Р. Курант - Уравнения с частными производными (1120419), страница 122
Текст из файла (страница 122)
В этих случаях число независимых переменных больше трех и хзрактеристические кривые, проходящие через некоторую начальную точку на рассматриваемой характеристической поверхности, образуют двумерное многообразие, конус. Наиболее известен пример из кристаллооптики (коническая рефракция). Согласно проведенному в э За исследованию дифференциальных уравнений кристаллооптики, плоские фронты волны вида а,х,+азха+азха — т)г'=О являются характеристическими поверхностями для этих дифференциальных уравнений, если нормаль а=-",/)Ц и скорость т(=- — т/~с! связаны характеристическим уравнением (96) из й За.
Это уравнение, вообще говоря, определяет два значения скорости для заданного направления нормали и один характеристический луч для каждой из этих скоростей. (Построение двух лучей для заданной нормали имеется в Э 3, п. 4.) Однако существует одно исключение пз этого правила, а именно случай, когда нормаль а направлена но оптической оси кристалла. Тогда обе скорости совпадают и вместо двух лучей, проходящих через точку, мы имеем круговой конус, составленный из лучей. Зго явление, конической рефракции", впервые теоретически открытое Гамильтоном и затем подтвержденное экспериментально, означает, что луч, входящий в кристалл по направлению оптической оси, разбивается на множество лучей, направленяых по всем образующим конуса; разрыв, принесенный входящим лучом, распространяется прежде всего по конической поверхности, но также (в сильно смягченном ниде) н внутрь конуса.
Аналитически в этом можно убедиться, применив построения п. 5 и соответствующим образом преобразовав полученные дифференциальные уравнения; тогда видно, что величина разрыва удовлетворяет волновому уравнению, содержащему два пространственных переменных и время. Явление, аналогичное конической рефракции, встречается и в магнитной гидродинамике (см, э За, п.
6), если нз жидкость из вакуума падает фронт электромагнитной волны по напрзвлению магнитного поля этой жидкости '). а скорость звука в этой жидкости и скорость Альфвена совпалают. 6. Устранение начальных разрывов и решение задачи Коши. В атом пункте мы воспользуемся построенной выше теорией для того, чтобы свести задачу Коши с разрывными начальными ланными к соответствующей задаче с гладкими даннымн. Существование и единственность решения этой последней задачи будут доказаны в последующих параграфах.
Такое сведбние опирается на тот факт. что можно построить конечную волну тз вида (6), которая имеет задан- ') Подробкмй анализ см. в работе Людвига (2]. 623 а 4. Раелростравение разрывов о задача Кои!о ные начальные разрывы и для которой выражение Ь[ш[ сколь угодно гладко. Мы предположим, что хо = Г = 0 — начальное многообразие ~ пространственного типа. Тогла из (и — 1)-мерного многообразия уо, определяемого уравнением р(0, хн ..., х„)= о(х)=с=сопз1 на у, исходят й характеристических поверхностей С": о (~, х)=сопз1=с (и=1...„й), пучком расходящихся в пространство х, К Независимо от того. совпадают ли некоторые из них между собой, из гиперболнчности А[и[ следует, что для характеристической матрицы существует (г линейно независимых правых нуль-векторов г*. Предполагается, что начальные ланные имеют разрыв 5 при переходе через (и — 1)-мерное многообразие ге о! р(х) = О, и что они имеют вил и (О, х) = и„(х) = ~ 5, (р (х)) д' (х)+ й (х).
Первый шаг в решении задачи Коши состоит в разложении начальных значений ио(х) на тг компонент, каждая из которых соответствует одной из и характеристических поверхностей р" (г, х) = с пучка, прохолящего через многообразие р (х) = О. Соответственно мы разложим и решение и на (е компонент л и(1, х)=~и" (1, х). т=! В обозначениях п.
3 мы потребуем, чтобы ст" вп 8,(р" (г, х))й'" "(Г, х), А[У"[=0 и ~!У" (О, х)=ив(х). х Поскольку для всех х мы имеем р" (О, х)=р(х), то в соответствии с этим мы при каждом т потреоуем выполнекия равенства ~д' "(О, х) =л'т(х), (16) считая, что функции л'"(х) известны из начальных данных. В силу сказанного в п. 4, функции дч" выражаются через скаляры о' " и известные нуль-векторы г" с помощью формулы (13). Это для каждого ч приводит к системе й линейных уравнений для начальных значений а" " на ру.
В частности, для начального разрыва типа скачка, т. е. для 8о(4=8(р)=т[®, тле 4(р) снова обозначает функцию Хевисайда, 624 Гя, 10. Гиперболические уравнения со .чногпяи пере.ненньыш величина до(р) =д(р) при ге=О измеряет величину скачка вектора и при переходе через С. В соответствии с п. 4 скачок функции и при перехоле через С": р*(Г, х) = 0 опрелеляется выражением (и") = о"(1, х)г"(С х); следовательно, на начальной плоскости при 4 = 0 мы имеем 5'„(и") = (ио) = .г~г а"(О, х) г*(0, х) = д (О, х). (17) =! Эта система )г линейных уравнений невырожденная и, следовательно, однозначно определяет скаляры о"(О, х); действительно, в силу предположения о гиперболичности векторы г*(0, х) линейно независимы.
Таким образом, начальный разрыв (ип) распалается на 7г компонент, каждая из которых соответствует одной из и характеристик пучка, проходящего через начальный разрыв. Для начального многообразия о = 0 такое распадение обязательно; теперь мы потребуем, чтобы оно происходило для всех характеристик С*, пучка, проходящего через многообразие р(х)-= с = сопз1, в соответствии с формулой (17); это согласуется с замечаниями п. 4.
