Р. Курант - Уравнения с частными производными (1120419), страница 101
Текст из файла (страница 101)
Эти решения имеют вид и(х, Г)= — е! ' ет'с1". 1 та(х,т) 2н! 3 с При х = 0 мы получаем и (О, Г) = —. ( — ' ет' с( 1, ! г а (О, т) 2тц ) куда ( входит как параметр. Если на конце х =! мы наложим на и граничное условие Рв =(а — Лс()о, (15) то функция и=а(х, у)ет' 512 Прсс.со. ° г к вь у выбрать путь интегрировзния с. и образом, чтобы для С р О, для с(0. и задача состоит в том, чтобы граничные значения о(0,;) таким и(0, с)=1 сс(0, !) = 0 Граничное услояие при х =0 будет выполнено, если иы положим о(О, Т)=! (15') и возьмем в качестве ь любую прямую, пзраллельную мнимой оси на плоскости Т и лежащую в правой полуплоскости а ) О.
При таком выборе с. мы получим интеграл ссз ! 1 е ет и (О, !) = —,—. ~" — с1; = см — — — (17) который в силу элементарных теорем сходится при всех з + О, 1 + О. Так как !~ с- с З е ес ' интеграл ~ — а! Т, взятый по и р я! с, и молинейному отрезку длины 1а — 1н параллельному действительной оси а, стремится к нулю при возрастании 1'Рс, то интеграл (17) не зависит от а. Это обычным интегральной теоремы Коши (см, рис.
38). устремим а к бесконечности, то сразу подла Гс. О. В случае с ) О, применяя инте- и вычисляя вычет при Т = О, мы получим Рнс, 38. способом получается из Следовательно, если мы лучим, что и(0, Г) =0 гральную теорему Коши уравнение я!с~ 1 е ет! а(О, ()=1+ —. 1 —,асТ. 2все,/ ! где и отрицательно, но в остальном произвольно.
Переходя к пределу при а -ь — ..:, мы получим, что и(0, С) = 1 для 1 ) О. Поэтому кажется правдоподобным, что выражение 2ес,! (18) является искомым решением уравнения (10). Между прочим, мы не можем всегда ожидать, что этот интеграл будет абсолютно сходиться, 513 Е 2. Операторный метод Хевиеайда так как для заданного х функция (г(х, (), вообще говоря, будет иметь разрывы по г. Эту трудность можно обойти при помощи следующего метода. г(ля достаточно больших а мы рассмотрим выражение соответствующее функции у(О= т"гл1 для т ) О, г'(т) =0 для т'(О. Это представление для У„(х, Г) хорошо сходится для больших а, и легко проверяется, что оно дает решение смешанной задачи.
Тогда функцию (l можно получить из 1/„с помощью дифференцирования по Г. Эти предварительные соображения, имеющие эвристический характер, будут снова рассмотрены и изучены с несколько иной точки зрения в 3 3. 2 2. Операторный метод Хевпсайда На практике символический метод Хевисайда имеет бол~шие преимущества по сравнению с методом, описанным в 3 1, п. 4.
Его можно строго обосновать на основе понятий, введенных в 3 1 и 3. Преимушество метода Хевисайда состоит в том, что формальное вычисление решения отделяется от математического содержания метода. Это разделение позволяет отложить обоснование формально полученного результата. Кроме того, реализацию символических операторов можно задавать в форме таблиц. Таким образом, во многих приложениях можно набежать трудностей, связанных с неформальным математическим содержанием метода, Основная идея этого формзльного исчисления состоит в рассмотрении линейного преобразования, которое заданной граничной функции Г(г) ставит в соответствие решение и(х, 1) дифференциального уравнения из 3 1, п. 3.
Мы снова ограничимся нестацлгонарной задачей в собственном смысле, когда при Г = 0 имеет место состояние покоя. 1. Простейшие операторы. Метод основан на введении операторов дифференцирования и интегрирования р и р ', которые являются обрзтными друг к другу; Мы рассматриваем функции времени г для т ) 0 (которые мы продолжаем для т а. 0 тождественным нулем) и вводим оператор интегрирования р ' при помощи формулы Р '1(г) =з (г)= ~ У(т) "т о 514 Лриложекие л к гл.
К Если мы обовначим оператор дифференцировзния через р, так что рй'(1) = У (1) = Я (2) то равенство РР =Р Р=1 будет лежать в основе построения исчисления с правилами, аналогичными алгебраическим. Чтобы было справедливо зто соотношение, т. е. операторы р н р ' были обратны друг другу, мы должны наложить очень сильное ограничение. Оператор р можно применять только к таким функциям д(1), для которых д(0) =О. Иначе мы имели бы Р-'Щ=г — „' йт=к(1) — и(О), г йе() о рр 'И= — „, 1й(т)й =й(1) и г о и, следовательно, Р 'Рз+РР 'К вЂ” произвольный полинам степени т, то мы можем очевидным образом определить рациональный интегральный оператор О(р ') и применить его к произвольной функции Г'.
