Р. Курант - Уравнения с частными производными (1120419), страница 114
Текст из файла (страница 114)
Если поверхность нормалей имеет кусок, уходящий в бесконечность, или точку иере- Э 3. Характеристики двк операторов выпиик порядков 583 тиба, то поверхность лучей будет в некоторой точке иметь острие. В й За мы встретим интересные с физической точки зрения примеры такого повеления поверхностей. 6, Свойства инварнантности. Характеристические формы, характеристические матрицы и характеристические лучи инвариантны относительно преобразований координат. Как было указано выше, это непосредственно следует из самого определения этих понятий, в частности из инвариантного характера внутреннего дифференцирования Рис. 45.
Рис. 46. и из того факта, что бихарактеристики являются кривыми, по которым соприкасаются характеристические поверхности. Аналитическое подтверждение свойств инвариантности в точногли такое же, как в й 1, п. б. 7. Гиперболячность. Многообразия пространственного типа, направления временнбго типа '). До сих пор не делалось никаких предположений относительно действительности характеристических поверхностей или конуса нормалей.
Но главная цель этой главы, т. е. решение задачи Коши, требует большего, чем существование действительных ветвей этих поверхностей. Для того чтобы обеспечить разрешимость задачи Коши, надо наложить более строгое условие гстлербола тносвта. Можно было бы приравнять эту разрешимость понятию гиперболичности.
Однако для целей математической физики более удобно наложить условия, которые можно проверить с помощью алгебраических или геометрических критериев и которые достаточны лля того, чтобы существовали решения как можно более широкого класса задач. Все варианты определеният) гиперболичности сводятся ') Ср. с гк. !!1, 4 2. ') Си. также сть Ш, З 2с 584 Рл. РА Гиперболические цровнснин со .чноспми переленны.нн к тому, чтобы алгебраический конус нормалей не имел мнимых полостей. Определение. Оператор г'.(и) называется гиперболическим в точке О'), если существуют векторы ~. проходящие через О, такие, что любая двумерная плоскость —., проходящая через (, пересекает конус нормалей С)(с) =0 по тlг различным действительным линиям. Алгебраическое требование, содержащееся в нашем определении, формулируется так: если 9 — произвольный вектор (не параллельный Г), то прямая с=Лч+9, гле Л вЂ” параметр, должна пересекать конус нормалей в т(г действительных различных точках, т.
е. уравнение О (Лч+ О) = 0 должно относительно Л иметь тгг действительных различных корней. Элементы поверхности, прохолящие чсрез О и ортогональиыс векторам С называются элементами пространственного типа, а Г. называется нормалью пространственного типа. Элементы поверхности пространственного типа отлеляют часть конуса, направленную „вперед", от части, направленной „назад" г). Полезно дать второе эквивалентное определение гиперболичности, связанное с понятием поверхностей пространственного типа. Во-первых, заметим, что мы можем разложить любая вектор 0 в сумму векторов, соответственно параллельных и ортогональных вектору С и объединить первый из них с С Во-вторых, учитывая свойства инвариантности, наложенные в п.
6, мы можем считать, что вектор ч имеет компоненты 1, О, О...,, 0; следовательно, первая компонента вектора 0 есть О. Тогда уравнение Я (ЛО + 0) = О принимает вид О(Л, 9п ..., 0„)=0, Это замечание немедленно приводит и следующему второму определению. Некоторое и-мерное многообразие у (или его элемент), которое мы после соответствующего преобразования координат можем записать в виде хе=О, называется многообразием пространственного типа, если для каждой точки у н произвольных деиствительных значений сп ..,, (н уравнение <~((в, (н ..., с„)=0 имеет туг различных действительных корней (е.
Согласно п. 4, это значит, что из каждого (и — 1)-мерного начального многообразия Я в про- ') Надо снова подчерннуть, что гиперболичность является локальным свойством оператора Ь или формы Я и можно ограничиться элементами поверхности, проходящими через рассматриваемую точиу О. 1(ля ивазилинейиых операторов гиперболнчность зависит также от локальных данных Коши. ') Заметим, что зти части связаны друг с другои ва беснонечностн, если рассматривать их в проехтнвном прострзнстве, 5' 3. Характеристики для операторов высших порядков странстве х исходит гп)г различных кусков характеристических поверхностей.