В силу обыкновенных лифференциальных уравнений переноса (12') начальные аначения о"(О, х) опрелеляют функции а" и, следовательно, множители д~ " на всех характеристических поверхностях С,, несмотря на то, что поверхности С", не несут разрывов при с чь О. Применяя формулы (13), мы можем аналогичным образом с помон;ью некоторого числа простых шагов определить коэффициенты л" (х) и их продолжение на характеристики С,". Для скаляров о' "(О, х) уравнения (16) немедленно приводят к системе линейных уравнений вида ~,а' г =М, где величина М" известна, если известны д" " для р ( ж Таким образом, шаг за шзгом, сначала определяются начальные значения лля о" ", а затем, в силу уравнений (12'), эти скаляры, а следовательно, и и" ", определяются на поверхностях С,.
Тем самым эти функции опрелеляются в некоторых (и+!)-мерных окрестностях С," для подходящих окрестностей с =О. Данное выше разложение величин а" применимо не только к разрывам типа скачков, но и к произвольным особенностям 5(Т). Однако для Б(р)е й(р) мы можем сделать еще олин шзг вперед, связзв коэффициенты и' со скачками производных функции ио. Читатель лег~о может убелиться в том, что эго можно сделать на основании формул (14) из п, 4.
625 Э 4. Распространение разрывов и задача Кои!и После этих приготовлений легко закончить решение задачи Коши. Возьмем достаточно большое !"[ и составим функцию (I = ~а ~! 8, (сь" (х, г) ) д" " (х, г). Тогда выражение с[С/[= 0(х, г) будет настолько гладким, насколько это нужно; то же самое справедливо относительно функции а!= и — У. Поэтому из того, что б [и[ = О, следует дифференциальное уравнение (. [ [ = - - () (х, 1) с гладкими начальными условиями и гладкой правой частью.
Единственное решение такого типа задач будет построено з 2 1О. Следователы<о, и = (/+си является единственным решением задачи Коши, поставленной в этом пункте. ба. Характеристические поверхности как фронты волны. Сделаем несколько замечаний относительно волн и фронтов волны. В э 3 характеристические поверхности рассматривались как возможные поверхности раарывов нли фронты волны для решений и уравнения 1.
[и) = О, которые носят название „волн". Теперь, в силу предыдущих результатов, мы убедились з том, что любая хараяте. ристическая поверхность !у(1, х) =О является фронтом волны для соответствующим образом построенной волны и. Следовательно, характеристические поверхности можно определить как фронты волны. Кроме того, построение Гюйгенса фронтов волны как огибающих семейств других фронтов волны !~(С, х, а), зависящих от параметров и, ап и,, ..., находит отражение в следующей теореме: если волна и(Г, х, и) есть решение уравнения 1.[и[=0, зависящее от параметров а и имеющее особенность на фронте волны р(Г, х, а)=0, то суперпозиция таких волн и(1, х) = [ и(С х, и)![а является волной, особенности которой сосредоточены на огибающей фронтов р(1, х, а) = О. Для доказательства этого факта мы сошлемся на рассуждения Э 15, п. 3 '). 7.
Решение задачи Коши с помощью сходящегосв разложения на волны. Если разложение па бегущие волны обрывается после М членов или сходится к полной бегущей волне, то приведенное выше построение дает решение задачи Коши, причем без обращения к доказательству теоремы существования в э 10. Как указывзлось раньше, в этом случае разложение дает решение урав- ') См. также Людвиг [1), 626 Гл. Л Говерлами«ванне прав«ения ео мнаги,«о «ереме««им« пения 2.(гг) =О для произвольной функции 5(р), независимо от того, имеет лп она особенности.
Мы рассмотрим случай полных бегущих воли. Чтобы построить все коэффициенты д', мы предположим, чго коэффициенты А' и В имеют производцые всех порядков; точнее, мы предполагаем, что они являются аналитическими функциями (например, постоянными плп многочлепааш). Тогда справедлива следующая замечательная теорема. Пусть начальные значения задаются рядом таким, что функция ~, (1/«!)(ср)'6" (х) аналитична по х, т, е, раз=а лагается в равномерно сходящийся степенной ряд в некоторой окрестности точки х=О, а=О.
Тогда бесконечный ряд и(г, х)= ~ч'„~~а 5,Ор'(г, х))я'" '(г, х), определенный в п. 4, также равномерно сходится при достаточно маль|х /х/ и г и дает решение задачи Коши. Здесь о'(а) — произвольная обобщенная функция. Можно было бы попытаться доказать это с помощью оценок для коэффициентов л* ' и нх производных, опираясь на построение, проведенное в и. 4. Однако мы просто сошлемся на изящное доказательство Людвига 11), которому удалось свести эту теорему к теореме существования Коши — Ковалевской. 8. Системы второго и высших порядков. Для решений вида (6) систем уравнений порядка и тем же методом, что и для шштем первого порядка, получен весьма общий результат.
Его можно сформулировать следующим образом: фазовая функция р задает характеристику, а множители л" определяются формулами видз с" = а" г + и', где а" — скаляр, величины л' известны, если известны д'-', се"-з, ...; йн = О, а г — правый нуль-вектор характеристической матрицы А.
На характеристической поверхности С,: а = с =. сопз1 скаляр о = а' удовлетворяет следующему обыкновенному дифференциальному уравнению переноса вдоль бихарактернстических лучей: о+ Ра + lг'=-О, (18) б 4. Распространение разрывов и задана Коши 627 где )с" известно, если известны функции 4," ', ..., Фа=О, и где, независимо от ю на С, выполняется соотношение ',,— 1).[(р — с)" 'г]. (19) Здесь 1 обозначает левый нуль-вектор матрицы А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
