Р. Курант - Уравнения с частными производными (1120419), страница 118
Текст из файла (страница 118)
Внешняя часть не будет выпуклой, Р н с. 49. а — поверхность нормалей; б — поверхность лучей. так как она имеет четыре конические точки. направленные внутрь, в то время как соответствующие вершины для внутренней полости направлены наружу. Как мы заметили выше, в точности то же самое справедливо для поверхности лучей, если параметры оп о,, а заменить на обратные им числа.
Однако надо обратить внимание на тот отмеченный в 9 3, п. 5 факт, что определение двойственного преобразования требует некоторой модификации, когда речь тщет о конических точках. Образ выпуклой поверхности, содержащей внутри начало координат, должен быть выпуклой поверхностью. Выпуклая внутренняя полость поверхности нормалей соответствует выпуклой оболочке поверхности лучей. (Обе онн обведены жирными линиями на рис.
49.) э йа. Примеры Конические точки поверхности нормалей переходят в четыре плоские „крышки", которые добавляются к поверхности лучей при построении ее выпуклой оболочки. Этн „крышки" не получаются как огибающие характеристических плоскостей, но являются кусками плоскостей, опорных для поверхности лучей в собственном смысле (которую можно представлять себе как огибающую характеристических плоскостей). Так как соотношение между поверхностью нормалей и поверхностью лучей является соотношением двойственности, то выпуклая оболочка поверхности нормалей отображается во внутреннюю полость поверхности лучей.
Та часть внешней полости поверхности нормалей, которая не солержнтся в выпуклой оболочке, отображается в соответствующую часть поверхности лучей (обе эти части на рис. 49 изображены пунктиром). Точно так же, как конические точки поверхности нормалей соответствуют „крышкам" поверхности лучей, „крышки" поверхности нормалей соответствуют коническим точкам поверхности лучей. Границы „крышек" являются параболическими кривыми, т.
е. такими кривыми, на которых обращается в нуль одна из главных кривизн поверхности (см. рис. 49). Действительно, границы „крышек' поверхности лучей являются окружностями; так как кажлая из этих кривых есть линия соприкосновения плоскости и поверхности четвертого порядка, она должна быть кривой четвертого порядка, все точки которой двойные. т. е. коническим сечением. Чтобы убедиться в том, что граница „крышки" является окружностью, мы запишем уравнение поверхности лучей в однородных координатах т), ш "— "р(т)+й'Ф(4) =0 где параметры ап ам аа в выражениях %' и Ф заменены обратными им числами. Отсюда следует, что поверхность лучей содержит абсолютную окружность проективиого пространства, которая задается уравнениями т= 9, Яз= 0.
Следовательно, пересечение поверхности лучей с любои плоскостью содержит две абсолютные точки этой плоскости. Если плоская кривая пересечения вырождается в две действительные кривые второго порядка, то одна из этих кривых содержит абсолютные точки, т. е. является окружностью. В частности, это справедливо для линии соприкосновения, крышки' с поверхностью лучей. (Между прочим. это рассуждение подтверждает тот факт, что кривая пересечения поверхности лучей с любой координатной плоскостью должна содержать окружность.) Б. Задача Коши для уравнений кристаллооптики. Залача Кош для системы уравнений кристаллооптики (это система уравнении 604 Гл.
РЕ Гиз!ерболинеские уравнения св многими яеременныл!и первого порядка), а также для других дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, например для уравнений магнитной гидродинамики, может быть переформулирована как задача Коши для некоторой системы второго норядка или для одного уравнения более высокого порядка; это делается с помощью исключения пере- менных (см. гл. 1, э 2). Мы установим эквивалентность соответ- ствующих задач для случая уравнений кристаллооптики.
Исключая вектор напряженности магнитного поля из исходных уравнений Максвел.ча (?), мы получаем систему трех уравнений вто- рого порядка д'и, д'и, д'из д'и, о,и, — + дх2 дхз дх1дх2 дх1 дхз дзи д'и, дзиз д'и, — 2 + дхз дх! дхз дхз дхз дхз д'!зз , д'из д'и, д'и, огиз 2 + дхз дхз дхз дх, дхз дхз С помощью процесса исключения мы легко можем убедиться, что все компоненты то вектора и удовлетворяют одному и тому же дифференциальному уравнению шестого порядка В (с, 2) нз =- О, (20) где т обозначает д(дт, !! обозначает д)дхр а 1 р — с! — о!т зз 1"2 2 2 2 — — 22 — озт Е) (1,2) = "23 ' (20 ) 2 2 2 р — (з — озт сзс! 22.2 Из уравнения (!3) мы заключаем, что 0 (з„ т) = — о, о,о, (те — зу (!) т' + раФ (!) 22).
