Р. Курант - Уравнения с частными производными (1120419), страница 96
Текст из файла (страница 96)
(17) Решения линейных уравнений разрывны только тогда, когда начальные данные разрывны. Наоборот, решения нелинейных уравнений, принимающие гладкие (даже аналитические) начальные значения, могут становиться разрывными с течением времени. (Ч) Различные системы законов сохранения могут быть эквивалентными как дифференциальные уравнения, т. е.
гладкие решения одной системы являются также гладкпмн решениями другой. Но разрывное решение одной системы не обязано быть (и, вообще говоря, не будет) решением другой системы. Поразительным примером является система, состоящая из законов сохранения массы, количества двюкения и энергии, с одной стороны, и нэ законов сохранения массы, количества движения и энтропии, с другой стороны. Разрывные решения в связи с изучением сжимаемой жкдкости рассматривалн Риман, Гюгонио, Рэнкин и другие. См. работы Р. Куранта и Фридрихса [1[, Олейник [4[ н Гельфанда [1[.
Общую теорию разрывов решений систел1 законов сохранения разработал П. Лакс [2[. ') Эти различия легко проследить на примере одного квззилннейного уравнения. См. приложение 2 к гл. И.— Прим, ред. э Е Дополнительные зи.нечинип 487 ПРИЛО )КЕНИЕ 7 К ГЛАВЕ ПРИМЕНЕНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК В КАЧЕСТВЕ КООРДИНАТ е) 1. Дополнательнгме замечания относительно обиуах неланейнгмх урав гений второго порядка Задача Коши для нелинейных дифференциальных уравнений с помощью некоторого общего метода была сведена к соответствующей задаче Коши для квазилинейных систем первого порядка. Для случая уравнений второго порядка интересен более прямой подход ') к этой задаче, состоящий в том, что вводится характеристическая система координат и, [1 и получается система уравнений для величин х, у, и, р, Ч, г, з, С рассматриваемых как функции этих характеристических параметров (см.
также 8 2, п. 3). 1. Квазилинейное дифференциальное уравнение. Сначала рас; смотрим квазилинейное уравнение С[и[= — аи +Ьи +си +а=О, (1) где а, Ь, с, с[ — заданные функции величин х, у, и, р= и, д= и, обладающие непрерывньв|и вторыми производными в рассматриваемой области пространства х. у, и, р, ь). Семейство кривых Р[х, у) = сопз[ является характеристическим [см. Я 1, п. 1 и 2), если абаз + ЬР е .+ сТт = 0; (2) мы требуем, чтобы выполнялось неравенство Ьт 4ас ь 0 т. е.
чтобы уравнение [1) было гиперболическим в рассматриваемой части пространства х, у, и, р, ь). Без ограничения общности мы можем предполагать, что а ныл, Ь ныл, т. е. что линии х=сопэ1, у = сопз1 не являются характеристнкальи. Как и в 8 2, п. 3, два семейства характеристических кривых для решения и (х, у) задаются уравнениями ьь = и(х, у) = сопз1 и Р = ~ (х, у) = сопэ1, и дифференцирование по направлению характеристической кривой С по параметру на. этой кривой будет обоаначаться точкой. Применяя сокращенные обозначения ') Подробности см, в работе Г.
Леви [7[ и в книге Адамара [2[. Данное Гансом Леви решение задачи Коши для нелинейного уравнения второго порядка было основным агапом в теории, когоран рассматривается в настоящей главе. Случай второго порядка выделяется в силу того, что два характеристических параметра можно цвести в качестве независимых переменных, Дриеюжекие ! к гл, 'г' 488 мы запишем теперь уравнение (1) и условия полосы на характеристике С в виде аг+Ьа +сЬ+а'=О, хе+уз — р=О, ха+ус — а =О.
(3) С одной стороны, величины г, а, ~ нельзя однозначно определить из уравнений (3), так как кривая С характеристическая; с другой сто- роны, уравнения (3) должны быть совместными, если мы хотим, чтобы решение и(х, у) существовало. Поэтому матрица не может иметь ранг, больший чем 2. Это позволяет снова получить характеристическое соотношение = аут — Ьху+ сх' = О (2') = г1ху+ аур+ схд = О.
(4) Так как Ьа — 4ас ~ О, а + О, с Ф О, мы можем записать условие (2') в виде а ~ —.) — Ь У +с==а (т' — У ) (та — ~ ) =О, где т'(х, у, и, р, д), тз(х, у, и, р, д) — две различные действительные функции, и два семейства характеристик определяются дифференциальными уравнениями е'х„— у. = О, тах — у =О. Чтобы величины а и р можно было взять в качестве координат, якобиан д(х, у) — — х,уа — хгу, = (-' — т') х„ха а Ь с х у О О х у а с с( х Π— р У вЂ” 4 а Ь с еХ х у Π— р О х у — д 5 д Дополнительные залгенаннл 459 должен быть отличен от нуля, т.
