Р. Курант - Уравнения с частными производными (1120419), страница 105
Текст из файла (страница 105)
Следовательно, эта функция янляется решением уравнения (16). Мы снова рассмотрим частные случаи '): и„(/, /) = О, а (/с) = — 1, сс (/, /) = О, а (/г) = 1. (21) Как и раньше, разложим функцию о в ряд т'о(х, т) = ~ е'е ' "'"" — ~ е"е"' '"" ;=с .=1 (22) ') Другой важный случай соответствует т =О; ои, однако, возникает только ири с=о, е О и а=р. В этом случае не существует,отраженных" воли, и подставим этот ряд в формулу (20). Так как легко убедиться, что допустимо почленное интегрирование, мы получаем ряд вида из(х, /)=В(х, /)+ ~а а" 15(2т/+х, /) — В(2~/ — х, /)1, (23) =) где 5(х, Г) определяется с помощью интеграла 5(х, /)= —. ~ ехр( — х р та+ге+т/~ — т.
(24) с Для и = 0 мы немедленно получаем т З 3, Общая теория нггтачионарннт !ада ! 341 Таким образом, имеем 3' 5(х, т)=5(à — х)=- 3 (26) 0 для г < х, и, наконец, ттз(х Г)=5(! — х) + ), е (5(у — х — 2И) — 5(Г+ х — 2н1)], (26) в соответствии с результатами, приведенными в й 1, п. 1 для частного случая г! т (') 3! ' г) О' Только конечное число членов ряда (26) отлично от тождественного нуля, н каждый из этих членов имеет непрерывные производные до второго порядка и кусо!но-непрерызные производные третьего порядка.
Следовательно, для функц и! (I прп г =0 мы сразу получаем с помощью лпфференцирования формулу У(х, 1) = т!(1 — х) + ~~ з'!'н(! — х — 2н!) — н)(г+ х -1-2н!)), =! тле ~ 1 лля 1>0. '4(1) = ! 0 для 1<0. Чтобы вычислить интеграл (24) з случае г ныл, мы введем вместо у переменную интегрирования !1 =: + !т, связанную с т соотношением т = гг соз у. Отсюда следует, что 1 г з!и т 5 (х, т) = — 2, ~ е х р ((г ((х з! п у + ! сов у)) — —, с(о. (27) Здесь Е' — образ прямой А на плоскости о, т.
е. Е' — это кривая Ке(!г сов !у) = сопз1 ) ао, г з1п а (! з'и т — х с1! т), (28) в области 0 < а < я, т) 0 стремится к — со при т — ь=о. Таким образом, контур й' может быть сл<ат в двойную прямую, проходящую в этой ооласти (см ркс. 43), и, следовзтсльио, 5 (х, г) =-= 0 (! < х). (29) изображенная на рис.
42. Если Г < х, то действительная часть показателя 1г (1х 3!из + Г сов !!н), т. е. выражение Прю!ожелне 2 к гл. Если Г ) х, то выражение (23) стремится к — со при -.— >со в области — к < а < О, т > О, и 7. можно перевести в кривую 7.", идущую по краю всей полосы — н с.. а ч. к (рис. 44). Так как подинтегральная функция в формуле (27) периодическая, мы получаем м 5(х, Г)=-,—, ( ехр((г(!хз!ир+Г созе) —; — г(о, (30) 1 5!и т -к где точки т = "— исключаются с помощью малых полукругов, открытых снизу, о я О и Рис.
43. Рис. 42. Рвс. 44. Достаточно вычислить функцию 7" (х, Г)=., ~ ехр(!г(!хв!пр+1созо)] —,, (31) 1 ит так как 8= — У, Четвертая производная функции (31) по Г равна к — — = — з! ехр (1г((ха!и Р+1созР)) г)Р= у~(г р !т — хт). д'у(х, Г) 1 г при 1=х функция 7(х, 1) обращается в нуль вместе с производными по 1 вплоть до третьего порядка. Действительно, если мы в формуле (31) положим Г = х и введем новую переменную интегрирования я=а!в, то мы получим г'(х, х) = —. вьх» с(я !чг' 'а' (1+«')' где в качестве пути интегрирования взята единичная окружность на плоскости г, а точки х= '- ! надо исключить.
слегка деформируя контур. Мы сразу получаем, что у(х, х)=0; аналогично мы уста- а 3, Обвцая теория неетацианарныл задач навливаем, что нри 1= х равны нулю производные у. Таким образом, мы получаем у(х, г)= —, "(г т)зу (т)т-„з хз)т(,, 1 г я и, следовательно, в качестве окончательного результата имеем Я(х, в)= (32) для Ге..х.
В частном случае, когда г = О, мы опять получаем нреткний результат ( (г — х)' для г) х, ~(х 1) 31 О для бе. х. В случае г + О в соответствии с формулой (32) ряд (23) имеет только конечное число членов, отличных от тождественного нуля, нричем каждый из этих членов имеет непрерывные производные вплоть до второго порядка н кусочно-непрерывные третьи производные, Следовательно, с помощью дифференцирования мы можем лолучнть для функции У = дзУзгд1з, возникающей нод действием имнульса, выражение У(х. ~) =8(х, 1)+ ~ е" 15(2~1+х, () — 8(2~1 — х, 1)), (23'1 .=1 где — — й (г рета — хт)втч для Г ) х, д е дх3 а (24') О для г ( х.
