Р. Курант - Уравнения с частными производными (1120419), страница 128
Текст из файла (страница 128)
Соответствукнцие граничные условия, так же как и в гл. яс, й 6, п. 4, выражаются следующим образом; в каждой точке х, С на боковой поверхности 8 цилиндра л вектор и(х, С) принадлежит некоторому линейному пространству с!с размерности г = /г — р, определенному р линейными однородными соотношениями (13) (сс, си с) = О (/ = 1, о, .
° Р). где т — линейно независимые векторы, На пространство снг нас яагается следующее ограничение: для векторов и, принадлежащих М, квадратичная Форма (;С(и, и)=(и, Аи) неопсрицательна на а, Обоснование таких граничных условий дает применение формулы Гаусса к соотношению (2) ( (и, Ви)с(1ссх+ ~ ) (и, Аи) д5'=О, и где А = ~г А'!~с — характеристическая матрица на поверхности, с=о ограничивающей О. Если (и, Всс) — положительно определенная форма, то эта формула обеспечивает единственность решения уравнения (1) в с), если из заданных граничных условий следует неотрицательность формы (и, Аи) = ьс(и) в каждой точке поверхности Я. Интересно отметить, что это замечание справедливо независимо от того, является ли система (1) гиперболической.
652 Гл. [((. ('олербо,и>чест>е уравнения со многими иеременныяш В частности, если мы выберем в качестве г) цилиндрическую ооласть над б между гиперплоскостями (=0 н (=-., то для решения уравнения (1б) мы получим с ~(а, и)с(х +) ~ (и, Аи)а>зй(+ ~ ~ (и, Йи)с(х(((=-О. (14) о о з о Тогда из граничных условий для и, несомненно, следует единственность решения смешанной задачи так же, как это получалось в п. 1 для задачи Коши. Это замечание является главным в настоящем пункте.
Однако мы хотим добавить несколько замечаний, чтобы внести большую ясность и получить удобный для применения критерий единственности. Во-первых, для заданной матрицы А пространство М можно выбирать различными способами. Например, в простом случае, когда к = 2, а (и. Аи) = иг — ит, любое линейное пространство, заданное соотношением и — аи, = 0 с )а) ( 1, очевидно, удовлетворяет условию определенности. Во-вторых, если задано слишком много граничных условий, то мы ие можем ожидать, что решение будет существовать (например, в случае, когда меньшее число граничных условий все еще гарантирует единственность).
Так как граничное пространство М тем шире, чем меньше граничных условий мы налагаем, то мы приходим к рассмотрению следующего понятия, тесно связанного с требованием существования: граничное пространство %должно быть максимальным неотрицательным, т. е. его нельзя расширить до большего линейного пространства, на котором квадратичная форма (и, Аи) все еще всюду неотрицательни Хотя мы не будем доказывать существования, мы потребуем, чтобы пространство (>( было льаксимальным.
Самый важный вопрос, касающийся (>(, таков: какова размерность пространства Л(, т. е. сколько линейно независимых условий (13) всегда определяют максимальное неотрицательное пространство М? Предположим для простоты, что цилиндр Е нигде не имеет характеристического направления, т, е. на нем не обращается в нуль нн одно собственное значение матрицы А ').
Тогда мы утверждаем следующее: число измерений г л(а(ссимального неотрицательного пространства М равно числу положительных собственных значений матрицы А. Число г и число р=(г — г условий вида (и, т()=0, налагаемых на функцию и, не зависят от конкретного выбора максимального пространства М (для случая двух переменных см. гл. т(, ф 6). ') Легко видеть, что зто удобное предположение несущественно.
а' Л. Интеграле! энергии длн гнетем первого порядка Критерий, который дает эта теорема, часто можно непосредственно применять. Доказательство опирается на тот факт, что в ат-мерном линейном пространстве и-мерных векторов (т. е. векторов с Л компонентами) всегда можно найти не равный нулю вектор и, который удовлетворяет в линейным однородным условиям, если только а!+в С и. Рзссмотрим теперь полное множество нормировзнных собственных векторов ин ..,, и матрицы А, соответствующих собственным значениям Лт, ..., Хе.
Предположим, что первые собственные значения ) т, ..., ), положительны, а остальные отрицательны. Если и = а!и!, (и, Аи) =аз)р то Сначала мы покажем, что гйш М < г. Действительно, если бы пространство И имело более г измерений, то мы могли бы найти в ЛГ вектор и, такой, чтобы выполнялись г условий ортогональности и! = х,. = ... = а, = 0 и, следовательно, было бы (и, Аа) = е а)1,. (О, что противоречит предположению о положительт=те! ности матрицы А для всех и из И. Затем мы покажем, что пространство М не является максимальным, если а!=-Йщ И ( г.
Действительно, наложим на вектор и условия (и, Ап)=0 для всех о нз И и (и, и)=0 для г=г+!... (г; эти условия представляют собой те+те — г линейных однородных уравнений для вектора а, и, так как 4+и — г меньше, чем и, существует отличный от нуля вектор а, удовлетворяющий этим условиям (из первого условия следует, что а не принадлежит И). Тогда для любого вектора вида то = аи+ о, где о принадлежит Рт, а и — положительная постоянная, мы имеем (ю, Апт) = аз(и, Аи) +(и, Ап) ) О. (15) Это означает, что все векторы ю принадлежат М, что противоречит максимальности М, так как и не лежит в М. Следовательно, возможно только, что д1ш И=г, и наше утверждение доказано.
