Р. Курант - Уравнения с частными производными (1120419), страница 108

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 108)

(14) ') Аналогично этому, дифференцирование по трпнсверспли инвариантно относительно произвольных преобразований незавпсилгых переменных (см. п. 4), тан как для произвольных функций т билинейная форма п дт!де= 'т а;»т»уь связанная с квадратичной формой ~), инвариантна. н»=о 557 б 1, Уравнения второго нарядна Обрзтно, если величины х,удовлетворяютуравненщо(14), товектор х, имеет бихарактеристнческое направление. По определению, конус лучей является огибающей всех характеристических элементов поверхности, проходящих через точку Р.

Двойственный конус нормалей является огибающей плоскостей, ортогональных к лучам, образующим первый конус н проходящим через Р, Двойственность двух этих конусов второго порядка может быть описана следующим образом. Мы определим коллинеацию, или преобразование двойственности, которое каждому лучу, проходящему через точку Р, ставит в соответствие его полярную плоскость (т. е. ортогональную плоскость) относительно мнимого конуса н ~~',;.'г = О (двойстпвенное преобразование ')).

Тогда каждый из этих г=о ' конусов является огибающей полярных плоскостей лучей другого конуса. Например, для дифференциального уравнения иа — и, — и,„—...— и,,=О 1 ! 2 2 но оба конуса совпадут, если мы отождествим пространства '; н х. С другой стороны, для уравнения иа — и„,, — 2гт„», = О уравнением конуса нормалей будет (т+ 2»т сг г о а уравнением конуса лучей — уравнение хт+ хт 12 1 2 2 Если коэффициенты агв дифференциального уравнения не постоянны, то положение в основном остается без изменений. Мы только должны в каждой точке рассматривать конус нормалей н локальный конус лучей.

Для постоянных или непостоянных коэффициентов ионоид лучей определяется как поверхность, составленная из всех лучей, проходящих через точку Р и касающихся в точке Р локального конуса лучей (см. гл. Д). Этот коканд является характеристической поверхностью или фронтом волны, для которого точка Р является „центром возмущения"; он называется сферическим фронтом волны с центром в точке Р (см. п.

7). В Я 3 мы рассмотрим соотношение между этими конусами в гораздо более общем виде. Здесь мы только заметим, что две части конуса лучей, исходящего из точки Р в момент 1, часто различаются как конус лучей, направленный вперед в сторону возрастающих ') Часто такое преобразование называют полярным преобразованием относительно данной поверхности второго порядка. — 7)ром, ред, 588 Гж РЕ Гиперболические гвавненил со »!ноги.!ги нелгненнени зчачений времени, „в будущее", и конус лучей, направленный назад, „в прошлое". 7. Связь с римановой метрикой. Слелаем несколько замечании, которые будут использованы в дальнейшем. В (и+1)-мерном прсстранстве Я„„! введем метрику с элементом длины ди! — ~ЧР~ Ас» с(х! дх» , »=о (15) Тогда лучи, порождающие коноил, в силу характеристического уравнения, булут лучами нулево11 длины, т.

е, крпвымш вдоль которых дв = О, нлп кривыми, вдоль которых расстояние между двумя точками равно нулю. Обратно, все кривые нулевои длины в этои метрике явля!отея характеристическими лучами для дифференциального уравнения Е [и) =О. Эти факты легко проверить, если снова выделить переменную Г = хе в качестве временной координаты и рассмотреть дифференциальное уравнение частного вида л ин — хи а,»и,. =О, ;,»=! (16) где матрица (а!») предполагается положительно определенной и считается, что коэффициенты а!» не зависят от времени Е Тогда характеристики ф(хг, х„..., х„) — !=О удовлетворяют дифференпиальи ному уравнению ~ а!»ф!![!» = 1. г, »=! Совокупность всех лучей, проходящих через фиксированную точку пространства х, Лает соответствующий характеристический коканд.

Мы можем представить его в виде »г(х, х,, ..., х„; хв, х", ..., х„г!1=»!(х; хи) =С ж! м, А!»хгх» = ~~'„а! ыгы =1. н»=1 г,» =1 (1У) В и-мерном пространстве х мы снова введем метрику с элементом длины и ар»= ~г Ад,с(хсс(х»', (18) с,» ! гле хв — вершина коноида лучей — имеет координаты х',. Сферические фронты волны получа!отся из этого коноида при и! = Е Если через (А! ) снова обозначена матрица, обратная (а! ), то вдоль лучей 559 а д уравнения второго порядка тогда т' дает длину вдоль этих лучей и поверхность лт = 1 в этой метрике является сферой радиуса 1 с центром в точке ха, если расстояние измеряется по этим лучам.

(Сравнение с гл. 11, 6 9, показывает, что эти лучи являются геодезическими кривыми для вариационной задачи, соответствующей интегралу л 1Ут ~~~~ А;ях,хяИ.) П ял! Квадрат геодезического расстояния Р от точки х, 1 до точки- параметра Ь т удовлетворяет дифференциальному уравнению ~~Л~ А;яр,р„ = 4Р, как было показано ранее для волнового уравнения. Направление г(х, называется направлением временнбго типа, если л г(ог = тггз — г(р' = сг1' — ~~Р~ А, » г(х; т1х, ) О, па=1 а элемент поверхности о(хо, хн ..., хл) =0 называется элементом лроегпранственного отипа, в соответствии с определением, данным в п. 1, если л — с~ аглая > 0 (см. конец п.

