Р. Курант - Уравнения с частными производными (1120419), страница 93
Текст из файла (страница 93)
йг ' ') Тем самым мы, как и в й 3, п, 1, предполагаем, что поток нзэнтропический. 4т2 Гл. Р. Гиперболические дравнекил с двумя переменкьыш Характеристические скорости равны и+с и и — с, где от=ар/с(р. Рассматриваемая область имеет вид а(Г) ( х ( Ь(~), 8 )~ О. Здесь снова г = 1 на обеих границах, т. е. на каждо 1 границе задано одно условие. В теории, построенной для линейного случзя, число условий лолжно было быть равным числу характеристик, вхолящих в область.
Аналогичное условие должно выполняться для нелинейного случая. В нашем примере это условие действительно выполняется, как легко видеть непосредственно. З 7. Задана Коши дли иваэдлимейных састеле Мы рассмотрим теперь строго квазилинейную систему и,+А(х, С; и)и +В(х, 1; и)=0 и вкратце укажем, как на основании результатов Э 6 можно лля нее решить задачу Коши с помощью слегка измененного итерационного процесса. Результат получается точно такой же, как для линейных или почти линейных систем. В частности, если коэффициенты А, В и начальные значения ф(х) имеют первые производные по х, Г, и, удовлетворяющие условию Липшицз, то в некоторой окрестности 0 (1 ()е отрезка ~ оси х существует единственное решение, имеющее производные, удовлетворяюгцие условию Липшнца, если только система гиперболическая для заданных начальных значений и(х, 0)=ф(х); как и раньше, гиперболнчность означает, что существует )с линейно независимых левых собственных векторов (В, ..., В).
Мы можем предполагать, что они нормированы таким образом, чтобы составленная из них матрица Л имела определитель, равный 1. Характеристики С„, собственные значения ч" и собственные векторы зависят теперь от конкретных функций и. Мы будем рассматривать функции о (не обязательно решения) с заданными начальными значениями о(х, 0)=ф(х), причем первые производные удовлетворяют условию Липшица, а сами функции полчиняются неравенствам !М(А4 ~!о~~) (А41 с фиксированными М и Мр Мы предположим, что матрица А(х, 1; о) имеет и действительных собственных значений ч" (х, 1; и), короче ч(п), и что существует матрица Л(о), составленная из линейно независимых собственных векторов )ч, первые производные которых по всем аргументам существуют') и удовлетворяют условию Липшица; все эти условия должны выполняться в фиксированной обла- ') Лля случая различных собственных значений эти свойства собственных элементов следуют из предположений относительно матрицы А, Э?.
Задача Коши для явазилннейных систем 473 сти 0„, которую мы сейчас опишем, взяв за и любую „допустимую" функцию, удовлетворяющую указанным выше условиям. Решения обыкновенных дифференциальных уравнений дх/д1=ч" называются характеристиками С" поля тг. Наклоны характеристик для допустимых функций равномерно ограничены: 1т*( ( и; мы определим теперь замкнутую область 0 и в ней полоску 0„: область 0 состоит из этаких точек, что проведенные через них о-характеристики С" в направлении к прямой 1 = 0 остаются в области 0 и пересекают часть Я оси х. Множество или „пространство" всех функций и снова обозначается через Вн. Собственные векторы 1 и собственные значения, а также их первые производные зависят от переменных х, 1 и о и удовлетворяют условию Лившица.
Как и раньше, мы определим дифференциальные операторы вдоль характеристик в поле о формулой Р = д1д1+ тд1дх. Теперь мы введем естественный итерационный процесс. (Сравните с гл. 1Н, й 7, где дана аналогичная схема для эллиптических уравнений, и с гл, Н1, й 10, п. 5 †д гиперболических уравнений с числом независимых переменных, большим чем два.) Чтобы допустить достаточную свободу выбора функций и, мы можем положить М =1Н+ 1, считая, что ((ф(х))) а, Лг. Тогда, подставляя в А и В допустимую функцию о(х, 1), мы получим из уравнения (1) линейное уравнение, так же как это было в й 6. Найдем решение и аадачи Коши с заданными начальными значениями и(х, О) = = ф(х) и положим и = То.
Тогда мы получим решение уравнения (1) как неподвижный элемент преобразования Т; в частности, его можно получить как предел при и -ь со равномерно сходящейся последовательности Тия = илтп с и =ф(х), где Т = Т„ зависит от л, Решение строится следующим образом (см. Курант [1!).
Сначала мы так же, как и в $ 6, получаем преобразование и = То, вводя новые функции с помощью равенств У=Ли, )?=Ло, гГ=Лф и т. д. Затем в основных формулзх (5) и (6), й 6 мы должны только заметить, что при дифференцировании по х надо учитывать зависимость 1, ... от тч т. е. мы должны считать, что (с11а'х)1=1,+ + 1сол, ... вводя, таким образом, производные от о. Это непосредственным образом приводит к следующей лемме: для М =Лг+ ! мы можем выбрать достаточно большое М, и достаточно малое Л так, что любая функция о из Яв переходит в функцию та=То также из Ян. Кроме того, последовательные приближения и„равномерно сходятся в области О„к некоторой предельной функции и.
