Р. Курант - Уравнения с частными производными (1120419), страница 95
Текст из файла (страница 95)
Эти результаты были независимо получены А. Лакс ]1]. В этой работе для уравнений с постоянными коэффициентами показано, что в случае кратных характерисгик условие А не только достаточно, ио и необходимо для гого, чтобы задача Коши была корректно поставлена. Для уравнений с и переченныяи и с постоянными коэффицнен. тами Гардинг 1'1] указал необходимое и достаточное условие, связанное с поведением корней полииоиа, соответствующего оператору.
д д. Задача Коша для одного аравнения воаиаего нарядна 481 где гт'„=~р ~а,"~р Вволя новые переменные ив=и, и,=б,и [1=1, г=о 2, ..., й — !), мы получим диагональную систему уравнений -1 и„=О,и,,+ ~~~ а', 'и,. [о=1, 2...,, й — 1), [10) г=а л-1 у=0 и,+ ~а,'-'ин 1=0 Как и раньше, условия Коши, заданные для функции и, индуцируют соответствующие начальные значения для функций иг В частности, они равны нулю, если ланные Коши для и нулевые. б) Непосредственно обобщая решение уравнения и„=- — аи„— — ди + Т, данное в 8 б, п. 1, мы получим другой вариант решения.
Мы привелем его краткое описание. Снова запишем лифференциальное уравнение С[и[=у в виде Е [и[ = Ми+ Ил,и = — г, или Ми = — гч'и — Т. Уравнение Ми = — Ио —,г вместе с начальными условиями определяет преобразование и =То. [1 1) Нам надо показать, что последовательные приближения оа = Тоо-' сходятся; в частности, мы покажем, что [[То — То" г[[( — [~ов — о где [[в[[ — некоторая подходящая норма. Удобно пользоваться нормой [[я[[= гпах [Мчи[, о<г<л с помощью повторного интегрирования вдоль характеристик и применения лемм Л и Б п.
2. Таким образом устанавливается, что преобразование Т сжимающее, и в достаточно узкой области, примыкающей к началыюй так как в достаточно узкой полоске 0 (1 (д для функции чи с начальными данными, равными нулю, легко получить оценку щах [г"ч'ю[ ( — шах [Мю[ 1 о<г<л 2 а<г<л 482 Гл. У. Гиперболические уравнения с двумя перел>енными кривой, итерации о~ равномерно сходятся к некоторой функции и, для которой и=Ти, т. е.
Ми+ !Уи = — у'. Нетрудно показать, что функция и не только имеет все нужные производные по направлениям, но также удовлетворяет начальным условиям и, таким образом, является решением нашей аадачи Коши. б. Замечания. Как и в случае гиперболических систем, полученные выше решения задачи Коши не только единственны, но и непрерывно завясят от начальных данных. Задача Коши „корректно поставлена" в смысле гл. !!1, 8 6. Этот факт лежит в основе построения нзших решеш>й.
Нарушение услович А может привести к тому, что решение задачи Коши не булет непрерывно зависеть от начальных данных. В гл. П!, 8 5, п. 3, стр. 220 было показано, что задача Коши для параболического уравнения ии — и =0 с начальными условиями при г = О поставлена некорректно, так как решение такой залачи Коши не булет непрерывно зависеть от начальных данных. Очевидно, что уравнение ии — и„ = О имеет вид (7), однако для него не выполнено условие А.
ф й. Разрывал решений. Ударные волны Явления, связанные с распространением волн, описываются решениями гиперболических уравнений с заданными начальными и граничными условиями. Если эти данные разрывны (как, например, в случае волны, возникающей под действием импульса), то решение также будет разрывным. Нашей целью является уточнение понятия „разрывного решения". Например, функция и =7" (х+!)+д(х — () является классическим решением волнового уравнения ии — и я=О, если функции Г и д дважды лифференцнруемы. Если же 7 и д не днфференцируемы, то их можно рассматривать как некоторое „решение в обобщенном смысле'.
Мы приведем теперь точную формулировку этих понятий. 1. Обобщенные решения. Слабые решения'). Г!усть, как и в 8 3, Г.]и]=0 — линейная система: Г.]и]==Аил+Ви,+Си =0 ') Несколько другой и более обстоятельный подход см. в гл, У!, 4 4, н в приложения. 483 8 9. Разрывьг решений.
Ударные волны относительно неизвестного вектора и', иг, ..., и". Мы определим оператор Е*, сопряженный к Е, с помощью выражения чЕ[и! — иЕ'[ч[, которое должно иметь вид дивергеиции, т. е. Е* Д = — (АЕ) — (ВЕ)г+ СЕ, Ц, [и! — иЕ" [Е! = (ЕАи) +(ЕВи)г, так что В области О, в которой рассматривается и, мы теперь введем „пробные функции" Е, тождественно равные нулю вне некоторой полобласти В области О г).
Интегрируя равенства (1) по Ргг, мы получим, в силу теоремы Гаусса, ~ (ГЛ [и! — иЕ' Д ) ах Ж = О. (2) Если Е[и)=0, то ~ иЕ" [Е! агх Н =О. (3) Обратно, если соотношение (3) выполняется для некоторой функции и, обладающей непоерывными производными, и лля всех допустимых пробных функций Е во всех подобдастях В области Сь то из равенства (2) следует, что ~ [г ьЕ [и! ь(х аг1 = О. (4) Отсюда, в силу основной леммы вариационного исчисления (см.
