Р. Курант - Уравнения с частными производными (1120419), страница 103
Текст из файла (страница 103)
— „', [' — "'"))(Т, ~),дд~. с Справедливость законов операционного исчисления для операторов, определенных таким образом, обеспечивается теоремои умножения (33) (р) (Р) (Р) или, другими словами, тем, что резулыиат последовательного применения двух операторов Р и О может быть также получен с помоигью прилгенения операгпора, соотеетспгеуюгцего произеедению двух функций РО. Достаточно доказать эту теорему для едпнкчной функции ч~(1). Для доказательства мы введем следующие дополнительные предположения относительно функций Р и О '): в любой полуплоскостн а) ко+о сУществУет положительнаЯ фУнкциЯ Т(Р), длЯ котоРой интеграл ~ федр сходится, такая, что всюду а этой полуплоскости о [Р[<б([3[), [О[<ф(~Р[).
Тогда интегралы Ж ~ — др и ~ — 'г(р ') На самом деле эти ограничения слишком сильны для многих важных случаев. Теорему можно доказать при гораздо более слабых ограничениях. См., например, Коппеяфеаьс [1[. 525 а 2. Операторньсй метод Хевисаада также существуют — первый в силу неравенства Шварца Поэтому интегралы (32), соответствующие функциям г', 6, г'6, абсолютно сходятся.
Если мы положим У (Г) = 6 (р) т) = —, )г, в!! с(ь 1 6(ь) 0(у,()=~ )'(т)е-! сИ= — д! —.. с(ь, 1 г 6(Ь) е" "1! — 1 2я13 а ь — 1 ь с то мы получим Р6.4= —, —, е1 — О(т, 1)е' ду. д г Р(1) с В силу наших предположений легко видеть, что дифференцирование под знаком интеграла всегда дает интеграл, равномерно сходящийся Рис. 40. Рис.
39. в области 1, (1((а при Г! ) О. Поэтому мы имеем = — — дт ~' 1 г Р(1) г 6(Ь) ее!! — тет! (2е!)т 3 .! .) Ь ь — г Л. с с Здесь в качестве Ь' выбрана прямая, лежащая правое Ь и параллельная Ь (рис. 40). 526 Приложение 2 к гл. У Из оценки ! Г (');.
- ' Г '(')1, о(в — т) - а — а,/ ь с следует, что второе слагаемое внутреннего интеграла в прзвой части становится сколь угодно малым при возрастании и'1 это означает, что соответствующий интеграл равен нулю. Следовательно, Г6; = у' — ~7т ~' — ем,т). 1 г Р(т) е 6(З) = (2кс)г 3 т 3 а-т с Из наших предпололсений следует, что мы но>кем переменить порядок интегрирования') в лвойном интеграле. Мы получим Таким образом, осталось только доказать соотношение г (т) е (к) с Но оно является следствием интегральной теоремы Коши.
Обоснование глеорелсы о смещении также немедленно полу- чается из представления в виде комплексного интеграла. Если гч(р)— заданный оператор и, следовательно, ~(р)'1= 2 ) — е сгт, 1 г Р(т) 2кге т с то мы имеем Р(р+д);= —. !' 1 г Г(1+д)еи е ги г р'(т) 2кг,! 2.и' ./ т — А с с ~) Пусть Л, — конечный отрезок прямой С между точками с ордииатами — Т и Т (рис. 40); тогда мы имеем Г6Ч 11ш 2 . ~ 6 (З) е из ) — З вЂ” и'Г. с,.+с (2кг)' г т(з — т) с' с1 Это утверждение непосредственно следует из оценки ! с-с, г и из скодимости интеграла ~ фа не.
О б 2. Операторный метод Хеваеайда Это выражение означает, что Р(р+ !е) т) = е-ыР(р) Так как Р т =-еыт(, то получается, что Р— Л Р(р+ Й) т!= е ыГ (р) еа'и). 1 1 етс е где п — положительная постоянная. Контур интегрирования можно деформировать в произвольную кривую, окружаюпгую начало координат; следовзтельно, 1 Г е" 2п! „~~ '!+а ! ~ ет~ Еп НТ= — е "' —.
