Р. Курант - Уравнения с частными производными (1120419), страница 117
Текст из файла (страница 117)
Проекция связанного с ней луча на плоскость х, у дает не что иное, как линию тока рассматриваемого течения; сами лучи, которые в трехмерном пространстве залаются дифференциальными уравнениями г(х/ь(( = и, ь(у/ь(Г =и, лают скорость течения одновременно с линией тока. Второму множителю в уравнении (3') соответствует характеристическое многообразие 596 Гв. Р1. Гииерболическив уравнения со многими переменными Эти ре)ультаты и их отношение к упомянутому ранее стационарному случаю (гл. !г, Э 3, п. 3) можно еще проиллюстрировать с помощью следующих геометрических рассуждений.
г(ля заданных и и и локальный конус лучей, или конус Монжа характеристического дифференциального уравнения, в пространстве х, у, Г задается уравнением ( — — и) +( — — о) = р'(р), если мы считаем, что его вершина находится в начале координат х=у= — с=О. Следовательно, этот конус получается проектированием окружности (х — и)'+(у — тг)е = р' на плоскость Г= 1 из начала координат. В соответствии с тем. содержит ли этот круг начало координат х=О. у=О, т. е. в зависимости оттого, какое из двух неравенств и'+ оа ( р' или и'+ о' ) р' й Рис. 47.
выполняется, рассматриваемый круговой конус или содержит ось 7 или наклонен так, что ось Г находится вне его (см. рис. 47). Переход к стационарному случаю состоит в том, что все производные по Г полагаются равными нулю. Тогда мы рассматриваем только такие касательные плоскости к конусу Монжа, для которых ~7,=0, другими словами, касательные плоскости, перпендикулярные к плоскости х, у, т. е, плоскости, содержащие ось 1. Линии их касания с конусом дают два характеристических направления для стационарного случая. Но две касательные плоскости к конусу Монжа, проходящие через ось Г, действительны и различны тогда и только тогда, когда ось 7 лежит вне конусьч т.
е. когда скорость потока 1г иа+ьа больше скорости звука $/р'. Тем самым подтверждается д да. Примеры 597 и разъясняется полученный раньше в гл. Н, 9 3, результат, касающийся стационарного дан>кения жидкости. 3. Кристаллооптика. Характеристическое уравнение для уравнений Максвелла в вакууме было выведено в гл. КК 9 2 с несколько иной точки зрения. Здесь мы рассмотрим обобщение уравнений Максвелла на случай нрисзпалгооптини, Общге уравнения Максвелла, связывающие вектор напряженности магнитного поля зд, вектор напряженности электрического поля 6, вектор индукции 6) и вектор магнитной индукции Ю, имеют вид го!6= — -х); 1,.
с го1 зз = — дг, 1 с (7) 4!чу=О, б!чЭ=йчф=О; (7а) мы будем всегда считать, что соотношения (7а) выполнены. Исключение вектора ъг из уравнений (7) приводит к трем линейным дифференциальным уравнениям второго порядка для вектора напряженности электрического поля: д д'и, , дги, дгиг дгиз г дх дуз д»з дх ду д» дх ' д . дгиг дгиг дгиз дзиз и и =Ьи — — д!ч6= — '+ — ' — — ' — — ', (8) 2 2= 2 ду д»г дхз дуд» дхду д . дзи, д'из д'и, д'иг д 6 ..з! з з з з д» вЂ” дхг + дуз д»дх дуд» ' где из =(!з)сг) зз ').
Мы хотим вкратце привести алгебраические выкладки, которые позволяют получить конус нормалей, конус лучей и поверхность нормалей. Напишем хн хг, хз вместо х, у, »; чы получим для характеристического многообразия у =1 — ф (х) = 0 ') См. также отдельные уравнения для каждой компоненты вентороз в $14а, и. 1. здесь с — скорость света, точка обозначает дчфференцирование по времени 1, !зф = Ю (р — постоянная мапгитной проницаемости; обычно ее принимают равной 1). Компоненты ин и,, из вектора 6 связаны с индукцией В соотношением гл =(з,ин згиг, азиз), где зн е,, е,— три диэлектрические постоянные по направлениям трех коордшатных осей. Наличие различных констант е указывает на кристаллический характер рассматриваемой среды.
Из уравнений (7) немедленно получается, что (йчдг) =0 и (с(!ч Ю) = О. Предполагая, что в начальный момент йч лг = б!ч л) = О, мы будем иметь 598 Гя. И. Гинербояинесние ураенения со мноеими неременнесми следующее урзвнение: 1 2 гз рг — 12 — а, ~1 2 рг — 12 — а 2 2 ~з:г рг — 1 — а 2 з з г'! (зсг =О, (9) Н(1) = рг — ~Ц2 — 12+22+12, или, после несложных вычислений, Н (1) = (рг — аг)(рг — аг)(ог — аз) Х ( Х 1 ра а, 12 ре — аг ре — ае ) Уравнение конуса нормалей в пространстве т, 1 имеет вид 1',2(т () (р2 тг)( 2 а 2)(р2 а 22) Х ( 12 ег Х 1 ре — а~ге рг — агтг — О, (9б) , "...) так что Н(с) =()( — 1 1).
Следовательно, поверхность нормалей задается уравнением с=2 (10) Уравнение взаимной поверхности нормалей (см. $3, п. 3) получится из (10), если мы заменим 12 на (1/рг)Е~.' 12 Уравнение поверхности нормалей можно записать также в другой форме 12 а уравнение взаимной поверхности нормалей — в форме 12 (11а) Уравнение (10а) можно получить непосредственно из (10) с помощью тождества (11а) следует непосредственно из (10а), э аа.