т. 1, гл. [ьг, й 3, п. 1), мы делаем вывод, что В[и[=0. Теперь мы дадим некоторое обобщение понятия решения, которос заключается н том, что вектор-функция и ее производные могут быть кусочно-непрерывными, т. е. они могут иметь разрывы первого рода вдоль кусочно-гладких кривых С. Такая функция и называется слабым решением уравнения Е[и)=0 в области б, если ~ иЕ" [О[ах аг1 =0 для всех допустимых пробных функций Е и всех подобластей Й области Оэ). ') Такие функции иногда называются фниитными или функциями с компактным носителем; область, где функция не равна нулю, называется ее ноеингелем. ') Конечно, можно обобщить это понятие, оставив только требование интегрируемостн и, но это не принесло бы нам большой пользы.
484 Гл. й'. Гиперболическое уравнения с двуеш переиенныни Прелполагая, что разрывное решение и уравнения Ци]=0 регулярно ао всех областях, ие содержащих С, мы покажем, что линие разрывов С обязательно должны быть характеристиками. Предположим, что кривая С разделяет область )с на две части й, и Вэ. Произведем в равенстве (2) интегрирование по частям отдельно в областях )с, и гс. Так как в каждой из этих областей Е[и]=0 и так как ч=О на границе области В, мы получим (обозначая через [и] скачок функции и на кривой С) ~ Г (А [ и] у + В [и] чо,) с(з = О. с Здесь вк и р, — направляющие косинусы нормали к кривой С, а с(в — элемент длины дуги на кривой С.
Но функция ч проиавольна на С, и, следовательно, в силу основной леммы вариационного исчисления, мы получаем, что (р,А+ у,В) [и] = О. В прелположении, что скачок [и] отличен от нуля, нз этого линейного однородного уравнения слелует, что матрица у А +~у,В особая, т, е. (см. З 2) что С вЂ” характеристическая кривая. В качестве примера читатель может легко проверить, что функция и = Г'(х + () + + д(х — ~) является слабым решением волнового уравнения даже и тогда, когда функции Г" и у разрывны. Аналогичное определение слабых решений можно дать для уравнений высших порядков.
Можно ввести и такие обобщенные решения и, которые обращаются в бесконечность вдоль характеристик. Возьмем, например, слабое решение и, определенное как производная и=о, функции о, которая может иметь скачки, и потребуем, чтобы равенство Г ~ е бг Е."[ч]с'х~Й=О выполнялось лля всех гладких пробных функций ч. Как и раньше, мы видим, что разрывы функции о возможны только на характеристиках и что скачок [о] удовлетворяет тому же соотношению, что и [и] в предыдущем случае, т.
е. что (Аук+Вуе)[о] =О. 2. Разрывы в квазилинейных системах, выражающих законы сохранения. Ударные волны. Аналогичная теория разрывных решений, имеющая большое значение в динамике сжимаемой жидкости, может быть построена для квазилинейных систем, если только они З 9. Разрывы решений. Ударные волна 485 являются дивергентными уравнениями, или „законами сохранения" '), т. е. 1[и)=р,(х, 1, и)+7„(х, 1, и)+п(х, С, и)=0, (6) где Р, г), и — дважды непрерывно дифференцируемые вектор-функции от аргументов х, г в области О и от и в некоторой заданной области Я). В частности, в таком виде могут быть представлены дифференциальные уравнения, возникающие в связи с принципом Гамильтона.
Чтобы определить слабые решения для систем законов сохранения, мы снова рассмотрим произвольные гладкие пробные функции ь в области )7~0, равные нулю вне гс. Умножим уравнение (6) на ь, проинтегрируем по гс и получим ~ ~ К [и! а'х И = О. Для гладких и теорема Гаусса дает 1 (Рь, + у1„— ль) ах Ж = О. (7) Обратно, если формула (7) справедлива для некоторой функции и, имеющей непрерывные первые производные, и для всех допустимых пробных функций Г„то, применяя еще раз теорему Гаусса, мы по- лучим / ьх. [и! агх Ю = О.
(8) ~г.(9,[р[+9.[д!) йэ =О, с ') См. замечание т7в конце этого пункта, которое показывает, что такие законы сохранения не определяются однозначно одним только дифференциальным уравнением, а нуждаются в дополнительном физическом обосновании. ') Линейные системы всегдэ можно записать в такои виде. Как и раньше, отсюда мы дедаем вывод, что А [и! =О.
Мы назовем функцию и елибылг решением, если она кусочно-непрерывна и имеет кусочно-непрерывные первые производные и если соотношение (7) выполняется для всех допустимых пробных функций ь и для всех подобластей )с области О. Мы снова получим соотношение на скачке для разрывного слабого решения и. Пусть С вЂ” линия'разрыва, разделяющая )с на две области. Применяя теорему Гаусса отдельно к каждой из этих областей и принимая во внимание, что ч=О вне гс и Е[и[=0 вне С, мы получим 488 Гя. 'и'.
Гипербаяачесяие уравнения с двумя переменными н, слеговательно, соотношение на разрыве вдоль линии С будет иметь внд (9) Здесь ап у снова обозначают направляющие косинусы нормали к С, а [р[, [ч[ — скачки функций р и д прн переходе через линию С. Между этим случаем и линейным имеется много существенных различиИ ').
(1) Соотношения для скачков и для наклона линии С не разделены, а вза ~мне связаны. Линии разрывов С', или,,ударные волны", уже не являются характеристиками. (И) В линейном случае разрывные решения могут быть получены как пределы гладких решений, поэтому слабые решения можно определить и таким образом. Но для нелинейных законов сохранения слабые решения уже не могут быть получены как пределы гладких решениИ. (П1) Условие (5) на скачке в линейном случае достаточно для того, чтобы определить единственное разрывное решение для заданных разрывных начальных (пли смешанных начальных и граничных) условий. В нел шейном случае условия (9) на разрыве должны быть дополнены, например, так называемым условием неубывания,энтропии", для того жобы они определяли единственное решение соответствующей задачи.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