2). Таким образом, в частности, ось времени г(х;=0 соответствует направлению временнбго типа, а поверхность о= — 1=0 является поверхностью пространственного типа. Общие понятия „временпбго" и „пространственного" типа будут рассмотрены в э 3. Пример волнового уравнения ип — Ьи =0 г(о' = г(Р— ~~р~ Нхг, 1'=1 8. Двойственные преобразования. 14мея в виду 9 3, мы добавим еще одно замечание о двойственном преобразовании независимо от применения к дифференциальным уравнениям второго порядка. Как было определено в п. 6, двойственное преобразование в пучке прямых, проходящих через фиксированную точку, есть линейное дает иллюстрацию наших общих длины равны л т(о'= ~ сгхг н т=! понятий.

Соответствующие элементы 560 Гл. )гб Гиперболинеение уравнения ео многими переменными преобразование, которое каждому лучу, заданному вектором Е ставит в соответствие плоскость (19) (х =0 с текущими координатамч х, т. е. плоскость, ортогональную лучу Е г1 обратно, симметричное соотношение (19) позволяет поставить з соответствле каждой плоскости, проходящей через точку Р, направление, ортогональное этой плоскости. С помощью этого линейного преобразования лучей в плоскости можно получить преобразование конуса И, порожденного лучами Е в конус Я, порожденный плоскостями (19).

Если луч с описывает коническую поверхность (20) И (йо !1 . " ! и) = И 6) = 0 где И обозначает однородную функцию степени а, то с помощью формулы (19) поставим в соответствие конусу И коническую поверхность Я, порожденную плоскостями, двойственными по отношению к лучзм, составляющим конус И. Говоря точнее, мы можем считать, что конус Ь' является огибающей этих плоскостей. Такое двойственное преобразование конуса второго порядка снова дает конус второго порядка, ио для конусов И высших порядков й это преобразование приводит, вообще говоря, к поверхностям порядка отличного от й. Так как соотношение (20) симметрично, мы можем утверждать следующее. Плоскости, опорные для одного конуса.

являются полярнымн плоскостями для образующих двойственного конуса, а именно, и полярными плоскостями относительно мнимого конуса ~," =О, г=о причем начало координат Р является его вершиной, Мы можем также в»делить координату хо и рассматривать в л-мерном пространстве Е поверхность И', по которой конус И пересекается с „плоскостью" $ = — !. Аналогично мы можем рассматривать поверхность Я' в и-мерном пространстве (мн ..., мв), которая является пересечением Я с плоскостью х,=1. Тогда соотношение двойственности между поверхностями И и 5, или И* и 5*, выражается формулой п х: =,~~ х,е,.= 1; (20а) ~=1 это означает что при фиксированном х точка 1 находится на плоскости, полярной для х относительно единичной сферы '), и наоборот.

') Если бы мы определили Аг* как пересечение Ф с плоскостью $, = 1, то плоскость была бы полярной относительно сферы мнимого радиуса г, что, впрочем, не составляет существенной разницы. Э й 'егравнения егорово порядка Чтобы аналитически выпол~ппь преобразование заданной поверхности №(:,н ..., З„)=0 в 5*, мы должны были бы построить огибающую плоскостей в пространстве х, удовлетворяющих соотношению (20а), нормали к которым подчиняюгся ограничению №(~) = О. Этот процесс не только приводит к алгебраическому выражению для 5", порядок которого, вообще говоря, выше порядка )ь поверхности И'), по, как чы покажем на примерах в Ь) 3 и За, построение огибающих может также привести к образован~по особенностей, таких, как изолированные точки или ребра возврата.

Однако геометрическое определение преобразования позволяет обойти эти осложнения: мы рассматриваем не то,чько касательные плоскости. но и вообще опорные плоскости в некоторой точке, т. е. такие плоскости, проходящие через точку Р поверхности, что вся поверхность лежит по одну сторону плоскости (по крайней мере в окрестности точки Р). Тогда двойственное преобразование ставит в соответствие точкам поверхности № геометрическое место Ю* полюсов опорных плоскостей к №, и обратно, ставит в соответствие точкам поверхности 5* геометрическое место № полюсов опорных плоскостей к 5'. Те части поверхности №, которые имеют гладкую кривизну, конечно, отображаются в части регулярной огибающей плоскостей, полярных к этим точкам. Появления особенностей, таких, как острие огибзющей, следует ожидать в точках, соответствующих тем точкам №, где кривизна обращается в нуль е).

Если часть поверхности № имеет особую точку, в которой имеется цель:й пучок опорных плоскостей, то соответствующие полюсы образуют часть некоторого линейного многообразия в пространстве х, граница которого касается огибающей. Осложнения, которые получаются из-за возникновения особенностей, по-видимому, исключают возможность простого геометрического описания. Это объясняется тем, что наши знания об алгебраических поверхностях в действительном пространстве недостаточны.

Однако при преобразовании замкнутой выпуклой поверхности № (№ может быть частью поверхности МЯ) положение становится ясным и уже не осложняется наличием особенностей. В этом случае мы легко можем показать, что поверхность Я', двойственная по отногиению к вьспуклой поверхности №, тан ксе выпукла; она является выпуклой оболошгой' множества точек, полученного с помощью построения обычной огибающей к полярным плоскостям №. ') Однако существуют важные с точки зрения математической физики случаи, когда обе эти поверхности имеют одинаковый пооядок; см„например, в 5 За уравнения лристаллооптики. е) Примеры будут рассматриваться в ф 3 и За.

582 Гл. 1Ч. Гиперболические уравнения са многими переменными Действительно, пусть соотношение ~ хгчг — 1 .( О определяет .положительную" сторону плоскости (хч) — 1 = О, полярной к точке (, Предположим, что точка "; = О лежит внутри поверхности №, и определим двойственное преобразование для замкнутой внутренности № поверхности № как пересечение (т. е. совокупность общих точек) всех полупрострапств (х$) — 1 ( О, соответствующих точкам $ из Й'.

Характеристики

Список файлов книги