Р. Курант - Уравнения с частными производными (1120419), страница 91
Текст из файла (страница 91)
Интегрирование уравнений (Зн) нли (3'е) вдоль характеристик С„от Р„до Р подсказывает, что надо исследовать интегральное преобразование ))7" (е, т) =чу(х,)+ 1 Р (х, (; Ъ') И= о = Ч" (х,) — ~(б" (х, С И)+ (П'~") ) Л, о (4) где в Р (х, г, ге(х, г)) вместо х подставлена функция х (г).
Символически это преобразование можно записать в виде )г" = Т~', оно переводит функцию И пространства Я в функцию В', приннмзющую те же начальные значения. Мы ищем решение задачи Коши как элемент, не изменяющийся при этом преобразовании. При преобразовании Т каждая компонента вектора Ф'(с, ч) в точке Р выражается как соответствующий интеграл по характеристике С„; это значит, что в Р (х, г, И(х, г)) мы должны заменить х на х„(~; Е, ч) и затем просто проинтегрировать по Г от 0 до г. Для достаточно узкой полоски Оо искомый неподвижный элемент можно найти с пол~ощью итераций, т.
е, как равномерный предел прн и -ьсо последовательности С/„е, =- Т(У», причем начинать можно с любой допустимой функции Уое Чг(х, 1), принимающей начальные значения че (х). С этой целью мы используем лагесилеуле-норму ~; у),', или г,г'го для непрерывной вектор-функции У, равную наибольшему значению, которое в замкнутой области 6 принимают модули компонент г. Мы положим гчг=)Чг(х, Г)) и ограничим множество допустимых функций из 5 такими, для которых ~!У ~ ~< 2чч'.
Для этик допустнмык фуНКцнй СущЕСтВуЕт Общая ВЕрХНяя ГраНИца, т. Е. таКОЕ ЧИСЛО Ге, что в 6, а тем более в Ое ~~Р"~,'<р 1Р"!:<р 1~Р"!~<р ~~Р",",<) где Ри обозначает градиент функции Р по переменным И. Мы можем также предполагать, что величина р ограничивает абсолютные величины подннтегральных функций в формуле (4). Тогда, если а выбрано достаточно малым, преобразование Т переводит допустимую функцию )е в допустимую функцию %'. ДейСтзнтЕЛЬНО, ЗаМЕтИМ, Чта НЗ фОрМуЛЫ (4) СЛЕдуЕт, Чта (%''О < ДГ+ Л(е; поэтому, если мы выберем а так, что И(г < М, то )'йг)' < 2М. В том, что В' имеет непрерывные производные, мы сейчас убедимся 4б4 Гл 1г. Гиперболичсскве ураанеяпя с двдлгя переменными Чтобы доказать равномерную сходнмость последовательных приближений Ую мы рассмотрим разности ля= Ольг — (лл, для которых в силу (4) справедливы равенства 7"„а,) —.~(Г"(х, 4, и„„,) — р"(х, (, ип))дг (х=х,(Г;! т)).
а Так как функция г'(х, г, $') имеет непрерывные производные по ьг, мы можем применить теорему о конечных приращениях н для некоторых промежуточных значений О получить соотношение 2"„б, с)= / ~'"и(х, 4; 0")2я т(х, 1)й(. о Так как 1Ря)((ь, мы сРазУ же, как и Раньше, видилт, что 3х„,~~ С ййр~!Кл,$. Поэтому, выбирая й достаточно малым н таким, чтобы лпр = б < 1, напРимеР, б = ',гт, мы полУчим, что 1'Л 1~~4'1ля Тогда мы можем утверждать, что преооразованне Т является сжгтмаюлаим относительно данной нормы и Л, равномерно стремятся к нулю в области ба при а-+ссз; следовательно, функции (/, равномерно сходятся в Оа к некоторой непрерывной функции У.
Предельный вектор (л', принимающий, очевидно, начальные значения тгг(х), является неподвижным элементом преобразования Т и решением системы интегральных уравнении У=Т(). Так как применение к содержащимся в этой системе интегралам дифференцирования по направлению В" дает подинтегральную функцию, то У является также решением пашей системы дифференциальных уравнений, записанной в характеристической норлгальной форлте (3"')'). Однако из существования производных по направлениям непосредственно еще не следует существование и непрерывность производных У„, У, для предельной функции У. То, что этн производные существуют и непрерывны, будет доказано ниже, а именно, будет установлено, что производные (л'„равномерно сходятся, если равномерно сходятся сами функции У,.
Тогда, согласно элементарным теоремам анализа, предельные функции для производных будут производными предельной функции У, Мы можем ограничиться слу шем производной по х (или по ';), так как производную по Г можно тогда выразить через известную ') Приведенное выше рассуждение показывает, что решение единственно. )(ействительно, в силу того, что преобразование Т является сжимающим, разность двух решений тождественно равна нужо. Э б Решение задачи Коиш для линедиагх ираеиеиид 4бб производную по направлению О, Прн дифференцировании формул (4) по о под знаком интеграла член (И)п дал бы вторые производные от собственных векторов 1, в то время как мы предполагаль лишь существовщше первых производных. Мы легко можем обойти эту трудность, предположив сначзла, что существуют непрерывные вто- рые производные, а затем, после дифференцирования, избавиться от этого предположения с помощью предельного перехода.
