Р. Курант - Уравнения с частными производными (1120419), страница 107
Текст из файла (страница 107)
552 Гл. УЕ Гиперболические уравнения сп многими пгремгннымп в случае, когда коэффсшиенты а,л в уравнении (1) не зависят от и и ип ..., и„, т. е. в случае линейного или почти линейного ') уравнения (!). Лля квазилинейного уравнения (1) мы рассмотрим фиксированное решение и и подставим в коэффициенты а,„ соответствующие значения и(х) и и,.(х); тогда лучи опрелеляются системой 1 х.= — с',с.. В любом случае можно дополнить бихарактеристические 2 -с' лучи, вводя „бихарактеристические полосы" х,(в), р,(в), где р, = еа и определить величины, задающие эту полосу, как решения канонической системы (см, гл. Н, й 8) х;= —,—, р;= — — — (1=0, 1, ..., и) 1 дЯ 1 дс) 2 дх; (8') Тогда система (8') дает все возмохсные харасстеристпчвсссив полосы для решения и.
Надо напомнить, что на каждом решении этих обыкновенных дифференпиальных уравнений (8') Я=сопя(=с, "!тобы вьшелить те из них, которые на самом деле соответствуют уравнению (1), мы должны наложить дополнительное условие, что ьг=О в одной из точек каждого луча, откуда уже следует, что с',!= 0 на всем луче г). Интегральные кривые системы (8'), удовлетворяющие условию () = О, являются характеристическими лучами али бахарактвристиками заданного дифференциального уравнения второго порядсса (1); они порождают все поверхности характеристического семейства р = сопя!. Можно также напомнить результат из гл, 11. Если двв различные характеристические поверхности ф = г и у = г касаются в момент !=0, то в лсобой последующий молсент они имесот общую точку касания, перемещающуюся по лучу, общему для зтих двух фронтов волны.
Зто утверждение эквивалентно теореме ') В этом случае требуется, чтобы только старшие члены были линейными. э) Несколько более общим образом иы можем поставить в соответствие любому (необязательно характеристическому) семейству поверхностей сг = соим семейство „трансверсальных" кривых, определяемых систелюй (8).
Тогда плоскости, касательные к этии поверхностям, и соответствующие трансверсальные направления будут сопряженными относительно поверхности л второго порядка л' аслсссл =О. с,л=о Поверхность сг = сонэ! булат характеристической тогда и только тогда, когда в каждой точке трансверсальное направление касается поверхности. Тогда дифференцирование по трансиерсали является внутренним дифференцированием. Лействительссо, характеристическое уравнение можно сразу записать в виде ~Ч~" хрйс =О. с=о з б Уравнения второго порядка о том, что две интегральные поверхности дифференциального уравнения с частными производными первого порядка (здесь характеристического уравнения), имеющие общий элемент поверхности, имеют также общую характеристическую полосу. Если коэффициенты а!» дифференциального уравнения (1) постоянны, то есе «ариктеристические лучи являются пряжы.яи.
Это непосредственно видно из уравнений (8'). Это ясно также из того, что полные интегралы о уравнения (4) можно получить в виде семейства линейных функций; образуя огибающие однопараметрическнх подсемейств, мы получаем прямые в качестве линий касания. Простейший припер дает волновое уравнение ии — и,,†...— и««=0, ! о я где мы положили ха=б Характеристическое уравнение имеет вид а лучи — прямые пространства х, Г вида х; = а,+ з!1, где ~ и. = 1. !=! Если рассматривать бихарактеристикн не в (и+1)-мерном пространстве х, !. а в и-мерном пространстве х и считать, что они зависят от временнбго параметра Г, то они будут произвольными прямыми, по которым точка х перемещается с единичной скоростью. Характеристические поверхности, заданные в виде 1 = ф (хн х,, ..., х„), удовлетворяю ! дифференциальному уравнению п ч! !з ! ! Г=! Таким образом, характеристические поверхности для волнового уравнения определюогся семейством параллельных поверхностей ф = 1 (см.
гл. П, Ч 6), полученных из исхолной поверхности движением по нормали с единичной скоростью. Лучи будут соответствующими ортогональными траекториями. 4. Характеристика как фронт волны. Характеристические поверхности играют роль „фронта волны", т. е.
на этих поверхностях решения уравнения (1) могут претерпевать разрывы, например разрывы вторых производных. На таких разрывах значения вторых производных различны с разных сторон поверхности. Так как на свободных поверхностях вторые производные однозначно определяются данными Коши, то такая неоднозначность возможна только на характеристиках. Такой „фронт волны", например, возникает на границе, за которой в момент времени 1 нет возмущения. Решение, описывающее 554 Гл. П.
Гшгерволикеские уравнения со многими переменными возмущение, тон<дественно обращается в нуль по одну сторону этой поверхности и не равно нулю по другую ее сторону. Мы во многих случаях будем возврагцаться к важному понятию фронта волны (см., в частности, э 2). Здесь достаточно заметить следующее, Предположим, что уравнение (!) линейное, и снова пусть х„=г и Т=2(хг, хг, ..., х„) — 1.