(2!) Уравнение (20) можно свести к уравнению четвертого порядка, так как из каждого члена Е) можно выделить множитель 22. Если мы положим о = нзи, то бУдем иметь Г(1, 2)н=(тз — зР(з)22+рзФ(з))о=О. (22) Применяя уравнения (7а), из двух уравнений системы (!9) с помощью простых вычислений можно исключить две компоненты и таким обра* зом для всех компонент вектора 6 мы получим уравнение четвертого порядка Р (К т) и = О. (22а) Задачи Коши для уравнений Максвелла (7) и для уравнения (22) тесно связаны между собой, Мы покажем, что задача Коши для 605 у За.
Прилепы уравнениИ Максвелла, которая состоит в том, что при Г =0 задаются векторы 8 и (з, сводится к задаче Коши для уравнения (22) с начальными данными специального вида о(0, х)=0, о,(0, х)=0, он(0, х)=0, о,н(0, х)=п(х), Если мы положим в*(Г, х)= / (г — з)о(г, х)Из, то о Р(Е т)тв"=0 (23) д' ш* (О, х) = —, ш" (О, х) = 0 (Г = 1, 2, 3, 4), — —,ш*(0, х)=н(х). (23') Если ввести для этого решения обозначение ш*(г, х)=и(д), то решение задачи Коши Р Д, т) в (1, х) = О, вм тв(0, х)=А"е(х), —.ю(0, х)=у;(х) дР (24) (ю'=1, ..., 5), (24') очевидно, определяется формулами д д' ((, ~)=и(д,)+ — „и(д,)-~- — „, (у [д,)-(-и( — г(1)д,)+ лз д + ~~' (~я)+ д~ ( (')~~)+ -+ 3 —,, (у (а )+-~,ту ( — ~(с)К ) +(у(р'ф6)а )+ +,—,; У (К„] + —, У ( — 'Г (1) К,) + —, (У (рзф 6) К,).
Чтобы решить теперь задачу Коши для системы уравнений Максвелла, мы просто должны проверить, что из данных Коши для системы сразу получаются данные Коши для уравнения (24). Система (7) выражает производные компонент тв по времени через их пространственные производные. которые в свою очередь вычисляются через данные Коши.
Производные по времени более высокого порядка получаются, если сначала продифференцировать систему по Г, и т. д. Таким образом, задачу Коши для уравнений Максвелла можно решить, если мы сможем решить задачу Коши для уравнения (22) с начальными данными специального вида (22"). Мы рассмотрим эту последнюю задачу в 3 14а. 606 Гл. П. Гнперболичеекие рравненин сп яновича переменнылп б. Магнитная гидродинамика '). Изучение движения ионизиро. ванных газов и жидкостей, на которые действуют электромагнитные силы, приобретает все более важное значение. В связи с этим возникает множество задач, куда входят гиперболические операгоры. Здесь для нас интереснее всего то, что даже простые примеры такого движения приводят к характеристическим поверхностям сравнительно сложной структуры, которые тем не менее окааываются в сфере действия обшей теории, развитой в этой главе.
Мы ограничимся простейшим случаем идеально проводящей жидкости яуи наличии леагяитяого поля. Пусть и обозначает вектор скорости течения,  — вектор напряженности магнитного поля, / — вектор плотности электрического тока, а р — магнитную проницаемость. Мы будем также пользоваться обозначением 7 для градиента и Х для векторного произведения; скалярное произведение там, где это необходимо, будет обозначаться точкой. Уравнения движения такой жидкости образуют гиперболическую систему; она анизотропна и нелинейна.
Для упрошения предполагается, что все скорости течения малы по сравнению со скоростью света, так что можно пренебречь релятивистскими эффектами, такими, как ток смешения в уравнениях Максвелла. Тогда мы имеем [ь.7= го1В, (13) где р обозначает магнитную проницаемость. Дальнейшее предположение о бесконечной электропроводности позволяет нам найти выражение для вектора напряженности электрического поля Е: Е= — и ХВ (! 3') Оставшиеся два уравнения Максвелла вместе с уравнениями движения х<идкости дают следуюшую систему дифференциальных уравнений для В, и и плотности жидкости р как функций от положения точки х = (х, у, г) и времени 1; 61н В = О, В,— го1(и Х В)=О, (14) ри,+р(и ° 7)и+асад р — [ь '(го1В) Х В=О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
