Р. Курант - Уравнения с частными производными (1120419), страница 124
Текст из файла (страница 124)
РИ Гиперболические уравнения со многими переменными относительно компонент вектора и, с вырожденной матрицей А. Как и в э 4, отсюда следует, что и, = а'г+ И', (9) где а1 — скаляр, а И' выражается через Е [ив]. Чтобы найти а', мы умножнм уравнение (6) для ч=! на 1 и получим „уравнение переноса" К [и,[ = (И [га'[+ 1Е. [И'[ = О, (10) т. е. опять обыкновенное дифференциальное уравнение, на этот раз неоднородное, для скалярной величины а' вдоль луча, принадлежащего характеристическому многообразию ~у = сопз1. Точно так же мы находим, что и.
= а~г+ И~, (11) П.[и,[=0 или П.[га'[+Е [Ит[=0, (12) где величина И известна, если известны ио, ин ..., и),, а они 1 определяются из предыдуших дифференциальных уравнений для скаляров а~. Положив Чl=авнт1» Л и + и+ ... + —.~ 1, и, и (13) мы будем иметь 1.[Ч/[=аецеСк П ~ (1Аисы+И [и,[) — = —, (14) Г с~ -1 где Р~ ограничены; это выражение порядка 1 ~ относительно 1, т, е. мы получили асимптотическое выражение для сг.
Возвращаясь к задаче Коши для системы (2), мы теперь заметим, что из гиперболичности системы (2) вытекает (см. 3 3) следующее утверждение: нз любого начального многообразия, принадлежащего семейству ~у(х) = с = сопз1, выходит пучок Й характеристических поверхностей ~у"(х, 1) = с; все они соответствуют одинаковым начальным значениям р'(л, 0)= а(л); все эти функции сук удовлетворяют характеристическому дифференциальному уравнению Я = ~~Р,I+ ~ Ат~у[ = О. 1 Даже если некоторые из этих поверхностей совпадают, И левых нуль-векторов Д, 1Я, ..., 1Я и И правых нуль-векторов г', г', ..., ге образуют линейно независимые системы.
Для каждой из этих характеристических поверхностей сы мы рассмотрим построенное выше асимптотическое решение У ° Соответ- 4 б. Колеблющиеся начальные значения 633 ственно в формулах (7), (11) мы должны рассматривать ее скалярных множителей е, которые мы будем обозначать !а, те, ..., 'а, опуская индекс у функции и.. Затем мы аададим начальные значения для компонент и,",(х, 0), и" (х, 0) с помощью равенств ~~! и"„(х,О)=ф(х), =! (15) чп! и'(х, 0)=0 (7)~ 1), ч=! (16) и функция ю(г имеет нулевые начальные значения. Поэтому интегральное представление Дюамеля (см., например, й 1О, и, 1) для функции е)г показывает, что функция е)г имеет порядок Г с и наше разложение является асимптотическим.
Кроме того, справедливы аналогичные оценки асимптотических выражений для производных, порядок которых может быль выбран сколь угодно высоким, если начальные данные име!от достаточно большое число непрерывных производных. Данное выше асимптотическое решение позволяет получить приближенное — часто очень точное — решение задачи Коши. Оно получается только с помощью решений обыкновенных дифференциальных уравнений, так как определение функций у', так же как и последовательное вычисление ае, ип ..., пд требует только реше- где ф(х) — произвольная достаточно гладкая функция. В уравнения (15) и (16) мы подставим из = "а г" и и" = "а~г" + "л~ для у')~ 1 из формул (7) и (1!) и рассмотрим эти соотношения при г=О. Из лш!ейной независимости векторов г" следует, что для каждого / начальные значения !е скаляров е' определяются олно- значно.
Таким образом, решение задачи Коши для системы (2) с начальными значениями и(х, 0) =есе!"!ф(х) строится как сумма и сумм вида (3). Из того, что в силу соотношения (14) компоненты (7" асимпто- тически выражаются через конечные степенные ряды относительно 1Д .! ч для У, мы можем сделать следующий вывод: выражение с~ г (У= ~е (7 является асимптотическим приближением для функции и, «=! соответствующей начальным значениям ест! ~ф(х).
Действительно, из уравнения Е!и) =О, в силу формулы (14), для ~)г =~У вЂ” и полу- чаем, что ГИ = — '„, Я4 Гл. ГЛ Гиперболические уравигиив са л!иагили вериг!еиг!вски ния обыкновенных дифференциальных уравнений и алгебраических уравнений 3. Геометрическая оптика. Изложенная здесь аспмптотическая теория геометрической оптики была построена Грином, Лиувнллем (183?), Зоммерфельдом и Рунге' ). Теперь мы в состоянии понять соотношение между волновой оп!ли!вой] которая описывается дифференциальным уравнением в частных производных (2), и гео.иетраческой оптикой, которая описывает явления распространения в терминах лучей. В оптике мы имеем дело с колебаниями высокой частоты; тогда точное решение дифференциального уравнения с частными производными в первом приближении дается первым членом его аспмптотического разложения.
Этот член, так же как и дальнейшие члены разложения, определяется с помощью обыкновенных дифференциальных уравнений вдоль лучей. Естественно, что существует тесная связь между геометрической оптикой и разложениями 9 4 и этого параграфа, Обычно в оптике мы имеем дело не с задачей Коши, а со смешанными или краевыми задачами, в предположении, что зависимость решения и начальных данных от времени заключается только в наличии множителя в! ', Кроме того, предполагается, чго коэффициенты дифференциального уравнения не зависят от времени.