Мы будем понимать Г как время, а и — как функцию в и-мерном пространстве Й„переменных х, зависящую от времени как от параметра. Тогда мы имеем дело с решением уравнения (1) и(хн хг, ..., х„, 1), которое обладает поверхностью разрыва ф(хг, х,, ..., хп)=1, зависящей от времени 1 и перемещающейся в пространстве х. Предположим для удобства, что дифференциальное урзвнение имеет вид (б'). Тогда вдоль лучей сгг/с(з= 1. Таким образом, введенный выше параметр э на кривых совпадает с временем 1 и уравнения лучей имеют вид иихг йг мм' — = — Ъ.а, фь (г'=1, 2, ..., и).
В п-мерном пространстве й„эти лучи пересекают фронт волны ф = й и мы имеем п и л.г ф,х; = ~ агьТДь = 1. г=г г,ь=г Вектор с компонентами х; в пространстве Я, называется лучом, трансверсальным и фронту волны ф =1. Если предположить, что нвадратная матрица (агь) порядка гг полоиогтельно определенна, то уравнение (б') будет гиперболическим. В этом случае направления луча и «асательной я госности к фронту волны будут сопряженными относительно эллиисоида ~~Р~ агьЦь =1. г,ь= г Кроме вектора скорости в направлении лучи с компонентами хп = по можно рассматривать вектор нормальной скорости или вектор волновой скорости фронта бегун(ей волны; эта скорость получается, если следить за движением точки поверхности ф=с по ортогональным траекториям семейства ф = 1 = сопи(.
Компоненты этой скоРоСти т1, пРопоРциональны ПРоизводным (гг и опРеделаютса З !. Уравнения второго лорлдна формулами (исай фр Скорость по направлению нормали н скорость по направлению луча связаны уравнениями л от=~ атдт>д(втаб>]>)г (1=-1, 2, ..., п). (10) д=> Более подробное изложение см. в Э 3. 5. Инвариантность характеристик. Очень важны некоторые простые свойства инвариантности. 11усть преобразование Е,=;"„(хе, хи ..., хл) (я=О, 1, ..., и) переводит функцию и(х) в в([); мы можем написать (см.
(7)), что Е[и] = — 7>[и]+стг = ~ а, „в„,+ ~ р в +свжЛ[в]=Л'[в]+св. в =еи "' и=о Тогда мы имеем не только Ь [и] = Л [в], но и Е' [и] = Л' [в]. Мы утверждаем, что характеристики инвариантны относительно произвольных преобразований независимых переменных.
Это очевидным образом следует из самого понятия характеристического уравнения. Чтобы доказать это с помо>цью формальных выкладок, мы положим т,. = д,';/дхг и сразу получим, что л агд = ~~З~ аз>спад>. ТепеРь, если т,г=о в(хе, х>... х,) =Ф([0, [>... 2„), то в силу равенства -, = ): ф -. „мы имеем тождество =о 'я ' л л к> атдт7>фд = л, агд>]>,ф>д, т, д=о г, д=о которое показывает, что характеристическая форма инвариантна. Иногда можно воспользоваться этой инвариантностью для того, чтобы перевести характеристическую поверхность в плоскость хл=О. Заметим, юпо плосность хл=О являепгся характеристаческой поверхностью тогда и толысо тогда, когда алл(хе, хи ..., хл и 0)=0. (1 1) Необходимое и достаточное условие для того, чтобы уравнение хл= сопя( давало семейство характеристических лавер.ч- 556 Гл.
1'А Гиперболические Вравненип со многими переменнылеи ногтей, состоит в том, что коэффициент а„„!х,, х,, ..., х„) тозкдественно обращается в нуль. Аналогично устанавливается, что инвариантны бихарактернстические 1 лучи; это значит, что бихарактеристические направления с,, = †, ф, 2 1 и х„= — (,гт определяют одни и тот же вектор, т, е. что они связаны соотношением с, = ~ х„-.„. =о Ясно, что это уравнение немедленно следует нз предыдущих формул'). 6.
Конус лучей, конус нормалей, коноид лучей. Напразления лучей, проходящих через точку Р, образуют „локальный конус лучей' (это конус второго порядка), нлн конус Монжа в смысле гл. П, 4 3, для характеристического дифференциального уравнения (4). Само уравнение (4) является условием, наложенным на направляющие коэффициенты (г=ог, но не для лучей, а для нормалей к харакгеристическим элементам поверхности. Рассмотрим эти нормали как векторы Е исходящие из начала координат в пространстве с прямоугольными координатами чо, ..., (п (мы можем его представлять себе в той же координатной системе, что и хо, хн ..., х,). Концы этих векторов лежат на „конусе нормалей", или на „двойственном' и конусе,~, ае»(гс» = О.
,»=о Направления лучей задаются уравнениями (12) х, = а!»с», где ч» удовлетворяют соотношению (')(Ь 5)=0 (13) Если матрица А㻠— обратная для матрицы аг, то в силу (12) 1» = А»гхи Подставив эти выражения в формулу (13), мы легко получим для коэффициентов, определяющих направление лучей, уравнение А, хгх» =О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
