Р. Курант - Уравнения с частными производными (1120419), страница 102
Текст из файла (страница 102)
4) В качестве другого примера рассмотрим „сингулярные операторы" рцч р-~ь; (12) их надо определить в соответствии с нашими правилами, указанными выше, если мы расширяем согласованным образом наш запас операторов. Теория дифференцирования и интегрирования дробного порядка подсказывает следующее определение: ! р-') т, = 2 ~/Цт;, р- чд у (Г) = (2/ )I я ) — „~ )l à — т у (т) е)т; о рн ) =1/~~'ч); р'ЬУ(1) =(1ф ') — ~'— г у~) ш,) .~~; —, П (13) Это же определение можно получить в результате следующих рассуждений. Соотношение р ай — — сг удовлетворяется для с = 1!л). Поэтому естественно положить р-'дн) =с )ГГ, где константа с должна быть определена соответствующим образом.
Если мы потребуем, чтобы был справедлив принцип Дюамеля и выполнялось соотношение Г'*р-"т и ') Как легко проверить, это определение действительно удовлетворяет требованию р-1ар-ц й — р-1п З 2, Отераторвый метод Хевиоойда то мы получим 1=ее — „Г ~11 — т ~/г т1т= 2с'1 / )т 1 — т 1ттт дт= со — ' Ш,~ 4 и, следовательно, 2 Таким образом, константа с оказывается такой яге, как и в формуле (13).
5) Очень важным примером оператора, который не является рациональным. служит экспоненчиильный оператор, который для любой постоянной й вводится при помощи формулы е-то У(Е) ((1 — Ь). (14) это определение подсказано рядами тейлора для е-ае и г" (1 — й), Однако такие правдоподобные соображения не могут служить достаточным обоснованием, тзк кзк определение не должно зависеть от аналитической природы функции у(1). Обоснованием для нашего определения является тот факт, что из него следуют соотношения е-оа е вил (1) = е-ьь.ио~ Р у (1) и — е-ь» у'(Г) = — ре-ов г'(1); -ь йл последнее соотношение зквивалентно уравнению д д — У (1 — й) = — — г (г — д).
ьга де 6) Теперь для )1 ч.. О мы рассмотрим оператор е-ь ке (15) который будет определен в п. 5. Здесь мы просто заметим, что, если наш оператор допускает дифференцирование по параметру )г, из равенства е-о~е~=д мы получим уравнение — = — ') редай,л— да Следует ожидать, что для значения параметра тг =О функция дд/д)ь будет определяться формулой да~ ~~ т р ьГГ,/гв (16) «=о о Приложение г к гл.
Это показывает, насколько прямым мгтодом является оперзторный метод. 7) В качестве последнего примера в этой связи мы рассмотрим так называемый принцип смещения Хевисайда. Если Т=Ф(р) — некотгорыд оператор, а я — настоянная, то оператор Ф(р+ й) определяется формулой' Ф (р+ 7г) е-ыФ (р) ет (17) Эту формулу можно непосргдстаенно проверить для всех регулярных рациональных операторов. Сначала по индукции от н к и+ 1 мы покажем, что принцип смещения справедлив для операторов 1/р". Тогда он будет справедлив для всех регулярных рациональных операторов, так как они могут быть выражены через ряды относительно 1!р, Затем мы сможем ввести принцип смещения для нерегулярных операторов в качестве постулата.
Например. мы определим 1г р+аа так: у' р + аз 7 (1) = е "' 1' р еги 7 (1) == — . — --- Г -- — ~=-:.- дт, (18) о и, з частности, .( + а (г) е и г' е о (19) Чтобы оправдать такое определение этих нерегулярных операторов, надо еще доказать, что оно согласуется с законами элементарной алгебры. Это будет сделано в п. 5.
3. Приложение к уравнению теплопроводности. Мы применим операторный метод к нескольким типичным примерзм. На полубесконечной оси рассмотрим уравнение теплопроводности (20) иг — и„, = О. Пусть заданы начальные и граничные условия и(х, О)=0, и (О, 1) = у' (У), и (со, 1) = О. Мы будем искать оператор Т =Т(х) (зависящий от х как от параметра), преобразующий заданную функцию 7" (1) в искомое решение и(х, 1).
521 э" 2 Операторный метод Хевисайда Запишем дифференциальное уравнение в виде (т.« — рт) т = о, (21) а граничные условия — в виде Т (0) = 1, Т (сс) = О. Предполагая, что наши функции равны нулю при отрицательных зна- чениях Е, мы уже учитываем начальное условие, записав ит = рт7. Рассматривая дифференциальное уравнение т,„— рт=о как уравнение, содержащее параметр р, мы немедленно получаем его решение ,-«1 р (22) Возникает вопрос, как можно истолковать это символическое выражение и какие функции задаются формулами е- Ра-т„ес « 'а У(1), На этот вопрос мы можем дать по крайней мере частичный ответ, который позволяет решать задачи, имеющие непосредственное значение для приложений: мы можем найти поток тепла при х=О, т, е. явно найти выражение для и,(0, Г), применяя к оператору Т обычные правила.
