Р. Курант - Уравнения с частными производными (1120419), страница 94
Текст из файла (страница 94)
Мы рассмотрим даже более общий случай, когда задача Коши разрешима, хотя уравнение может иметь кратные характеристики. 1. Сведение к характеристической системе первого порядка. Задачу Коши для уравнения (1) можно свести к задаче Коши для линейной системы первого порядка в диагональной форме. Сначала мы произведем это сведение, вводя в качестве новых неизвестных функций производные функции и (как мы делали и раньше). Система первого порядка, которая получается в результате, будет иметь те же й различных характеристик, что и уравнение (1). и, кроме того, линии х=сопз1 будут тривиальными кратными характеристиками.
Эту систему можно привести к диагональной нормальной форме, рассмотренной в 6 6, п. 2. В пункте 3 мы рассмотрим более изящные и общие способы приведения к диагональной нормальной форме. Мы будем писать а, вместо а," и положим а, = 1; уравнение (1) 1 можно заменить системой дифференциальных уравнений с — й(й — 1) 2 неизвестными функциями р' ) (х, Г) (1+ у < /г — 1); эти функции отождествляются с производными д )и)дт дх~.
Основг+! г е ное уравнение имеет вид рн-Ьо+(арн-Ьо+арл-а1+ +а ро,н-з)+Н О (2) Здесь все й-е производные, которые были в уравнении (1а), кроме А-х производных по С заменены производными по х от величин р' т для 1+у'=й — 1. Величина Н есть линейное выражение относительно р' С 1+у' < й — 1, и не содержит производных. К уравнению (2) добавляются еще уравнения р';! — рсз' 1 =0 для 1+3=0, 1, ..., й — 2, (2') р~ з — р,'~' ! '=0 для с+у=а — 1, 1+Й вЂ” 1.
(2') В качестве начальных данных мы берем те, которые уже дэны или получаются из исходных данных Коши, т. е, пои с =0 мы полагаем функции р' о равными д'и(х, т)/дг', 1= О, ..., й — 1. Тогда из уравнений (2') и (2н) следует, что начальные данные для р' ! равны нулю и, кроме того, что всюду р '~ =д '1(р ' )/дтедхз; 1+у < й. Теперь мы обозначим через (з'(х, г) вектор-столбец с компонентами р' С упорядоченными в порядке убывания 1+,г' и возраста- 477 Э 8 Задача Коши длл одного уравнения высшего нарядна иия 7', как в формулах (2), (2') и (2и).
Тогда наша система примет вид У,+ АОл+ ВУ+ с =О, (2ш) где матрица А такова: а, аа ... ал , аи 0 ... 0 — 1 0 ... 0 0 0...0 0 — 1... 0 0 0...0 0 0 ... — 1 0 0...0 0 0 ... 0 О 0...0 характеристического уравнения (!7е+ А(!= О. легко найти вид а имекио: !)7т+ А(1=слР ( — т, 1) =О, 1 где Аг= — 7г(7г — 1). Множитель т~ соответствует тривиальным крат- 2 иым характеристикзм х = сопя! нашей системы. Таким образом, система (2") принадлежит классу, рассмотренному в й б, п. 2. Следовательио, аадача Коши с указанными выше данными имеет единственное решеиие, которое одновременно явдяется решением исходной задачи для уравнения (1).
2. Представление оператора 7.1и! через характеристики. Бол,е общий метод решения задачи Коши для гиперболического уравнения (1) основан иа представлеиии оператора Е(сП через производные по иаправлеиию характеристик. Предварительно мы рассмотрим г производных по иаправлеииям, ие обязательно характеристическим, ио различным: О,. = — + тг (х, Г) — (г = 1, 2... „г), д д где т; чь "7 для !+/. Функции т,(х, !) предполагаются достаточно гладкими.
Тогда легко устанавливаются следующие леммы: Лвммл А. О!(аО ) =и0,.07+ ~ЗОр !в = О (а). Леммл Ь. 0;Ц вЂ” 070;=а(х, !) — == (О,— 07), д а 1 ! где коэффициент а олределнетсл формулой д=, д: де дв 478 Гд 14 Гиперболические уравнения с деуля леременньы!и Дополнительный член />>, ! являеигся оператором порядка не большего, чем г — 1. Прииеняя лемму В к опсратору />г, ! и повторяя этот процесс, мы получаем слелующую лемму.
Лемма В'. Любой оператор поряд!са г может быть записан в виде />!, = ~Р~ а';(/и ' (! ( з + 1, з ( г). Леь!ма В локазывается просто по индукции. Мы имеем д/дх = [1/( г! — т,)) (Е)г — О,) (4) д/д/ = 11Ятг — т,)! ( с,Ог — -.гО,). Отсюда следует лемма В лля з = г = 1. Предположим, что лемма В справедлива для г = з ( й — 1, и покажем, что производные д(/чг,)/дх и д(/>г,)/д/ имеют вид (4).
Рассмотрим член Е/" . Оба дифференциальных оператора д/дх и д/дг имеют вид рО,+дО> г. Согласно леммам Б и Г>', мы получаем, что рО,Е/'!=р(/" " +/>/, и >,! >е>,! с/О,>г(/" =!/(/ ' . Если мы применим это рассужление ко всем членам оператора Ии то лемма В будет доказана по индукции. Процесс оканчивается при з = й — 1, если рассматривается всего А производных Ои Если заданы й разлитых производных Ои то, вообще говоря, л;шейный д !ффсренциалщ!ый оператор порялка г = й нельзя выразить в виле (3).