Оператор В[и] называется гиперболическим в точке О, если такие поверхности (или элементы) пространственного типа, проходящие через О, существуют. Нормали (, к элементам пространственного типа в точке О образуют „сердцевину" конуса нормалей, ограниченную внуигреанвй аолостью этого конуса. Внутренняя полость конуса нормалей выпукла. Эта важная теорема почти непосредственно следует нз определения. В противном случае внутри .сердцевины" существовали бы векторы ч, через которые проходят плоскости, пересекающие эту внутреннюю полость более двух раз и, следовательно, имеющие более тк пересечений с конусом. Геометрически можно себе представить, что конус нормалей состоит из замкнутой внутренней полости, ограничивающей внутренность („сердцевину"). в которую направлен вектор г., и из других полостей, которые образуют последовательные оболочки вокруг этой сердцевины. Эти полости могут быть замкнутыми или уходить в бесконечность; во всяком случае они таковы, что все плоскости и, проходящие через С пересекаю г их по тй различным линиям.
Конус, для которого опорными плоскостями служат плоскости, ортогональные к образующим выпуклой внутренней полости конуса нормалей, является выпуклой оболочкой Г локального конуса лучей; в частности, выпуклой оболочкой его внешней полости') (доказательство см. в э 1, п. 8). Мы введем следующее определение; любое направление из точки О внутрь этой внешней полости называется направлением временного типа. Кривая в пространстве х называется кривой вргмвннбго типа, если она в каждой точке имеет направление временного типа'). Очевидно, что понятия „пространственного типа" н „временного типа" не аависят от системы координат. Для одного дифференциального уравнения второго порядка, когда имеется только одна полость конуса нормалей и локального конуса лучей (см.
й 1), получается картина, которая, очевидно, входит в описанную здесь схему. Сейчас было бы полезно резюмировать замечания и определения, касающиеся характеристических конусов, сделанные в предьщуших параграфах прн разных обстоятельствах. Если алгебраическое урав- ') Мы снова подчеркиваем тот факт, что здесь не нужно ничего говорить о внутренних частях конуса лучей.
Они могут состоять из замкнутых полостей, соотгетствующих полостям конуса нормалей, окружающих сердцевину, но могут иметь и совсем другую структуру ') Другое определение, не эквивалентное нашему, см. в книге Д;кона [4], стр. 157. 586 Гл. !лд Гипербо.тнеение уравнения ео многими переменнгими пение порядка лг для конуса нормалей дает максимально возможное число отдельных действительных полостей, то двойственное преобразование ставит в соотвстстзне каждой из этих полостей отдельную полость локального конусз лучей, или отдельный „способ распространения фронта волны". Выпуклая внутренняя полость конуса нор.
малей переходит во внешнюю полость локального конуса лучей, которая автоматически получается выпуклой. Если конус нормалей состоит из нескольких вложенных выпуклых полостей, то то же самое справедливо и для конуса лучей. В противном случае конус лучей может содержать изолированные лучи и иметь особенности'). Вообще говоря, сделанное выше предположение о том, что полости должны быть отдельными, не выполкяется. Для целей математической физики требование, чтобы корни ) были различными, является слишком строгим, так как во многих важных случаях возникают кратные корни 1, т. е.
различные полости алгебраического конуса нормалей могут касаться друг друга, нли пересекаться, илн полностью совпадать'). В п. 9 мы увидим, что определения 1 и 2 могут быль легко обобщены так, чтобы они включали случай характеристических поверхностей с равномерной кратностью ). Но даже такое простое дифференциальное уравнение, как ил,„,л, = О, ие попадает под наши определения, хотя задача Коши лля него решается в явном виде. Для уравнений, у которых полости конуса нормалей не являются целиком различными, трудно найти разумное обобщение понятия гиперболичности ") и исследование задачи Коши требует более тонкого анализа. Однако, к счастью, в задачах математической физики трудности, возникающие из-за многократного пересечениз конуса нормалей плоскостями и, вообще говоря, не влияют на доказательство теорем существования и единственности, если вге корни ) уравнения !,л()'ч + 8) = О действительны.
Причина состоит в том, что уравнения математической физики в основном являются симветри- ') Нужно отметить, что современное состояяне теории алгебраических поверхностей не позволяет вполне удовлетворительно применить ее к затронутым здесь конкретным вопросам геометрической структуры поверхностей. е) Случаи такой кратности н сейчас являются серьезным препятствием для построения теории. Для многих систем первого порядка, капример, для уравнений Максвелла, такие кратности встречаются всегда.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