о'(х, 1) = Эта функция является решением задачи (16) с граничным условием У(О, () =1. Большое количество других важных примеров содержится в цитированноя литературе. Глава Уг ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРОВ|!ЕНИЯ СО МНОГИМИ НЕЗАВИСИМЪ|МИ ПЕРЕМЕННЫМИ Введен!ге Теория гиперболических диффсре>шпальных уравнений математической физики в случае, когда число независимых и ременных больше двух, представляет сооой столь широкую о >ласть, что се невозможно полностью изложить в этой книге, да ке сс.ти в основном ограничиться линейныии задачами. В этой главе мы будем рассматривать этя проблемы с точки зрения распространения волн.
Основную роль в исследовании задачи Коши и задачи об излучении будут играть характсристическис поверхности и бихарактеристические лучи (вдоль которых распространя>отса возмушеш:я). В случае многих независимых переменных уже нельзя построить рс>пение с помощью простых итерационных методов, как в гл. и'.
Тем не менее мы сможем описать общую структуру решений и дать их подробный анализ в некоторых важных частных случаях. Прежде вссго мы рассмотрим задачу Коши для одного уравнения произвольного порядка и для систем уравнений с несколькими неизвестными функциями. В довольно элементарных первых двух параграфах мы обратим особое внимание на случай одного уравнения второго порядка, а в следующих за ними параграфах — на силл>ешуические гиперболические системы первого порядка. Исследование этих систем несколько проще, чем изучение общих уравнений или систем высших порядков.
Замечательно, что почти все уравнения математи ~еской физики возникают в виде симметрических гивсрболических систем первого порядка. Здссь нам придется повторить в несколько измененной форме некоторые ревультаты, изложенные в гл. ПЕ Первая часть этой главы посвящена вопросам единственности, существования, построения решений и их гсометрическим свойствам; вторая часть в основном относится к представлению решений через данные задачи и связанным с этим вопросам, Построение, данное в псрвой части, доказывает основной результат — наличие конечной области зависимости от данных !<оши (что мы уже видели в гл.
Ч для случая двух независимых переменных). В противоположность этому данное во второй части представление решений через „плоские волны" нс доказывает непосредственно того, что область зависимости конечна. э" I. Уравнения второго яарядка Надо всегла иметь в виду, что, как правило, наши утверждения и результаты справедливы только,.в малом"; однако в тех случаях, когда это возможно, мы будем распространять наша результаты на более шнрокис области, естественные лля рассматриваемых задач.
Мы будем уделять основное внимание линейным задача.и, но достаточно подробно будем описывать обобщения и на квазилннсйные системы. Наконец, мы напомним (гл, !!1, б 4, см, также Ь 1О, п. 1 и !2, п. 5), что в случае линейных гиперболических задач решение неоднородной задачи выражается через решение однородной залачи с помощью представления Дюамеля.
Поэтому мы иожем в основном ограничиться исследованием задачи Коши для однородного уравнения. Мы будем рассматривать и + 1 независимых переменных хо, х,, ..., х„ н обозначать нх совоку.пность через вектор х. Однако часто мы будем выделять переменную хо, считая ее временем С и записывать совокупность нсзавнсимых переменных как г, х. Для удобства мы будем пользоваться обычными сокращенными записями вида агйг = ~ а,дг ;=о Часть ! ЕДИНСТВЕННОСТЬ, ПОСТРОЕНИЕ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ В 1. ДибдЯеренв)иильные уравнения внгорого порядка.
Геометрия характеристик 1. Квазнлннейные дифференциальные уравнения второго порядка. Рассмотрим квазилинейное дифференциальное уравнение второго порядка ь(гг!+д= ~ а,„а,„+й= О, (!) ь я=о Злесь использованы сокращенные обозначения и, = дигдх, и и,„ = = дэи/дх, дх . Свободный член д и коэффициенты аы — — а; — заданные функции независимых переменных х, хн ..., х„, функции и н производных и, '). Как всегда, мы предполагаем, что встре- ') В этой глаяе индексы у функций, к которым применяются дифференциальные операторы (например, и, т., ф., и ), будут обозначать соотяетст- 3 г г ! вующие частные производные, тогда как у коэффициентов (например, а;я, аь с,) оин являются индексами в обычном смысле.
546 Гя. 1>Л Гиперболические уравнения со многими яеременнмл>и чающиеся нам функции непрерывны в рассматриваемой области, если специально не оговорено противное. Как уже было указано в гл. 1 и !И, понятие характеристик возникает нз попытки дополнить начальные данные на поверхности С, заданной уравнением «(хо, ..., х„)=0, до решения >равнения (1) '). Начальные данные на поверхности С состоят иэ значений функции и (определяющих внутренние производные и) и аначений одной „выводящей" производной, например и = ~г и>о>, Тогда на С >-ч определяются все первые производные функции и а), Задача Коши состоит в том, чтобы найти решения уравнения (1) в некоторой окрестности поверхности С, но исследование дифференциального уравнения на самой поверхности С подскааываст постановку гораздо более простой задачи: дополнить начальные данные до и>стегральной полоса, т.
е, найти функции и, ир иын которые на С удовлетворяют уравнению (1); см. гл. 1И, Э 2. Именно эта простая задача непосредственно приводит к понятию характеристик з). Вместо хо, ..., х„ мы введем новые независимые переменные Ло, ..., Л,, причем Лв = сс, а Ло... „ Л„ , являются „внутренними переменными" иа поверхности С; таким образом, залачу можно более точно сформулировать следующим образом: на поверхности С заданы функции и(Ло..." > -1) и (Ло ° ' Л ->)' (1') построить такую функцию и(хо...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