Примеры Поверхность лучей получается либо как огибающая ') нормальных плоскостеп к взаимной поверхности нормалей' ), либо, что эквивалентно, как геометрическое место полюсов плоскостей, касательных к поверхности нормалей (10), относительно ед!шичнои сферы. Касательная плоскость в точке с представляется уравнением з з з ~~Р. (с)(г — с)=0, или ~е!и Г. =~~гаРс, '! !=! ! ' л=! где ч! — текущие координаты. Полюс этой касательноИ плоскости имеет координаты ~ з т)! = ль! (1)~ сй (еР! 6).
Исключая из этих алгебраических уравнениИ и из уравнения (1Оа) координаты (и после некоторых вычислений получаем ураеиеиие ловерхносгли лучей: з !.! )(! —— а! з 1-! (12) И поверхность нормалей, н поверхность лучей являются алгебраическими поверхностями четвертого порядка, „поверхностями Френеля". Они переходят одна в другую, если заменить и,, на 1/ир,' на т) и р на Й. Как мы увидим далее в п. 4, эти поверхности состоят каждая из двух замкнутых кусков, причем внутренний кусок выпуклый.
Их проекции из начала координат в четырехмерное пространство дают соответственно конус нормалей и конус лучей. Выпуклая „сердцевина" первого конуса с помощью двойственного преобразования переходит в выпуклую оболочку другого конуса. ') Заметим, что с помощью такого построения мы получаем собственно поверхность лучей, а не ее оболочку. ') То есть огибающая плоскостеИ, проходящих через точки взаимной поверхности нормалей и ортогональных радиусам-векторам этих точен.— Прим.
ред. 4. форма поверхности нормалей и поверхности лучей. Поверхность нормалей (10) является алгебраической поверхностью четвертого порядка, симметричной относительно начала координат. Каждая прямая, проходящая через начало координат, пересекает эту поверхность в четырех леИствительных точках; она состоит из двух замкнутых „полостей", или кусков, которые имеют только четыре общие точки, в которых они касаются друг друга. Предположим, что и, ) аз ) из; тогда эти четыре точки самопересечения, которые опре- 600 Гл.
И. Гиперболические уравнения со многими переменньыш деляют главные оси биаксиального кристалла, лежат на плоскости сн ! на прямых Г! 1, Г1 ' !г а, аз "3 !' аз а, (13) где ! ( р2 -2+!2+!2 22 32 !2 ~ Ф(с) = — '+ — '+ — '. а2аз азаз ага2 (13') Если а — произвольный единичный вектор, то прямая, проходящая через начало координат в направлении вектора а, состоит из точек вида (=ра, где р — параияетр. Точки пересечения этой прямой с поверхностью нормалей определяются корнями следующего квадратного уравнения относительно рг: рЯФ („) ргзР(а)+ ! О (14) Дискриминант этого уравнения равен Х (а) = яуг (а) — 4Ф (а).
(16) Положим теперь 2 1 1 Аз= — — —, аз аз 1 ! Аз= — — —, а, а3 2 1 1 Аз= — — — ' аз аз простые вычисления показывают, что если У, а, = 1, то Х(а) = П (азАг + "г'42 л "з43) (!61 где произведение берется по всем четырем возможным комбинациям знаков. Так как величины А, и Аз действительны, а величина Аг чисто мнимая, то множители, составляющие Х, распадаются на комплексно сопряженные пары. Поэтому Х )~ О. В самом деле, Х = 0 только в том слУчае, когда аз — — 0 н а!Аг + азАз — — О, СледОвательно, Эти факты будут выведены из уравнения (10) с помощью некоторых вычислений, Формальная аналогия между уравнениями (10) и (12) показывает, что соответствующие утверждения справедливы также для поверхности лучей, если заменить ан ан вз на обратные им величины. Умножал уравнение (10) на (рг — а,)(р — ог)(рг — о,) и собирая члены с одинаковыми степенями,", мы получаем, что уравнение поверхности нормалей имеет вид — а,а, а ( ! — чз (!) + ргФ (!) ) = О, з За.
Примеры четыре корня урзвнения (14) действительны н различны, ва исключением случая, когда а,А, + азАз=О. Таким образом, поверхность нормалей состоит из двух отдельных кусков с уравнениями Ч' (и) — 1/Х (и) = —,, Р Пользуясь однородностью функций Ф и Ф, мы можем определить величину Х(8) формулой Х6) =~Р'(Р) — 4рзф6). (17) ! Ф (1) + 1 ')ГХ (1) ! = 2, зР (Б) — ! 'у' Х (Е)/ = 2.
(18) Эти части поверхности соприкасаются только в четырех точках, лежащих на прямых (гАг+ 1зАз=О в плоскости Рм 1з (см. рис. 48). Р ис. 48. Пересечение поверхности нормалей с ноординатными плоскостями. Чтобы представить себе поверхность нормалей, мы рассмотрим ее пересечение с координатными плоскостями.
В пересечении с плоскостью (з = О получаются окружность и эллипс, которые имеют четыре точки пересечении: е21;2 „О =з з (з ез — '+ — ' — 1=О. е1 Эти точки пересечения, конечно, соответствуют точкам, общим для внешней и внутреннеи части поверхности, Для других двух коорди- Тогда для внешней и внутренней частей поверхности мы будем соответственно иметь уравнения 602 Гл. И, Гиперболические уравнения со многими переменными натных плоскостей в пересечениях также получаются окружность и эллипс, но здесь они не пересекаются.
На плоскости Е,=О мы имеем Ег+Ег — о =0 42 тз Е2 Е2 — '+ — ' — 1=О; аналогично на плоскости Е2=0 получается Ег + Егг — оз = 0 Ег — + — — 1=0 вг о~ (см. рис. 48). Из общей теории 9 3 следует, что внутренняя часть поверхности нормалей должна быть выпуклой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
