Однако это замечание на самом деле не упрощает общее доказательство существования, так как функцию ') Формула Римана (4) является частным случаем следующего общего принципа:.Йепрерывный линейный фуякционал" и (Р) = Е [у], т. е.
величина, линейно и непрерывно зависящая от функции У(<',2), может быть представлен в виде и (Р) = ) К ((), Р) У (()) иГ;), где ядро К является функцией ге и Р, а интегрирование производится по области изменения переменной 9. Естественно, что такое общее представление (оно принадлежит Ф. Риссу) справедливо только при некоторых условиях гладкости. Но во всяком случае оно является достаточным основанием для применения многих методов.
В нашем случае решение и является лннейныч функционалом от функции г(х, у) в области тт и начальных значений на С в зависит ог Е П как от параметров. Как чы увидим позднее, в гл. Ч1, стремление получить ~акис интегральные представления приводит к далеко идущим обобщениям, 5 Б. Прейегавление решений в форме Римана 451 Римана, определенную как решение характеристической задачи Коши (с очень часвныжи па вид начальными данными), вообще говоря, построить не легче, чем решение произвольной задачи Коши.
Однако в некоторых частных случаях можно явно построить функцию Римана (см. п. 5, скажем, при- мер 2)'). У В предположешш, что функция й существует, из формулы (4) следует, что решение с заданиымн начальными данными единственно. Ввиду теоремы Хольмгрена (см. гл, П1, прил. 2) это не является неожнланным. 3. Симметрия функции Римана. Предположим, что и является реше- нием уравнения 5 [и] = и„+ аи + Х + ба„+ си = 0 определенным в пря- Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