Применяя результат примера 6, п. 2, мы получим и,(0, Г) = Те(0) Т= — '1тру'= — — — — ~ —:-.' — т2т. 1 д Г У (т) 1.— йг 3 У~' Одно из главных преимуществ символического исчисления состоит в том, что мы имеем возможность получать частные результаты, такие, как этот, не находя полные выражения для операторов через известные функции. Аналогично мы можем рассмотреть более оби(ее уравнение л1еплоароводн ости и, — и „+ ааи = О на интервале 0 х ( со с теми же начальными и граничными услввиямз, что и раньше. Для оператора т(х), который дает решение и (х, г) = Т(х) г (1), справедливо символическое уравнение Т т« = (Р+ ат) Т.
(23) При граничных условиях Т(0) = — 1, Т(сс) =0 522 При.!оягекие 2 к гл. 1' оно имеет символическое решение Т = е —." ! е-«', (24) гае правая часть берется из примера 4. п. 2. В частном случае единичной функции г'=т) мы имеем а! Т 2е ае'т Н! 1, г (26) 4. Волновое уравнение. Решение простейших смешанных задач, рассмотренных в В 1, п. 1, тоже можно объяснить с помощью операционного исчисления. На отрезке 0 ( х (1 мы рассмотрим дифференциальное уравнение ин — и„= 0 (26) с начальными и грзннчными условиями и(х, 0) = и,(х, 0)=0, и (О, Г) = 7' (С), и (1, 1) = О. Положим и(х, г)= — Т(х)7.
Для оператора Т мы получим дифференциальное уравнение т„.— рзт=о с условиями т(о) =1, Т,(1).=0 (27) Мы получаем символическое выражение Т (х) —— с1! р(! — к) е "'«-)-е сн р! 1+е (26) илн, если выписать его разложение в ряд, Т! г! — е- Рк.! р ( !)'(е-е(кеа и е — рп !-к)] =-! На основании примеров, рассмотренных в и.
2, теперь очень легко истолковать этот результат. Нам еще труднее полностью истолковать этот оператор, чем оператор в предыдущем примере. Однако мы снова можем дать ответ на важную часть зада ш; мы находим для и (О, 1) выражение и, (О, Г) = Тк(0),г' = — угр+ и'7' = — — — — е! =-' с(т, е '' 4 г е"'~(-.) о 523 й 2, Операторный метод Аевисойда В соответствии с результатом, полученным з 5 1, п. 1, мы имеем и(х, г) =у(г — х)+ ~( — 1)" (у'(г — х — 2нУ) — ~(г+ х — 2т1)1.
(29) ! Другая рассмотренная там задача (задача (а) с закрепленным концом), конечно, также может быть решена аналогичным способом. Для соответствующего оператора мы получаем Т(х) = ви рг (30) или Т=в-ш+ ~',(е-р~ '+гн1 е-р б с- 11 ч 1 Позтому и(х, г) =1(г — х)+ лЫ(2 (à — х — 2н() — У (г+ х — 2н()). (31) =! Р (Р) т; = —. з1 е' Н,, 1 г г(1) 2пю' 3 А (32) Р(р)У = и ) Т(т)дт —, ~ — те' с(.(, о г 6. Обоснование операционного исчисления. Определение дальнейших операторов. Операционное исчисление можно строго обосновать. Сначала мы дадим общее определение наших операторов, а затем, на основании етого определения, мы проверим, что выполняются указанные правила вычислений, теорема о смещении и принцип Дюамеля. Мы проверим также, что зто определение согласуется с теми, которые были даны раньше.
Соображения, приведенные в 9 1, п. 4, оправдывают следующее определение. Пусть г'(1) — регулярная аналитическая функция переменного ) =а+ (р, определенная в полуплоскости а > ае. Пусть Ь— произвольная прямая, параллельнан мнимой оси, лежащая в полуплоскости а > ао; если же оо ( О, то А является контуром, изображенным на рис. 39. Тогда, в предположении. что интеграл (1/2кг) / (Р(у)Т()ет'д'( существует и не зависит от конкретного выбора контура Е для всех г>0, мы полагаем 524 Приложение 2 х гл, 1г Достаточным условием существования интеграла (32) является, например, наличие такой положительной функции Ф (р), для которой сходится интеграл О~ ~ ср(р) др и пРи всех Т =о+г~З с а)~по+3, о ) О, выполнлетсЯ неРавенство )+))< е) Тогда во втором интеграое в формулах (32) мы можем произвести интегрирование по т под знаком интеграла; следовательно, если мы положим 'О (Т г) = [ У (х) е ' сИ, о то получим Р(р) у= —,,'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