—... (. „)л.~ — -'и! й ! Ра Р Р+ 2) 3) (Р+ )а"' 1 Г ет' ! 1 Г ет УР= 2тй )т ! )Г! 2тл е А 4) Если мы заменим переменную т на й = '1/ т, то получим, что ~ ---.= е(Т= — ~ е'И. й ы Путь интегрирования 1' на плоскости и является (см. 2 3, п. 3) правой ветвью произвольной равностороннеи гиперболы и эквивалентен чнимои оси. Таким образом, мы имеем ') )(ля краткости мы будем писать Р(р) вместо Р(Р) Ч. Легко установить также эквивалентность определений, которыми мы пользовались в ранее рассмотренных примерах, и данного здесь интегрального определения. !Ч1ы имеем') 528 Приложение 2 к г.г.
Интеграл можно вычислить: 1 г ег 1 — ~ —,— г(7 = 2ег '! 1 (1 — 5) с и, следователыю 5 р — (1 5) (е( 1) ~Од (<~, у с р 1 ( егг гг' рг+аг 2х! .! тг ! аг г А 6) 7) Если мы деформируем 7. в кривую, окружающую точки +(а, то мы получим р 1 (", гг 1 1' 1 1 ) з!па! р'+ а' 2«г' Д' 2!а 1, 1 — га "!+ га / 1 а 8) В качестве примера дальнейших операторов мы рассмотрим — е е — «гг гг У ре— 2.г )'1 с (34) Интеграл в правой части легко вычислить; мы имеем 1 ' е «г» г е-' г'н —. 2«г,1 следующим образом: Г'гг — = )гхр е -х ~'Р— ~/ ( .
мы получим представление е-«г'Р !/ р е-х Тзким образом, е-х" — чг е «"и=в ф' гж 9) Формула — хгггг г' .г )'г(т — г) р ! Г ег' — — г(7 = хе (аг) 'г р'+аг 2гм ггт~+иг А (36) ")Гре-«г Р= = е "' !кг (36) Для оператора е-''е, вместо того, чтобы непосредственно вычислять интеграл 529 ф 2, Операторный метод Хевисайда приводит к интересному применению теоремы умножения. Если мы разложим оператор рфр'+ ао) в произведение р 1 р ~а+а о )срз+ т)ср'+а' то принцип Дюамеля дает , + й — — ) зо (а (à — т) ) Уо (ат) (т.
С другой стороны, в соответствии с примером 7, мы имеем р миаг рт+ а' а Таким образом. мы получаем следующую интлеаральную тнеорему для функций Бесселя: уо(а (т т) ) оо(ат) с'т = а1о ас о (37) 1О) 14акоиец, мы рассмотрим (см. т. 1, гл, П1, ф 1О, п. 9, стр. 140) интегральное уравнение Абеля )'(() = ) ' с(т (О а. а ( 1), (т — и)" (38) т. е. операторное уравнение р 7 = Г (1 — а) р о, Его решение есть 1 Р(1 — о) ' или 1 й у(т) (39) 1'(т) ]'(1 о) йс ~ (Г )1-а о что совпалает с результатом, полученным в т. 1, стр. 140, Тогда, в силу того, что Г(а)Г(1 — а)=я!з(пни, мь1 получаем отсюда решение (40) о Приложение г к гл. У 9 3.
Оби(ая теория кестациокаркых задач В предыдущем параграфе даны приложения операторного метода, но нет полного его обоснования. Вызывает сомнение, стоит ли формулировать те общие теоремы, опираясь на которые можно дедуктивным путем обосновать этот метод. Привлекательность метода состоит в том, что он легко и естественно применяется к задачам совершенно различных типов. Сведение всех этих возможностей в одну исчерпывающую теорему привело бы в лучшем случае к крайне неудобной формулировке. Здесь мы не будем предпринимать такую попытку, но мы сделаем шаг в этом направлении, продолжая идеи Э 1, п.
4. 51ы не только покажем, как этот метод может быть обоснован, по и сформулируем теорему, которая позволяет обосновать довольно сложные примеры. Основой здесь будет служить преобразование Лапласа, которое часто применялось для этой цели, в частности в работах Двтша (1), 12). 1. Преобразование Лапласа. Преобразование Лапласа непосредственно получается, если в двух теоремах об интегральных формулах Меллина (см. т.
1, стр. 95, 96) мы заменим переменную х на е-', а функцию к(х) на б(е-г)=а(х). Однако мы независимо докажем формулу обращения преобразования Лапласа (с помощью интеграла Фурье) при несколько более широких предположениях. Таогамл 1. Пусть ~1(з) — функция комплексного переменного в=а+!с, регулярнал и аналитическая в полосе а ( а( Р. Пусть в любой более узкой полосе и+ а (а я р — а (а .ь Π— произвольное фиксированное число) задана положительная функция Ф(р), такая, что ) Ф(р)йр существует и всюду в полосе о справедливо неравенство И(з)1(Ф(1 !) (1) Тогда для действительных х и фиксированного а существует интеграл Ьгьь ф(х) = —,.