Мы можем не- (Если величины тп -. постоянны, то а об/гагцается в нуль и операторы Ои О коммуигируют,) Лемма Б'. Перестановка операторов О, в произведении й различных операторов дифференцирования по направлению оставляет зто произведение неизменным с точностью до слагаемого, которое представляет собой линейный дифференциальный оператор порядка меньше й.
(В случае постоянных коэфф>гциентов этот дополнительный оператор равен нулю.) По индукции отсюда можно легко получить следующую лемму. Лемма В, Любой линейный дифференциальный оператор И, порядка г ( й можно представить как сумму вида />/,= ~ або +/>/, (3) ! цГ>! где Е ч есть произведение г из г+ 1 операторов О,, ..., О,ь,: Е/о '=О,„! ... О;, ! О,,... Ои т. е. из произведения О, ...
О„, пгь! исключается 1-й сомножитель, например Е/ ' =Е),... О,, или З 8. Задана 7(о~ни дяя одного уравнения вь~гигго лорядка 479 посредственно убгдиться, используя, например, результаты п. 1, что если Вн ..., 0„— операторы д1фференцирования по направлению характеристик гкперболического оператора 5[и], то из разложения характеристического полинома Р" нз линейные множители получается основная формула разложения Ь [и] = Ми+Лги,и, (5) где Ми = ВгВ„, ... В,и, (6) а )кгг, — оператор порядка не выше )г — 1.
Поэтому, учитывая те члены )к)г и которые не содержат проиаводных функции и, мы можем в силу леммы В' записать дифференциальное уравнение (1) в нормальной форме: А[и]=М[и]+Юг,и= Ми+ ~~'., а,Уь'а+аи= — 7(л, 1). (7) г<г 1 <л~-1 3. Решение задачи Коши. Залачу Коши для уравнения (1) с начальными условиями а = С, У ' а = О при (= О можно теперь сразу решить, приведя уравнение к диагональной нормальной форме.
г Слегка изменяя обозначения, положим и = У и заменим У ' и просто символом У ' . Величины с7~, 0' рассматриваются как неизвестные функции, образующие вектор У с )г(7г+ 1)12 компонентами. Обозначая через 1(У) линейное вырагкение относительно компонент вектора с), мы, согласно п. 2 и равенству (4), легко получим, что В,Уь =1,;(О) (в(Уг — 1, 1(в+1) (8) и 0 У ' =Ми 1г 1 ~(У)=1я г;(У) — 7, (9) 4 + где 1г ь;(У) снова есть линейное выражение относительно компонент вектора У.
Система (8), (9) является как раз системой в характеристической диагональной форме, которая решалась в 9 6. Таким образом, задача Коши решается с помошью приведения уравнения к характеристической нормальной форме. Данное выше решение можно сразу распространить на случай кратных характеристик при выполнении некоторого естественного условия. Чтобы оправдать это условие, мы заметим, что для оператора 7.[и] возможно приведение к виду (5) также и в случае, когда некоторые из характеристических направлений совпадают.
Но тогда может оказаться невозможным представление (7), ибо оно может не пройти для члена Мг и Например, лля lг =- 4, если О, = 0г Вз = Вн оператор А[и] =- 0,0зВгВ, +В„ВзВг имеет вид (5), но не вид (7). 48б Гл. )с, Гиперболические уроепения с двумя переменными Но мы можем представить себе, что кратные характеристики получаются при непрерывном изменении некоторых параметров, в результате чего некоторые из первоначадьно различных производных В, совпадают. Выражение Аг„г принимает вид, указанный в формуле (7), только некоторые из множителей В, совпадают. Теперь мы сформулируем это наводящее соображение „как условие А". Оператор Е]и] можно привести к виду (7), причем ни один иа членов не должен содержать более высоких степеней В, чем глзвный член М.
При выполнении этого условия приведение уравнения (1) к нормальной диагональной форме остается буквально без изменений. Следовательно, условие А обеспечивает единственность решения и корректность постановки задачи Коши и в случае кратных характеристик '). 4. Другие варианты решения. Теорема П. Унгара. В прелы- душем пункте иам удалось набежать появления дополнительных характеристик, но мы ввели много новых неизвестных, отчего характеристики приобрели высокую кратность. а) Сводя одно уравнение к диагональной системе, мы можем, (см. Унгар ]1]), избежать введения как посторонних характеристик, так и лишних уравнений.
если будем пользоваться следующей замечательной теоремой. Твогемл Унглгл. Если 7.— оператор порядка й, удовлетворяющий условию А, то задачу Ко1пи для уравнения Е]и]=7" можно свести к задаче Коши для диагональной системы, состоящей ровно из (г уравнений первого порядка Запишем формулу (5). изменив порядок сомножителей: Е=В102... В„+Ал 1., здесь совпадающие Вт перенумерованы подряд. Существует последовательность операторов 7-о= 1 (1= ВА+ )~о ~ э — 1 Вэ-1йя-2+ ~~я-2' 7-=( =В ( — +77э- ') В связи с содержанием предыдущего и следующего пунктов мы сошлемся на работу Э, Леви ]3].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
