Р. Курант - Уравнения с частными производными (1120419), страница 111
Текст из файла (страница 111)
С помощью выражения Ч'(а)Я~ — т) мы теперь составим интеграл по топ половине характеристического конуса, для которой т ) 1 ) О, Так как Б(н)=0, и после интегрирования по а мы получаем 4я-.'н(Р) — ~ / идчг — т ~ ~ — с(ы= О, (1 0) ') Этот метод был обобщен М. Рнссом (2) на все нечетные значения и, где интегрирование производится по поверхности сферы хт+ ут+ + аз= та. Это решение было уже найдено в гл. Ш, Ч 5.
Таким же способом для неоднородного волнового уравнения можно получить решение, данное в гл. Ш, 0 5. Данный здесь метод, по существу принадлежащий Бельтра.иа, опирается на тот факт, что с помощью внутренних дифференцирований мы можем особенно просто записать дифференциальное уравнение на характеристическом конусе '). С помощью интегрирования только по поверхности конуса можно явно найти значение решения и в вершине через начальные данные на границе основания конуса. Этот метод вскрывает „гюйгенсовский характер" волнового уравнения. Нельзя построить совершенно аналогичную теорию для произвольных линейных дифференциальных уравнений второго порядка и получить решения с помощью интегрирования по лучам, лежащим В 3.
Характеристики длл операторов век~пик порядков 57! на характеристическом кононде, так как из такой теории следовала бы справедливость принципа Гюйгенса в общем случае, что, конечно, не имеет места. Интересной задачей является получение условий, достаточных для того, чтобы был справедлив принцип Гюйгенса; для этого можно применить методы, близкие к методам этого параграфа'). ф 3.
Геометрии характеристик для операторов высших порядков Для уравнений высших порядков и для систем уравнений необходимо существенно обобщить теории, изложенные в й 1 и 2 (см. также гл. 1Д и Ч); это обобщение будет сделано в настоящем параграфе. 1. Обозначения. Мы будем пользоваться следующими обозначениями а). Дифференцирование по х„снова будет обозначаться через 0„или 0": 0 =0 = —.
(к=О, ..., и). д дх„ Вместо ха, ..., х„мы иногда будем писать х; однако, если переменная хв —— г выделяется и рассматривается как время, то мы будем через х обозначать и-мерный вектор х,, ..., хи. Оператор градиента будет обозначаться через 0: 0=(0в, ..., 0;). Пусть р=(рв, ..., р„) — произвольный вектор с и+1 неотрицательными целыми компонентами. Пусть 1=([в, ..., 1,) — произволь»в»и ный (и+ 1)-мерный вектор. Тогда мы положим Компоненты вектора 1 могут быть числами или операторами; в частности, для с=0 символ О» обозначает дифференциальный оператор 0" 0»в 0»п ') См. Асгейрссон [Ц, Штелльмахер [1[ и Луглис [2[.
См. также, например, 8 18. ') Между прочим, одно из преимуществ этих обозначений (предложенных Лораном Шварцем) состоит з том, что они позволяют кратко записать правило Лейбница и теорему Тейлора. Если иы положим р[=рдре[" рд то мы будем иметь Р»(ио) = т — РеиР и всх р! кйи' а а[ т! с+с=» б72 Сь РД гиперболические рраееееея ео иеогшш перглееныии Порядок дифференциадьного оператора ВР обозначается через [р[~ !р[=ро+ +р ° Коэффициенты а", так же как и правая часть у, могут быть постоянными. или функциями независимых переменных х, или зависеть от х, и и от производных функции и до порялка т — 1.
Большинство уравнений математической физики имеет внд систем гг уравнений с й неизвестными функциями ин ..., ие, которые мы будем рассматривать как компоненты одеюго вектора-столбца и; уравнение тогда можно записать в матричноИ форме В [и[ = ~ч'... ЛРВРи = У. (1) 1р' йи Здесь дифференциальный оператор ВР дейсгвует на каждую компоненту вектор-функции и, коэффициенты ЛР являются квадратными матрицами порялка Й, а у — вектор с гг компонентами. Так же, как и раньше, коэффициенты АР могут быть постоянными или же зависеть от х; для квазилинсйных уравнений они зависят от функции и я от ее частных производных до порядка т — 1, Члены наивысшего порядка составляют главную часть оператора: ЛРВР. ~и~=и Имея в виду некоторые конкретные случаи, мы обратим особое внимание на три класса уравнений.
Случай а: системы первого порядка у. [и[= ~~ Л'0,.и+Ви =у'. !=о Случай б: одно уравнение порядка т В [и[ = ~~ аРВРи = у'. (! б) ~р~ ее и Общий случай (!) систем уравнений порядка т мы будем называть случаем в. Особенно важны для приложении системы второго порядка, ко- торые могут быть записаны в более развернутой форме е е В[и]= ~и ЛЫВ,.Вги+ ~~ АгВ;и+Ви=у, г, г=-о е:о где В, А', Л' — квадратные матрицы порядка /г и А" = — Лг'.