~ а(з) е"'йз ! (2) и в полосе и ( а ( р выполннется уравнение СО ~у(з)= ~ ф(х) е ль йх. б 3. Общая теория нестоиионорнь»» задо» Таогимл 2. Если ф(х) — кусочно-гладкая функмия действительного переменного х и если интеграл ~ ф(х)е-'"дх абсолютно сходипься при а < о < р, то из равенства (3) следует формула обращения (2). Следствии. Если р= со и, следовательно, функция ф(з) регулярна на всей полуплоскости о) и, и если функция ф(з) удовлетворяет сформулированным выше дополнительным условиям "), то мы имеем ф(х) =О для х < О.
Таким образом, в этом случае справедливы форльулы »» ф(х)= ~ с»(э)е»»дв, а-го» (4) ф(в) = ~ ф(х) е ' бх. о Сначала мы докажем теорему 2. Пусть О (х) = — ) ф(в)е»ь де= — ~ ф(о+(т)ег»» бт 1 г, е" — 2Ы 2о Подстзвив вместо ф(о+ гт) выражение ф= ~ ф(с)е-'ыьг»>б$, мы получим е»» Р фг(х)= — )' дт ~ ф(() е ме гб-»1" Ж. 2я Так как функция ф(х) е-"' кусочно-гладкая н ) ! ф (х)( е-"' дх сходится при любом фиксированном о в интервале и < о < р, из теоремы об интеграле Фурье (см. т. 1, стр.
72) следует, что интеграл » ~ дт ~ фД)е-»1е-с(а-»1»б1 ') Мы имеем в виду условие, что для всех о > а+ Ь существует соответствующая функция 1'(;). 532 Приложение 2 к гл. при возрастании Т стремится к ф(х) е-'; следовательно. функция фг (х), кзк мы и утверждали, стремится к ф(х). Чтобы доказать теорему 1, мы составим интеграл «« ф(х)= —, ~ а(а+го)ен««(т, который прп наших предположениях абсолютно сходится на интервале о(а(1о.
Теперь мы покажем, что этот интеграл не зависит от о. Рассмотрим интеграл е= ~ р(о+(Т)е«э+'г'да «, по отрезку прямой, параллельной действительной оси; длина этого отрезка фиксирована и равна аа — а, ь О, и он целиком содержится в полосе а+ о ( о ( р — ь. Применяя интегральную теорему Коши, мы видим, что функция ф(х) действительно не зависит от а, если только l стремится к нулю, Рис, яь когда ! Т'1 пробегает соответствующую не- ограниченно возрастающую последовательность значений ~Т,(, (Та,', ... (рис, 41). А интеграл й стремится к нулю в силу оценки 1,/1 ( е'«~ '1 ) )ср(а+(Т)(г(а ( е1«1'«Ф(( Т1)(а — а); э так как интеграл ~ Ф(р)«(р существует, то должна существовать о такая последовательность Тн Тм ..
„для которой Ф ( ~ Т 1) стремится к нулю. Из уравнения СО ф(х)е '= — ГТ(а — (т)е ««г(т 2к е следует, что функция ф(х)е- ' есть преобразование Фурье функции ~р(а — (т), кусочно-гладкой относительно ".. Поэтому, если интеграл (~(о — 1«) ~Ж сходится, то, в силу теоремы об обращении инте- э Д Г>б>чая теория нгстачнонарнн>я задан грала Фурье, мы получим >р(а — Гт)= ~(>(х)е-яи-"т!х, СО СО р(э)= / ф(х)е-">г!х, что и утверждается в теореме 1.
Чтобы доказать следствие, заметим, что в указанных там предположениях для всех а)~а+6 и для всех х справедлива оценка ) ф (х) ! < е"' — ) Ф (р) др. , ! о Если х отрицательно, то правая часть становится сколь угодно малой при больших и и, следовательно, р (х) — = О для х ( О, что и утверждалось. 2. Решение нестационарных задач с помощью преобразования Лапласа. Теперь мы можем получить решение нестационарной задачи 1 из й 1 в более общей форме, чем раньше (см. й 1. п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