Рассмотрим систему первого порядка кт ., да ?,[и]=и!+Л4[и]=и!+ д А'(х)-„— +с)(х)и=О. (1?) дх, =1 Мы можем разделить пространственные переменные и время и искать решение в виде и (х, 1) = е!"'и (х). Тогда функция о(х) должна удовлетворять „приведенному уравнению" Л4 [и] + (юп = О. (18) С другой сторонь!, мы знаем, что уравнение (1?) имеет решения вида и= ~~ Т?(р)д?(х, г), (19) ?=О где Т?(4) = е' '-/((ю)!.
Ввиду того что коэффициенты дифференциальйого уравнения не зависят от 1, мы рассмотрим такие решения, ') Литературу см. в работах Келлера [1], Келлера, Льюиса и Секлера [1], Кват!йа [1], Гб Лакса [4] и .Люнебурга [2], [11. р 5 Колеблющаяся начальные значения для которых коэффициенты д) (х, 1) не зависят от г. Если мы положим ~(х, 1) =1+ ф(х), то будем иметь и(х, 1)= е'"" ° е'"'е ~ -г — (3 ~ы (в„)э /=о следовательно, с ь Йе+,ьо 4 "р„К) ' '+ (. (И)) = 0 (,/= — 1, О, ...), (21) илп эквивалентным соотношениям < я l+ ~э А'э, 8'у''+М81=0 Ц= — 1, О...), .=1 Как мы видели выше в % 4 и в настоящем параграфе, уравнения (21) можно решить с помощью одних только обыкновенных дифференциальных уравнений вдоль лучей.
Следовательно, разложение (20) можно построить, решая только обыкновенные дифференциальные уравнения. Этв обыкновенные лифференциальные уравнения вдоль лучей являются уравнениями геометрической оптики. Аналогичное соответствие существует между теорией Э 4 и неоднородным привеленным уравнением (18). Рассмотрим уравнение ! [и)— = и,+ Ми =а' 'У(х).
(22) Если и(А х) = е "'о(х), то функция о(х) должна удовлетворять уравнешпо Мо+ 1<оп = у" (х). Мы определим функцию ш(х, г) с помощью следующих условий: Е(ш) =0 для а ) О, ю(х, О)= — /(х). Применение принципа Дюамеля гьрияодпт тогда к формальному решению п(х, ьо) = ~ е-и"яш(х, э)дэ. о (23) нье )~ и) (х) (20) (Зн)) 1=о Таким образом, метод, который мы применяем в этом параграфе, приводит нас ь асимптотическому разложению для приведенного уравнения (18), !(оэффициенты д)(х) должны удовлетворять соот- ношениям Яб Гл. 10 Рипгрбилииескиг Ераннгния сп многими нсрг.иенными 9 б. Примеры теорем единственности и области зависимости дли задачи 1гоши Метод интегралов энергии впервые применил Заремба [1[.
Он был снова открыт и обобщен Рубиновичем [1, 2), а также Фридрихсом и Г. Леви [1), и применен для исследования симметрических гиперболических систем. Многочисленные дальнейшие работы Фридрихса [2), а также Шаудера [4) окончательно показали, насколько мощным и гибким является этот метод'). В этом параграфе мы рассмотрим некоторые типичные примеры теорем единственности и области определенности решения задачи Коши сначала для уравнений второго порядка с тем, чтобы можно было лучше понять общую теорию 9 8 (см, также гл. Ч, 9 4).
Существование и единственность решения задачи Коши для произвольных начальных данных тесно связаны между собой (см, гл. П1, 9 6); эти вопросы будут рассматриваться в 9 8, 9 и 10 с помощью некоторых квадратичных средних значений решений и их производных, т.
е. с помощью так называемых „интегралов энергии". Решение задачи в точке Р определяется однозначно, если данные Коши известны только в некоторой ограниченной „области зависимости', связанной с точкой Р. Предметом й 6 и 7 является выяснение фактов, связанных с вопросами едкнственности и определенности. !. Волновое уравнение. Для двумерного волнового уравнения У.[и)==и — и — и =0 и лл уу можно привести доказательство теоремы единственности, которое несколько отличается от рассуждений гл. Ч. Пусть 5 — произвольная начальная поверхность 1у(л, у, Е)=0 пространственного типа, т.
е. ф — ра — аут ) 0, г а с,— х,— у,)0, или ') Очень сильные результаты с помощью интегралов энергии получены в работе !1етровского [5]. — Прим, ргд. Асимптотическое разложение для функции и прн больших значениях ю определяется особенностями функнпн оу(х, Г), которые зависят от особенностей у'(л); в соответствии с Э 4 эти особенности распространяются по лучам. Таким образом, здесь, как и ранее, асимптотическое разложение функции п(х), соответствующей геометрической оптике, определяется с помощью обыкновенных дифференциальных уравнений вдоль лучей.
й 6. Творе.ны единственности и оК!ость зависимости 637 1т Ян+ ту+ й )тут+ ту+ т~ Предположим, что решение дифференциального уравнения и обращается в нуль вместе со своими первыми производными в некоторой подобласти В' поверхности В. Мы утверждаем, что функция и обрищается в куль во всех тогасах Р, для котпорых харакгперистическай конус, проходящий через Р, пересекав!пса с начальной поверхностью В внутри В' (см. рис. 55). Мы обозначим р Рнс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
