Р. Курант - Уравнения с частными производными (1120419), страница 92
Текст из файла (страница 92)
В заключение следует отметить, что, применяя описанное выше построение к начальным значениям ф(х), мы получим обобщенное решение, даже если функция ф имеет разрывы, например скачок в некоторой точке (пусть это будет точка х = О). Такие разрывы распространяются от начальной точки разрыва Р' вдоль каждой нз характеристик, выходящих из Р*, Подробный анализ таких разрывных решений в более общем виде будет дан в гл.
И, й 4, б. Смешанные начальные н граничные задачи '). Многие интересные физические явления происходят в части пространства, ограниченной подвижной или неподвижной границей. Эти границы математически выражаются с помощью соотношений между переменными, описывающими физическую систему. Укажем несколько примеров таких граничных условий. а) Нормальная компонента скорости идеальной жидкости около подвижной стенки должна быть равной нормальной компоненте скорости стенки.
б) Смешение колеблющейся струны, закрепленной в конечных точках, должно быть равным нулю в этих конечных точках. в) Нормальная компонента градиента амплитуды звуковых волн у идеально отражающей стенки должна равняться нулю. Мы предположим, что система рассматривается только на положительной полуоси х, х)~0, и постараемся решить линейную илн почти линейную систему в характеристической нормальной форме (Зв)г ') См. также приложение 2 к этой главе, а также гл. У1, й 8, и.
4. 463 Гл, 1л, Гиперболические уравнения с двумя перелилнными т, ~~ та )~ ... ~~ т, ) О, а т,+н ..., та — отрицательны. Согласно нашим предположениям, ни одно из собственных значений не должно обращаться в нуль. Другими словами, г есть число характеристик, проходящих через начало координат О, идущих вверх, в первый квадрант плоскости х, г.
Рис. 34. Тогда первые г характеристик, проходящие через точку, достаточно близкую к О (Г) 0), также идут в первый квадрант. Кроме того, мы будем считать, что характеристики не пересекают друг друга. Тогда характеристика С,, проведенная через точку О, рааделяет квадрант, примыкающий к этой точке, на две области. При этом все г характеристик, проведенные через точку Р в области слева от С, в направлении убывающих значений г, пересекают положительную часть оси Г, если мы будем рассматривать достаточно малую область, примыкающую к точке О (рис.
34). На положительной полуоси х мы зададим начальные данные Коши, т. е. и значений и(х, 0)= — ф(х). В дополнение к этим данным Коши, заданным при х ) О, мы нри х = О зададим г граничных условий и' = Х'(г) с известными функциями уе(г), р < г, или, в более общем виде, (8) и — ~ плд'и =~е(Г) (р= П ..., г). О"и"=Р" (х, г, и', ..., и'); решение мы будем строить в малой области, примыкающей к положительной полуоси х, х ) 0 и к полуоси 1) О. Условия, заданные на осях х и г, должны определять корректно поставленную смешанную задачу. Мы предположим, что г — число положительных собственных значений т: а о.
Решение задачи Коши для линейных Враелений 469 Здесь (й — г)г величин т ' известны и могут быть выбраны так, что те ~тд'г~ ( 1. (10) гь! Из условий (9) ясно, что г функций и', ..., и' можно линейно выразить через остальные функции и"', ..., и». Условие (10) нужно лишь для того, чтобы технически упростить приводимое ниже доказательство сходимости. Ему всегда можно уловлетворить, если вместо функций и'+'...., и» ввести новые зависимые переменные 1»и'+!, ..., ри» с достаточно большим положительным множителем р. Наконец, мы заметим следующее: вдоль характеристик, проходящих через точку О, решение будет иметь раарывы, если значения функций и при х = О, Г = О в точке О не удовлетворяют некоторым .условиям согласования".
В частности, согласование нулевого порядка, т. е, непрерывность функций и, заключается в выполнении условиИ у'(О)+,» тб »фа(О) = ф'(О) (р = 1... „ ! г+1 Аналогичные условия для непрерывности производных получаются с помощью дифференцирования. Мы утверждаем, что при заданных условиях дифференциальное уравнение (3) имеет единственное решение е квадранте О (х, О (Г. Если коэффициенты дифференциального уравнения и начальные и граничные данные имеют непрерывные производные порядка а и если данные задачи удовлетворяют условиям согласования порядка а, то решение имеет непрерывные проиаводные до порядка а включительно.