(1а) В этих обозначениях дифференциальный оператор порядка т можно записать в таком виде: У. [и[= ~~ аРВРи =. У', р ~ ж ег д 3. Харатгериепеки дяя операторов вьшшпх порядков 573 2. Характеристические поверхности, формы и матрицы. Задача Коши состоит в том, чтобы нанти решение уравнения А (и) = г", если на некоторой поверхности ') С заданы „данные Коши". Для уравнения или системы уравнений порядка т этими данными являются значения и и ее частных производных до порядка т — 1 включительно по какой-нибудь переменной, выводящей нз поверхности. (Мы предполагаем.
что все уравнения системы имеют один и тот же порядок т.) В частности, для систем первого порядка (случай а) данные Коша состоят из значений самих функций и. По данным Коши мы можем с помощью внутреннего (таигенциальног !) дифференцирования определить все частные производные и до порядка т — 1, а также значения тех производных порядка т и выше, которые получаются дальнейшим внутренним дифференцированием. Дифференциальный оператор, значения которого на поверхности С определяются таким образом через данные Коши, называется внутренним дифференциальным оператором порядки т (см.
гл, !П, $ 2). В этом ' пункте мы не будем пытаться строить решения дифференциального уравнения (1), а займемся следующим предварительны.и вопросом, касающимся только начальной поверхности С. Для каких поверхностей С существуют функции и, сооэветствующие произвольным данным Кошн и удовлетворшощие на С уравнению Л(а)=У2 Если такую функцию и всегда можно найти, то поверхность С называется гвободной для оператора Г.; если никакая часть поверхности не является свободной, то она называется характеристической поверхностью оператора Е, Решить вопрос о том, является ли поверхность С характеристической '), можно с помощью следующего алгебраического критерия, вырам<енного через коэффициенты оператора Г и нормаль ! к поверхности С: 2(х) = О.
Мы определим однородную „характеристическу!о форму" Г;~(!с, (н ..., (и) порядка пй относительно компонент вектора;= 0я, нормального к поверхности С, такую, что равенство (2) является необходимым и достаточным условием для того, чтобы поверхность С была характеристической з). Для одного уравнения (1б) ') Пол поверхностью мы подразумеваем гладя ю и-мерную гнперповерхпость -(х):=- О с ! Гэт ' чь О, ') См. также гл. У н гл, !!1, В 2.
Г!рнведснное здесь рассуждение огчастн повторяет прежние. ') Конечно, это условие можно применять просто к элсмеепу поверхности С, если мы хотим подчеркнугь его локальный характер. 574 Гл. И. Гиперболические уравнения го многими ггерелгенными порядка т характеристическая форма Я задается формулой (,г (г) = ~~.', арсе'1 )р~= и для системы (1в) Я является определителем д(1)=( ~ Л".
1~. (4) 1 , 'р~=гн В особенно важном случае системы уравнений первого порядка (1а) мы имеем Г;)(', " (л) =.'~ Х Л'Цг,'~. (б) Для систем второго порядка Я =,~~ Х А'~(г17~~ Для систем уравнений произвольного порядка т характеристическая форма является определителем характеристической матрицы А = ~~ АР-„'Р. 1я~= В случае т = 1 характеристическая матрица имеет вид А = ~г А'":г г=о (7) а в случае т = 2— (8) Л= ~л Агля, ,то 'Г 1А = Аг = О. Если ранг матрицы А равен 7г — 1, то эти нуль-векторы в кагкдой точке данной характеристической поверхности С определяются однозначно с точностью до произвольного скалярного множителя. То.
что 9= 0 есть характеристическое уравнение, следует из наших п1гедыдугцил рассуждений. Введем внутренние переменные ),...,, 1,„ на поверхности С и выводящую переменную вг=),; тогда с помощью уравнения Я =-О мы выражаем условие, что на поверхности С уравнение 7.
(и] = О не определяет всех величин (д/дгр)н'гг через произвольные данные Коши для и. Система линейных алгебраических уравнений для этих я величин имеет матрицу А и опоеделитель Я. Естественно, что характеристические формы Я и матрицы Л зависят от точки х, если коэффициенты главной части оператора ' не постоянны. В случае систем (1а), (1в) условие Г'„1 =0 означает, что характеристическая матрииа Л вЂ” особая; следовательно, существуют 7г-компонентные левые нуль-векторы 1 и правые нуль-векторы г, такие, что 9 3, Характеристики для операторов высиппт порядков 575 Оператор („ соответствующий одному уравнению, является внутреннилс на каждой характеристической поверхности С. Если 6[и[ — матричный оператор, применяемый к вектору и, то условие, что характеристический определитель Я равен О, равносильно утверждению, что оператор 16 [и[, действующий на вектор и, является внутренним оператором на харак- теристической поверхности С.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
