Р. Курант - Уравнения с частными производными (1120419), страница 100

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 100)

Из начальных условий при 1=0 мы получим для искомых функций соотношения у(х)+ф( — х) =О, аш (х) + ф' ( — х) = О. Из первого соотношения с помощью дифференцирования получим а'(х) — ф'( — х) = О. (3') Здесь х находится в интервале ~1, а — х — в интервале л и Отсюда следует, что функции ф(Л) и ф(Л) постоянны для Л, принадлежащих этим интервалам; соответствующим образом подобрав произвольную аддитивную константу для функций у и — ф, мы можем считать. что эти функции равны нулю.

Из граничного условия для х = О следует, что для всех интервалов л'„ выполняется соотношение ф(1)+ф(1) =У(1) (4) Из условия отражения на другом конце следует, что ![гп [~г'(1+ х) — ф'(1 — х)[ = О. к.+1 (о) Предполагая, что функция ~у(1+1) — ф(1 — 1) всюду непрерывна, мы получим (6) ф(1+1) — ф(1 — 1) =О откуда следует рекуррентная формула а (1.+ 21) = ф (1), (7) справедливая для всех 1, принадлежащих интервалам л 1, ла, ....

Из соотношений (4) и (7) однозначно определяются функции ф и ф, а следовательно, и и(х, 1) для всех значений 1) О. Как легко проверить, решение можно явно записать в виде и(х, 1)=~(1 — х)+~ ( — 1)"[У(1 — х-2т1) — У(1+х — 2т1)[. (8) .=1 Правая часть здесь представляет собой бесконечную сумму, но в каждый момент времени 1 только конечное число ее слагаемых отлично от нуля. Мы можем считать.

что этот ряд описывает движение волны; Приложение г к гл. решение является суперпознцней волн, имеющих форму у'(Х) или 7" ( — )) н перемещающихся по струне — со(х(со в обоих направлениях. Надо отметить одно свойство этого решения. Предположим, что Г"(1) представляет собой импульс '), например, 7'(1) = 1 в малом интервале О ( 1 ( е и 7 (1) = О всюду вне этого интервала. Тогда в конечной точке х = 1 функция и при значениях времени 1 ( 1 ( 1+ е будет принимать значение 2 (см. рис. 36).

В приложениях к электротехнике, когда и обозначает напряжение, это значит, что з линии Рис. 36. Рис. 37. перслачи с бесконечным сопротивлением на конце приложенное напршксние может быть удвоено. Валачу (а) с закрепленным концом можно решить явно таким же простым способом: и (х, 1) = у (1 — х) + ~ (7 (1 — х — 2т1) — г (1+ х — 2т1)). (9) =1 Это решение также можно наглядно представить себе как суперпознцию волн одинзковой формы. Рис. 37 соответствует импульсу, для которого функция 7'(1) равна 1 на интервале О (1 (е и нулю вне этого интервала. На нашем рисунке полоса, рассматриваемая на плоскости х, 1, разделена на области, в которых функция и принимает значения +1, — 1 или нуль, ') Олово „импульс" мы будем применять для описания мгновенных явлений. В д Решение с помощью интегральных представлений 507 2.

Общая формулировка задачи. Изучая нестационарные задаю с более общей точки зрения, мы ограничимся случаем одного пространственного переменного х и временнбй коорлинаты 1; случай нескольких пространственных переменных можно изучить аналогичным образом. Мы будем рассматривать следующую задачу. Задача !. Пусть задано дифференциальное уравнение аин+ди,=Ци\=ри +)и +ги, (10) причем а, Ь, р, д, г — непрерывные функции одного только х на отрезке 0 ( х ( ! и удовлетворяют на этом отрезке следующим условиям; (а) р ) 0„ а)0 в гиперболическом случае, (Р) а=О, Ь) 0 в параболическом случае.

На отрезке 0 (хе. ! и для значений времени ! ) 0 отыскивается решение и(х, !) уравнения (10), удовлетворяющее начальным усло- виялг и(х, 0)=о(х), (11) и,(х, 0) = ' (х) (в гиперболическом случае) и араничным условиям и(0, г) = 7'(!), ри (1, !)+ Ли,(1, Е) = ои(Е, !). (12) 3. Интеграл Дюамеля. Для таких начальных значений, т.