Если условия согласования выполняются только до порядка р, то производные решения порядка выше р имеют разрывы на характеристиках Си ..., С,, исходящих из начала коорлинат. Построение решений с помощью итераций происходит почти точно так же, как в п. 3. Снова обозначим через Р, пересечение характеристик С„с прямой 1 0 или х =О; в очевидных обозначениях мы имеем Р и" (Р)=и*(Р„)+ ~ Р*(», 8, иг, ..., и»)М. (11) Если точкз Р„лежит на оси 1, что может случиться только при й (г, мы подставим вместо величины и*(Р„) ее значение из формулы (9), а если Р„лежит на оси х, то мы подставим начальные данные (! (Р„).
Затем мы так же, как и раньше, введем интегральное преобразование ч'»+! = Ттга 470 Гл К Гипербалинеснае уравнения с двумя переменными приняв за Ти правую часть формулы (11). Чтобы доказать сходимость последовательности (о„), мы опять рассмотрим ряд, составленный из разностей тв„н, =о„„, — о,. Если точка Р„лежит на оси 1, мы имеем рекуррентные соотношения = У ° ('УЬ д1 ! с+1 То, что преобразование, переводящее юп в тв„гп является сжимающим, как в максимум-норме, так и в максимум-норме е-го порядка, для достаточно малой полоски устанавливается так же, как в и.
3. Таким образом, решение снова получается как неподвижный элемент преобразования Т. Если физическая система ограничена двумя стенками, а не одной, например линиями х = О и х = а, то на линии х =. а надо задавать граничные условия в соответствии с теми же принципами. Другими слонами, мы лолжны задавать столько граничных условий, скодько характерястик нз точки (а, О) входит в нашу область, причем эти условия должны удовлетворять условиям согласования и линейной независимости, аналогичным тем условиям, которые раньше ставились при х = О. Тогда мы получаем елинственное решение в полуполосе. Область, изменяющзяся с течением времени, математически описывается следующим образом; задается ее положение в момент С = Π— некоторый отрезок (а, Ь) на оси х, и задается движение ее концов с помощью двух кривых, исходящих из коннов отрезка а и Ь в направлении положительных значений Е Если эти кривые достзточно гладкие, то задача для такой области может быть заменой независимых переменных сведена к той задаче, которая рассматривалась выше.
До сих пор мы предполагали, что граничные кривые нигде не имеют характеристического направления; но тот же самый метод построения решений можно применять и в случае, ко~да олна из граничных кривых (нли обе) характеристическая. Число условий, которые надо злесь задать, равно числу характеристик, входящих в рассматриваемую область, не счингая самой граничной кривой, Это согласуется с заиечаниями, касавшимися характеристической задачи Коши (см. п.
1). Примеры. 1) Движение натянутой струны в плоскости подчиняется уравнению им= сев,=О, (12) где и обозначает смешение струны, а с — постоянная, зависящая от плотности и натяжения струны. Задаются начальное положение и 4 б. Решение задачи Коши длл нинейнык уравнений 471 скорость струны (данные Коши), а концы струны (а, 0) и (д, 0) фиксированы, т. е. граничные условия имеют вид и(а, 1) =и(Ь, г) =О. Сведем уравнение второго порядка (12) к системе первого порядка, имеющей диагональный вид, введя новые неиавестные функции тл = си„.
+ ин ш = син — ин Тогда мы имеем о,— со„=0, ти, + ств, = О. Характеристические скорости здесь равны + с. Рассматриваемой областью является полуполоса а < х (Ь, 1)~0; из каждого угла в эту область входит ровно одна характеристика. Поэтому г = 1 для обеих граничных прямых.
Следовательно, мы имеем на каждой границе одно граничное условие: о (а, Г) — гв(а, Г) = о (д, 1) — ш (Ь, 7) = О, Кроме того, легко проверить, что в этом случае выполняется усло- вие линейной неаавнснмости. 2) Лвижение сжимаемого газа в трубке, закрытой подвижными поршнями, можно описать, зная скорость потока и и плотность р. Уравнение неразрывности и уравнение сохранения количества движе- ния имеют вид р,+ир,+ри =0 и и,+ ии„+ — р,=О. Р Здесь р обозначает давление; уравнение состояния газа задает Р как известную') (и монотонно возрастающую) функцию р.
Эти уравнения нелинейные. Теория задачи Коши для таких урав- нений во многом аналогична теории для линейного случая; она будет рассматриваться в следующем параграфе. Аналогия переходит также на теорию смешанных начальных и граничных задач, как показывает данный ниже пример. Конечно, для нелинейных систем надо учиты- вать тот факт, что все утверждения будут справедливы только для достаточно малых областей. В начальный момент и и р задаются как известные функции х (а н. х (д). На кривых х= а(1) и х=д(1), соответствующих поло- жению поршней, замыкающих трубку, мы требуем, чтобы скорость потока была равна скорости поршня: йа и(а(Е), л)= — „ йэ и(д(1), Г)= —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