Соответствуюцгий оператор О(р) определяется как линейный дифференциальный оператор порядка т, но его можно применять только к функциям у, равным нулю прн 1=0 вместе со своими производными до порядка т — 1. Если Р(),)=до+5,),+ ... +5„),' — другой полинам степени и и если О(0) =по -'- О, то 11(р 1) Р(Р ') О(р ') (4) называется дробно-рациональным регулярным оператором. Этот оператор й( ')У(1)=й(1) может быть определен различными способами. Однако, в отличие от оператора р, оператор р ' можно прильенять к произвольной непрерывной функции.
Если (Е'(Л) = ао+ а,),+ ... + аы), д 2. Операторный метод Хевисайда Во-первых, для заданной функции у, кусочно-непрерывной при 1) О, можно определить д как решение дифференциального уравнения аодшо + а,й1~-и+ ... + амд = отс" Л (5) где о = Р(р ') у. Это решение однозначно определяется тем, что оно должно удовлетворять начальным условиям ась(0)= р(0), аол'(0)+ а,я (0) = е'(0), ась" (0)+ атят (0)+ аоя' (0) = т" (0), (б) аод0м п(0)+ а,йоо-г~(0)+ ... + а„,,ст(0) сроа-п(0) Во-вторых, д можно определить, если мы разложим рациональную функцию (Л)д (Л) = Л (Л) в окрестности начала координат в степенной ряд по Л, тс (Л) = ~ а Л =о Легко видеть, что соответствующий ряд )с(р '))'= де а,р "1'(1) сходится для всех положительных значений с и совпадает с определенной выше функцией д(Е).
Если коэффициент ао равен нулю, то рациональный оператор называется нерегулярным и может быть представлен в виде р" й(р ') где оператор Й вЂ” регулярный. Чтобы можно было применить такой оператор к функции 1, мы должны предполагать, что У'(О)=У'(0)= ... =У"-п(0)=0. Ясно, что нал этими операторами можно производить рациональные операции в соответствии с правилами алгебры. Для этих операторов из данного в й 1 представления Дюамеля можно вывести следующее утверждение. Есла для „единичной функции" Хееисайда о)(1), определенной формулами (1 для 1)0, ( 0 для Ф(0, 516 Приложение г к гл. (г и для оператора Т выполняется соотношение' ) Тт) (1) = Н (Е), то мы имеем Т~(1) = — „, ~ Н(à — т) у(т) дт и о (7) (8) 2. Примеры операторов и приложения. В этом пункте мы рассмотрим несколько простых операторов и покажем, как их можно применить к решению дифференциальных уравнений.
1) Для оператора Т= 1+яр мзя имеем ТГ (1) = — ~ е-" П- 1 У' (т) г(т — о. (т) — ет 3 о Тт) = е-"С Здесь е является решением дифференциального уравнения д'+ел = Т', причем с (О) =у'(О). 2) Для оператора 1 1+аз -з мы имеем г Тт)=созз1, Ту=а(1)= — „) соз,(1 т) г(,)с(т з Здесь е есть решение дифференциального уравнения +''з =У с начальными условиями я(0) =):(0), х" (О = Т'(0). ') В литературе единичная функция ч(г) часто не выписывается явно.
Символ оператора Т тогда просто обозначает функцию Тж Между прочим, если злы захотим выразить тот факт, что некоторая функция у(т), определенная для Г > О, продолжается нулем для г < О, то иногда мы будем писать 5(г) ч(т) вместо Т(г). для произвольной функции /'(1). Чтобы расширить область применения операционного исчисления, очень важно определить не только рациональные, но и более общие функции от р таким образом, чтобы в этом расширенном мнозкестве операторов сохранились законы алгебры, принцип Дюамеля и некоторые другие законы, которые будут введены ниже. З 2.
Онерогорный лсгод Хевисойдо 517 с начальными условиями и(0) = и'(0)= ... = и<"-П(0)=0. При этих начальных условиях мы можем символически записать диф- ференциальное уравнение в виде Я(р)и=с (1) с((;Г(Л)=аоЛн'+ ... +а ); его решение имеет символическую форму и(й= — ~(г) 1 0 (р) (10) Если алгебраическое уравнение (;1(Л) = 0 имеет т различных корней и,, аю ..., аж -ь О, то мы можем получить решение очень изяшным способом с помощью простейших дробей. Из формулы ж 1 с, у с„ рф(,о) Р /е Р о„ н=! мы получаем и (1) =- 11 )' Я = с 1 (1) + ~~ 'р г'(1). н=1 В частном случае, когда )'(1) = е'~~чу(1) (рж ~ и ), мы можем.
не применяя интеграла 1(юамеля, получить реализацию нашего оператора с помощью следующего, еще более изящного метода. Запишем у'(1) в виде н получим и= — г, Р ~Ы где для краткости мы полагаем 7.!Р) =гР— (ы)(с' = ао(Р— иг) (Р— и~НР— йо). 3) Рассмотрим неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами асины + а,ига- и + ...
+ погс = у (с) (О) 518 Приложение 2 к гл. р Мы можеи записать дробно-рациональный оператор в виде а аор + ~~ Ф~р д (р) р — Ш йа р — а„ 1 причем коэффициенты разложения из простейшие дроби определяются формулами И,= 9(Ш) ' ' а,— ги (2'(а„) Вспоминая наш первый пример, мы теперь сразу получаем искомое решение Ш и=с) е'"'+ ~~'„~д„е" . (11) »=! Конечно, коэффициент Но нзиболее важен для приложений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