е. должно быть хе+ха чь О; это а можно предполагать без ограничения общности. Теперь мы можем написать систему шести дифференциальных уравнений для пяти величин х, у, и, р, г7: (а) т'х, — у„ =О, (б) гах — у =О, (в) г(чгх + ач'р„+ сг)„= О, (г) г(тах +ат'ра+сг) =О, (л) — рх — г)у + и =О, (е) — Рх — г)Уз+ и = О.
Первые два уравнения возникают из условия (2'), следующие — из условия (4), а последние два являются соотношениями полосы для й. Одно из этих уравнений лишнее, оно является слелствием остальных пяти'). Таким образом, мы получили систему пяти уравнений для пяти величин. Эти уравнения обраауют гиперболическую систему первого порядка относительно характеристических переменных а, 8, которая имеет вид, рассмотренный в 9 7. Рели для исходного уравнения начальные значения и, и„ заланы на некоторой кривой, которая нигде не имеет характеристических направлений, то на этой кривой они сразу.
определяют начальные данные для х, у, и, р, г) (они рассматриваются теперь как функции переменных а, 5). ') Лействятельно, чтобы получить уравнение (5, е) как следствие остальных уравнений, лгы продифференцнруем выражение В =- иг — Рхв — ггУ. по а, а уравнение (5, л) по 3.
Вычитая, получим В„= р,х, — р,ху -(- ттеу„— г)„уь Мы выразим у„, уа через х„хз с помогпью уравнений (5, а, б); затем вычи. слнм комбинацию последних двух членов с помощью уравнений (5, в, г). Это дает с 'г(о из характеристического соотношения (2') мы имеем тггг= —, следов' вательно, В„= О. Отсюда вытекает, что В = сояег на каждой кривой 5 = сопзг.
Так как предполагается, что в начальный момент данные задачи удовлетворяют нашей системе, то В= О всюду. Приложение 1 и гл. Существование и единственность решения уравнений (5) доказан и в й 7. Кроче того, решение х, у, и, р, и задачи Коши для уравнений (5), принимающее начальные значения, определенные через исходные данные Коши лля у'равнения (1), дает решение и(х, у) исходной задачи Коши для уравнения (1), что можно показать следующим образом. Прем<де всего, так как якобиан х,у — хзу, не обращается в нуль, х и у можно взять в качестве независимых переменных, и функции и, р, и будут непрерывно дифференцнруемы по х и у. Чтобы доказать равенства и =р, и =д, мы рассмотрим эквивау лентные им соотношения А=.и,— рх — ау„=О, В==и — рх — ~уу =О. Соотношение А=О удовлетворяется в силу ураннения (5, л); соот- ношение В=О.
как мы видели выше, есть следствие уравнений от (5, а) до (5, д) и того факта, что В = О на начальной кривой. Н, к:нец, мы должны проверить, что величины и, р, д, и = г, и = з, и = Г, полученные из системы (5), удовлетворяют уравлу= не нию (1). Действительно, ввиду того, что р„= гх, + зу„, д„= зх„+(у„, из системы (5) следует соотношение О = е1-'х„+ ат' (гх„+ гу„) + с (зх„+ (у„) = = т'х, ~е(+ аг+ с1+ з (ат'+ —,)~, Но так как т'х„~ О и так как из квадратного уравнения следует, что ат'+(с/т') =Ь, мы имеем О= аг+ ба+ с1+с(, что и требовалось доказать. Таким образом, задача Коши для квазнлинейного уравнения решена и неявно доказана единственность решения.
Предположении, при которых доказано существование решения. можно резюмировать следующим образом: начальная полоса нигде не имеет характеристического направления и всюду гладкая, на ней ваданы величины и, р, и, обладающие непрерывными производными; коэффициенты а, Ь, с, ~( имеют непрерывныс производные до второго порядка.
При этих условиях доказывается единственность н существование решения; область зависимости для точки Р ограничена двуми характеристиками, проходящими через Р, и заключенной между пимн дутой начальной кривой' ). ') Можно делать несколько более слабые предположения, как показано йуглисом 11] (см.
также Хартман и Винтнер 11]). й 2. Исключительный характер Еравтеттт Матжа — Я.иссера 491 Заметим также, что аналогично может быть поставлена и решена характеристическая задача Коши. 2. Общее нелинейное уравнение. Метол, примененный в предыдущем пункте, почти дословно применяется к ква:и1инейным системам с одинаковой главноИ частью, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