е. для и(х, О)=и,(х, 0)=0 в гиперболическом случае, или и(х, 0)=0 в параболическом случае, общую задачу ! легко можно свести к задаче с функцией 7" (!) специального вида (см. гл. И1, й 4). Заметим, что, так как коэффициенты не зависят от 1, производные ин ии (если они существуют или могут быть соответствующим образом определены) являются решениями, соответствующими „силам" 7'(Ф), гн(!), ....

') Как мы видели з гл. Ш, й 8, общий случай формзльныи способом можно всегда свести к атому случаю. Здесь чь(х), ф(х) и л (!) — зааанные функции, а р, Л и а — заданные постоянные. В частности, мы рассмотрим самый важный случзй, когда ~=ф= О, т. е. когдз при !=О имеет место состояние покоя') (нестационарнзя задача в собственном смысле, см. гл. !И, э" 6, стр.

226). Приложение 2 к гл. У Введем решение У(х, г) с разрывным граничным условием ( 1 для 1)~0, ()(о, 1)=)'(в)=~ ~ 0 для г(0, удовлетворяющее некоторым граничным условиям при х=(, и(х, О)=О, и предположим, что любую ограниченную часть полосы 0.(х (Е 1) О, можно разделить на конечное число замкнутых подобластей, в которых решение У непрерывно вместе со своими производными до второго порядка'). Такую функцию (/ можно ввести либо как вторую производную по времени от решения Уг(х, г), соответствующего граничному условию для 1) О, У (1) 2 0 для г<0, либо непосредственно, обращаясь к понятию обобщенных функций, илн распределений (см. гл.

Ч1, 9 3 и приложение). Тогда справедлива Таогама Дюамеля, Если функция у'(1) и ее производная у'(С) кусочно-непрерывны для 1) О, то интеграл Дюамеля )=дг Х о (13) ') Этот факт может быть обоснован с помощью исследования распространения разрывов, приведенного з гл. Ч, й 9, и ниже, гл. Ч1, $ 4. яв,гяется решением задачи ! с граничными условиями (12).

Функция (г'(х, г) не должна быть всюду непрерывной, как будет показано на примерах. Действительно, мы должны ожидать, что функция (l будет разрывной, так как граничное условие (г'(О, Г)=1 вместе с начальным условием СУ(х, 0) = 0 означает, что в точке х = 0 в момент времени 1 = 0 возникает импульс, который мгновенно повышает значение У (О, 0) = О до значения 1. Отсюда становится интуитивно понятным смысл интеграла Дюамеля (13). Мы представляем себе, что действие „силы" у (г) (на левом конце отрезка) слагается из отдельных импульсов, возникающих в моменты тз —— О, т,, тг, ..., т„.

Каждый импульс заставляет значение и(0, т,,) скачком измениться на величину Г"(-.,) — у'(т, г). Если (У(х, 1)— определенное выше решение специального вида, то решение и(х, С), д 1. Решение с но.ноьньно ннгегральныг нредсгнннениа 309 соответствующее этим импульсам, может быть записано в виде и(х, 1)=~а У(х, 1 — -.,)[((т„,,) — у'(-.,))+У(х, 1)у(0) (т„„,=1). г=з н(х, 1)=и(х, 1)у(О)+~ (1(х, 1 — е)У'(т)и = о д =-,-„-~ и(х,1 — т)У()дт, о (13') что соответствует формуле (!3). Эти наводящие соображения легко можно заменить непосредственной проверкой, основанной на тождестве — ~ (1(х, 1 — т) у'(т) дт = У(х, 1) г" (0)+ д о +(1,(х, 1) 1" (0)+ (l (х, 1)1н(0)+ / (l,(х, 1 — г) 1'"'(т)дю о которое справедливо, так как (1,(х, О) = У,(х, О) =О, где сl,(х, 1) есть решение, соответствующее граничному условно для 1)~ О, '( О ": .О. д Это тождество показывает, что дифференциальное уравнение и граничные условия, заданные на конце х=1 для функций сг, У, и Уо, выполняются и для функции и(х, 1).