Однако мы могли бы применить следующий более прямой прием (предложенный !1. Унгаром) дифференцирования по о интеграла вида К(о) = = ( Р(1 ()И3(1, с) Ж, где 1) обозначает дифференцирование по пео ременной 1 (в нашем случае дифференцирование вдоль характери- стики). Вместо К(1) мы рассмотрим функцию двух параметров и и р: Н(а, р)= / Р(1, а) 0Я(1, [3) И, о так что К(о)=Н((, '), а Ке — — Н,+Но для а =р=о.
Тогда член Н, получается с помощью прямого дифференцирования под знаком интеграла: Н„= ~ Р„(1, а) ГдЯ(1, р) И. о Чтобы получить выражение для второго члена, мы сначала проинтегрируем по частям, а затем уже продифференцируем по [э; наконец, мы снова положим а=[)=6. Складывая результаты этих операций, мы получаем К,= [' [,(1, ()ВО(1, () — И (1, ()а,,(1, ()[д1+ о +Р(., Е)Яа(т, Е) — Р(0, Е) Яе(0, И), Эта формула позволяет нам непосредственно дифференцировать интеграл от п1)(1), Комбинируя различные выражения и сокращая граничные члены, мы можем, наконец, записать выражение Ж'= Т[' в виде 11х;(е, т) = — [ ха [Ах+ дХ,+ 1„1)п — пх01[е(1+ о + 1хп [,=, — М [,=о (б) Независимо от того, выражаем ли мы и под знаком интеграла через [Г нли нет, эта формула представляет производную Ж'ь через функцию [х и ее первые производные, не включая вторых производных от Гя, К 1"илврбвяинеснлв уравнения с двумя лерененнынн Она показывает, что функцтя В' имеет непрерывные первые производные.
Кроме того. фгриула (5) указывает на следующий факт: производные функции Ф' ограничены, есл ~ ограничены 1(г1 и )!(Г),; здесь '((г(), есть максимум-норма первого порядки. т, е. наибольшее значение, когорое в нашей области принимают функции ((г" ! или ( Кг ( '). Точнее, если задана оценка М для ,','(г), то можно определить величинУ Мп огРаничиваюшУю ((г~!и так что длЯ достаточно малых й величины 11)71 и 1(гт1, ограничены соответственно величинами М и М,. Более того, так же кзк и выше, можно сделать следующий вывод: для достаточно малых Ь преобразование Т(Г яв.чяется сжимающим также и для первых производных. Поэтому не только функции Бю но и первые производные последовательных приближений У, равномерно сходятся в достаточно узкой полосе 0н. Соответствующие пределы должны быть производными предельной функции У.
Поэтому функция (7 является решением задачи Коши. Можно добавить следующее замечание: из формулы (5) легко следует, что некоторый „модуль непрерывности" для функции (Г( становится также модулем непрерывности для %'ы В частности, если (ге (или (г,) удовлетворяют условию Липшица с постоянной Липшица в, т. е. если разностные отношения равномерно ограшшены величиной а, то аналог«чное утвергкдение будет справедливо дчя производных функции Т(г, Следовательно, производные последовательных приближений равностепснно непрерывны. (1о теореме Арцела они образуют в этом случае компактное множество, так как они равномерно ограничены, и в силу теоремы единственности иогут иметь только од»н предельный элемент.
Таким образом получается несколько иной вариант доказате.чьства, Наконец, мы сделаем важное замечание, которог будет использовано в й 7: даже если на каждом шаге преобрааование (5) Т = Тл изменяется, равностепенная непрерывность производных и условие Липшица сохраняются при применении преобразования Т до тех пор, пока члены 0 1 остаются равномерно ограниченными. Кроме того, предыдущие рассуждения можно без изменения распространить на старшие производные. Если начальные данные и коэффициенты дифференциального уравнения имеют непрерывные производные до порядка а, то решение будет иметь такую же гладкость. Мы будем говорить, что свойства гладкости функции и лродолжаягы, т. е. дифференцнруемость любого порядка сохраняется ') Норму 1(г1, можно было бы определить и несколько иначе, а именно как максимум величин ! (г" (, ~ Ь'„" (, ) (гг'), где 1 < к < Л, б б.
Решение задави Коши длв линейных уравнений 467 при переходе от 1=0 к Г=)г. В гл. У!, э 1О, мы изучим роль, которую играет понятие продоллсижмх начлльных условий. Теорема, сформулированная в начале п. 2, справедлива в более широкой области. Чтобы доказать это, мы возьмем прямую Г=Ь за новую начальную пряную, а значение функции 1/(х, Ь) за новые начальные данные и будем решать ту же самую задачу в полосе Ь (1 < 2гг. Этот процесс мы будем продолжать шаг за шагом и таким образом получим решение для произвольно больших 7, если только при этом будут сохраняться предположения о непрерывности и ограниченности, 4.
Замечания. Зависимость решений от параметров. Легко установить важное следствие оценок, которые применяются для доказательства сходимости в методе последовательных приближений: если коэффициенты дифференциального оператора или начальные данные ~у непрерывным образом зависят от параметра е и имеют по з непрерывные производные до порядка з, то аналогичное утверждение справедливо относительно характера зависимости функции л от в.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