Аналогично можно было бы определить максимальные отрицательные пространства И' размерности р = и — г, которые являются положительными пространствами для формы — А. 654 Гм, Еб Г илерболическяе уравнения го многими леремеммнли До сих пор мы предполагали, что [А[ чь О. Если же [А[=-О, то существуют некоторые собственные функции а, удовлетворяющие уравнению Аа=О.
По существу, ничего не меняется, только пространства М и № имеют общее дополнительное, например д-мерное, пространство таких собственных функций. В качестве последнего замечания мы укажем, что для сопряженной задачи для оператора с*[и[=О, рассматриваемой в обратном направлении, т. е. для задачи, в которой залаются значения и(хь т) в области О и решение ищется при Г ( -., правильные граничные условия на Л таковы: решение и должно принадлежать максимальному неположительному пространству №, 4.
Интегралы энергии для одного уравнения второго порядка. В этом пункте мы выведем энергетическое неравенство и, следовательно, получим теорему единственности для одного гиперболического уравнения второго порядка. В 6 3, и. 8 мы свели гиперболическое уравнение второго порядка к симметрической гиперболической системе первого порядка. Поэтому энергетические неравенства следуют из результатов предыдущих пунктов этого параграфа. Тем не менее стоит привести их независимый вывод в случае уравнения второго порядка (что исторически было сделано раньше) '), так как эти неравенства служат простым общим обоашванием для примеров й 6 и так как этот вывод является моделью вывода соответствующих неравенств для уравнений высших порядков, что будет пролелано в следующем параграфе.
Как и в 3 3, мы рассмотрим уравнение второго порядка нида А [и) = л„— ~~ а'~и,)+ „., =-О, (16) Мы прслположим, что это уравнение гиперболическое и что гиперплоскости Г=сопзг — поверхности пространственного типа. В соответствии с й 3, так будет тогда и только тогда, когда квадратичная форма а" положительно определенна. Мы выразим а,б[и[ в виде дивергенции з) 2п с[к[=[из) — 2 ~ (и')и,и,))+~~'.,(иыи,.и,.), +-сг', где через г,) обозначены члены, не содержащие производных второго порядка. Если мы для удобства предположим, что оператор С не содержит членов нулевого порядка, то (;) будет квадратичной формой относительно производных первого порядка от и. ') См. литературу в 6 6, стр.
636. ') Я в этом пункте и в 6 9, конечно, не обозначает характеристическую форму. 655 Э 8. Интегралы энергои для систем первого порядка Теперь мы проинтегрируем это тождество по л(шзообразиой области О, ограниченной двумя поверхностями Яа и 5(; если и является решением уравнения Л(и)=0, то из формулы Гаусса мы получим, что (17) где д =- ти' — 2 У ~')и(иД+ ~' а((и,.п т. Здесь ". и (т обозначают компоненты нормалей к За и 8( по направлению осей 1 н х;; нормали проведены по направлению положительной оси 1. Пусть теперь в качестве Зо выбрана область гс(0), вырезанная на начальной гиперплоскостн Г = 0 с помощью обратного кононда лучей Г, проходящего через точку Р, а 5( пусть состоит из области гс(/т), вырезанной коноидом лучей иа гипсрплоскости 1 = ((, и из М (й), куска полости коноида, заключенного между гиперплоскостямн 1 = 0 и Г = й.
Интегральное соотношение (!7) можно тот((а переписать следующим образом: ) д((8+ ~ д(('о — / д(15'= ~ ) ~((хЛ. Й(п( ж (л( и а3( и Как указывалось в Э 3, ве.тичина д, если рассматривать ее как квадратичную форму относительно л, н и, неотринательна на гс(л), гс(0) и М(г(). Тогда, обозначая интеграл по гс(н) через Е(У(), мы получим энергетическое неравенство Е((т) Е (0)+ ~ ~ В д. д1, где Е(л) = ) д(15 = ) ~ и,- '+- '»' а,.и(и. ~ дх я(ю Квалратичная форма Я мажорируется произведением д иа дос(а- точно большую постоянную С: (,) '- Сд. Подставляя это соотношение в энергетическое неравенство, мы получим Ь Е' (Ь):.' Е (О) + С ~ Е (П Ж.
656 Гл, е'А Гаяербаличеение уравнения са мнаеима переменныма Простым следствием этого интегрального неравенства является оценка Е[Ь) (Е[0) ес"; это и есть искомая окончательная форма энергетического неравенства. Аналогичные неравенства для интегралов энергии высших порядков можно получить с помощью дифференцирования уравнения [16). 8 У.
Энергетические оценки для уравнений высших порядков 1. Введение. Результаты Э 8, касающиеся симметрических систем первого порядка, являются достаточно общими для большинства задач о распространении волн, встречающихся в физике. Тем не менее желательно построить теорию и для других гиперболичесьих задач. Для таких задач удовлетворительная теория была построена ') прн строгом ограничении, что все характеристики различны, так что все полости конуса нормалей можно разделить полостями некоторого другого конуса. Мы вкратце опишем метод Лере [2] з) для одного уравнения порядка т. Этот метод без каких-либо изменений можно применить к слабо связанным системам гиперболических уравнений с одинаковой главной частью. Так как [см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