Эта функция определяется однозначно и, очевидно, удовлетворяет дифференциальному уравнению, записанному в характеристической форме 1Ри+1В=О. То, что преобразование является сжимающим, а также единственность функции и устанавливается, как и в й 6, с помощ~ ю оценки разности в=и — и" двух допустимых функций и=То и 474 Гл. К Гинербалические уравнения с двумя неременнм.ии и* = Ття', где ч = и — и', для г справелливо дифференциальное уравнение г, + А (и) г + (А (о) — А (и") ) г* + В (о) — В (и') = О. Применяя теорему о конечных приращениях и ссылаясь на формулу (4) из й 6, мы получаем г, + А (о) г„+ ГК = О, где К вЂ” ограниченная функция от х, Г, и, как в й 6, устанавливаем неравенство вида ~~г~;< Ма~а ~~,~.
При достаточно малых )с мы можем добиться того, чтобы было 1 )~г)(( 2'аЦ, и следовательно, чтобы преобразование Т было сжямающим, поэтому функции и„в области 0» равномерно сходятся к некоторой функции и. Чтобы показать, что функция и имеет проиаводные, удовлетворяющие условию Липшица, и является решением уравнения (!) в строгом смысле, мы сошлемся на замечания в конце Э 6. Из формулы (5), Э 6 можно установить, что преобразование Тп сохраняет условие Лнпшнца для производных. Поэтому первые производные последовательных приближений и„равностепенно непрерывны, образуют компактное множество и предельная функция имеет, как и утверждалось, производные, удовлетворяющие условию Липшица. Приведем несколько иное рассуждение, которое также можно было использовать.
Сначада мы аппроксимируем функции А, В и ф соответствующим образом подобранными функциями с непрерывными и ограниченными вторыми производными. Тогда соответствующие решения и„будут иметь равномерно ограниченные вторые производные. Максимум модуля вторых производных после предельного перехода станет просто константой Липщица для первых производных функции и. Во всяком случае, для нелинейных систем получается такой же реаультат, как и для линейных. Между прочим, нетрудно заменить предположение о выполнении условия Липшица предположением о том, что имеется любой заданный (вогнутый) модуль непрерывности (А.
Дуглис (1)). З 8. Задача Коши для одного гиперболического диЯЯеренциалвного уравнения высшего порядка Одно дифференциальное уравнение высшего порядка заслуживает отдельного рассмотрения, так как оно имеет ряд черт, отличающих его от систем первого порядка. 4 В. Задача Коши для одного уравнения высшего порядка 475 Линейное дифференциальное уравнение порядка 1г относительно одной функции и(х, 1) записывалось уже раньше в символической форме Е[и]==(Р" +Р + ... +Р)и+7'=О, (!) где ,гд д1 „д* „д* д» Р*=Р*( —, — )=а" — +а* + ... +а" — (1а) [дт дх) в дт" ' дГ» 'дх а дх" (к=О, 1, ..., й) — однородный многочлен степени х относительно производных д/дК д/дх с коэфф:шиентамл ар зависящими от х и 1.
Задача Коши с начальной линией с=О состоит в том, чтобы найти решение и уравнения (1), если на прямой 7=0 заданы значения и и его частных производных и,, ии, ..., и я,. Без суше. ственного ограничения общности мы предположим, что данные Коши равны нулю, так что функция и и ее производные до порядка»з — 1 включительно тождественно равны нулю при 1 =0.
Мы предположим, что в рассматризземой области г )~ 0 уравнение (1) гиперболично ') в том смысле, что в каждой точке сушествует и различных характеристических направлений (см. э 2) с различными характеристическими дифференциальными операторами 0; = д + т, (х, ») д (с = 1, 2, ..., lг), д д Как и в й 1, коэффициенты те= — рг/ср„' соответствуют семействам характеристик йс(т, х) = сопз1, которые удовлетворяют характеристическому уравнению Р (р,р) О. Мы предположим, что линии г =сопз1 не являются характеристиками, т. е. что »Р чь 0 и аэ Ф О. Разделив хаРактеРистическое УРавнение на аэ, мы можем заменить ае на 1, а характеристическое уравнение на уравнение Р (т, — 1)=0, ') Для постоянных коэффициентов более широкое определение гиперболичносги было дана Гордпнгом [2]; оно вклк чает некоторые уравнения с лействительными кратными характеристиками.
Некоторые из методов этого параграфа применимы и к таким уравнениям. Заметим, что столь общие определения позволяют получить эффективные критерии корректности постановки задачи Коши. [Определение гипераоличиости для общих нелинейных систем уравнений с любым числом независимых переменных впервые было дано И. Г. Петровским в работе [5]. — Прим. ред.] 476 Гд К Гиперболические уравнения с двумя переменными В этом параграфе мы укажем несколько методов решения задачи Коши для уравнения (1) в гиперболическом случае.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