То, что и удовлетворяет начальным условиям, вытекает из следующего замечания: из дифференциального уравнения и из условий У,(х, О)= — 11,(х, О) =0 следует, что (У(х, 0)=(У,(х, О) =О. Наконец, так как (1(0, 1)=1, из формулы (13') получается, что и(0, 1)=1(0)+ ~ у'(т)де=у(Г). Слео довательно, первое из граничных условий (12) выполняется. Интегральную формулу Дюамеля (13) можно рассматривать как представление линейного оператора Т, который преобразует заданные граничные значения Г(1) в решение и(х, 1), т. е. формула (13) есть Если льы предположим, что функция 1 (1) непрерывно дифференцируема при 1,р О, но 1(0) может отличаться от нуля — это соответствует конечному скачку в момент 1 =0 — и если мы перейдем к пределу, устремляя интервалы времени к нулю, то мы получим решение Приложение 2 к гл.

с' представление оператора а = Т7". Однако интегральная формула Дюзгселя справедлива ие только для такого оператора Т, который рассматривался здесь и определял решение задачи для дифференциального уравнения, а для всех линейных операторов Т, удовлетворяющих следующим условиям '). а) Оператор т определен для всех функций 7 (г), равных нулю при 1 ( О, и преобразует 7(Г) в функцию ТТ (1), также равную нулю при Г (О, (Т7" (1) может, кроме Г, зависеть также от других переменных'): х, ...).

ч б) Т ~ У(1, т)йс= ~ ТТ(1, с)с1с; ч здесь т — параметр. в1 Если 7 (0) = '1 и если функция 7 (1) диффзренцируема, то ,', (Ту(г)) = Т "„,". г) Если Т7(7)= — ср(Г), то для всех; ) 0 ТТ'(à — с) = .о(1 — т). Чтобы доказать справедливость формулы (13), достаточно представить 7(г) в виде У(1)=,~, ) )И вЂ” т)У(т)йт о где 11 для 1>0, ~ 0 для 1(0. Из этого, в силу условий а), б), в) и г), следует, что ( ТУ(Г) = — „"~ Т А(à — ) 7(;)йе= — „",~и(1 —.)Т()йч, о о где Можно убедиться, что условия а), б), в) и г) полностью характеризуют класс линейных операторов, представимых в виде интеграла )(юамеля.

4. Метод суперпоэиции экспоненциальных решений, Рассматривая задачу Коши в гл. П1, Э 7, мы применяли метод, связанный ') Это замечание возникло как слелстзие замечания, сделанного в русском переводе первоначального немецкого издания. а) Зависимость функции ог этих переменных анно не указывается. 4 1. Решение с помощью интегральных представлений 511 с интегралом Фурье, т. е. с суперпозицией решений, представимых в виде экспоненциальных функций; этот метод после соответствующих изменений может быть применен и к решению смешанных задач.

Мы здесь снова ограничимся наводящими соображениями; они будут в й 3 дополнены теоремой существования. Рассмотрим специальную задачу с и(0, с)=1, и(х, 0)=и,(х, 0)=0 и будем искать функцию У(х, Г), введенную в предыдущем пункте. Сначала мы построим частные решения дифференциального уравнения (10) аин+Ьи,=Е(и! и = еттп(х, 1) (у = а -~- !!1). вида Для а получается обыкновенное дифференциальное уравнение Е [о) = (иу'+ Ьу) а, (14) будет, очевидно, удовлетворять заданному граничному условию (12) ри + ).и, = аи; то же самое справедливо относительно любой линейной комбинации таких решений с различными параметрами (, 'Теперь мы постараемся удовлетворить граничному условию и(0, Г) = 1 для Г ) 0 и началь.

ным условиям и(х, 0)=0, и,(х, 0)=0 с помощью супернозиции таких решений. С этой целью мы предположим, что функция и и ее производные являются аналитическими функциями комплексного параметра у =а+ +!р в полуплоскости а) О. Интегрируя по контуру Х., лежащему в правой полуплоскости комплексного переменного (, мы получим новые решения дифференциального уравнения (10), удовлетворяю!цие второму из граничных условий (12).

Характеристики

Список файлов книги