Р. Курант - Уравнения с частными производными (1120419), страница 132
Текст из файла (страница 132)
Этн разрывы, согласно 4 4, распространяются вдоль характеристик. Однако там было построено решение только „в малом", т. е. в полосе 0 (х„() при достаточно малых ), причем эта полоса может расширяться до тех пор, пока лучи, исходящие из многообразия 8„, порождают гладкие характеристические поверхности С. Если же на С эти лучи имеют огибающую, или „каустику", которая может быть ребром возврата поверхности С, то начальные особенности могут усиливаться на этой каустике. Хотя из этого явления, которое называется фокусироааниеяг, не следует, что решение нельзя продолжить за каустику з), оно все же локально понижает гладкость решений.
В этом смысле интересно рассмотреть следующий пример, несмотря на то, что в нем каустпка состоит всего из одной точки. с начальнымв данными () х для х>0, и(0, х)=0, о(0, х)=~( 0 для ххО. Тогда для х > 0 н(й х)=; о(0 х)=~ х. 2)' х Очевидно, что интеграл ) (и'+ел)ах~, <со конечен лля любого ограниченного интервала, но при Г > 0 интеграл ) (из+а') цх не существует. Другой пример дают начальные условия и(0, х) =О, о(0, х) =) 1х) е-.". Тогда и(б х) = Г ( — — — )г(х, ') е-", а(б х) = )' ~х( е ( 2,' х ~ 'г~~ х ~ ') Этот факт был впервые отмечен Фридрихсом и Г.
Леви в работе (1(. ') См. подробности и доказательства в работе Людвига (1). 070 Гл, Рй Г1тербалиееение уравнении го многими аерел1енными Мы рассмотрим задачу Коши для волнового уравнения, например, в трехмерном пространстве: и — и — и, — и =О, и ех уу «л с начальными значениями и(0, х, у, г)=0, ( (1 — ге) ' лля ге (1, и,(0, х, у, г) =— 0 для гт»~ 1.
Здесь хз+ у'+ ге = гт. Эти начальные условия имеют непрерывные производные вплоть до второго порядка. Явное решение задзчи Коши на оси ( опрелеляется формулами') ( ((! — (2) Д для ( (1, 0 для (» 1. Мы имеем и,= — О, им=О лля л» 1, а для т (1 и — (1 (2)"-' 3(2 (1 (2) «л, и = — 3 (1 — (2)л — 6((1 — (2) л+ 3(2(! — (2) Очевидно, что произволная и, непрерывнз при (=1, а ии — раз- рывна '). 3. Замечания о квазилннейных системах з). Сле«!уст заметить, что зту теорию можно распространить на нелинейные системы с по- ') Формулы гл. !П, б 3 показывают, что сфернчески снмиетричные у (т+ г) — у (т — г) решения волнового у-равнении имеют вид и (г, т) =— г Ил этой формулы иепосрелсгвеню видно, что и(О, 1) имеет на одну произ- водную мевьше, чем у.
2) В основном мы рассчатривалп одлю дифференциальное уравнение высшего порядка. Если мы положим ы= и,+ и, о' = — и, о'=- — и„то функции ее, о и о удовлетворяют систе.ее и«! — их+ о + о, = О, 1 2 ,1 2 о, + о + иу = О. о + о + ш = О и начальным условиял! ~ (1 — г') Ь (г' < 1), О («'2 > 1), о' (О, х, у) = О, о'(О, х, у) = О. Здесь функция ге непрерывна при т = 1, а юе — разрывна. Таким образом, непрерывность первых производных лля начальных значений не гарантирует непрерывности первых производных решения.
') «!(лч квазилинейиых сне~ем второго порядка это! метод был проведен Шаудером [4[. Дальнейшие результаты принадлежат Фраиклю [1[. Задачу Коши лля нелинейных гиперболических уравнений любого порядка рассма- тривал Лере Д. [Ранее решение задачи Коши для гиперболических квази- линейных уравнений н систем было получено в работе Петровского [5).— Прил. ред.! 871 й гР.
Твоувиа существования мощью метода итераций. Если система (1) квазилинейная, т. е. если матрицы коэффициентов зависят только от неизвестных функций и, то метод итераций, приведенный в гл. т7, 9 7, можно обобщить на случай и переменных. Таким образом мы получим доказательство единственности, а также сушествования решения и, которое строится как прелел и= 1пп и", где ивы — решение линейной задачи Коши и,"э'+ ~ А'(х, и") иа с+В(х, и") и" 'с=О. =1 х Начальными значениями для всех функций и" служат заданные значения ф(х), 6. Замечания о задачах высших порядков н о неснмметрнческнх системах.
Как мы полчеркивали выше, большая часть гиперболических задач математической физики сводится к симметрическим системам, лля которых построенная выше теория решения задачи Коши вполне удовлетворительна. Однако задача о решении одного дифференциального уравнения высшего порядка илн неснмметрической системы первого порядка интересна с математической точки зрения. Замечателен тот факт, что данные выше энергетические оценки позволяют обобщить доказательства на такие задачи. Знергетические оценки, полученные в $ 8, п.
4, немедленно позволяют получить решение залачи Коши лля любого гиперболического уравнения второго порядка. (другим способом эта задача решается, если свести такое уравнение к симметрической гиперболической системе; это было сделано в Ч 3, п. 8.) Чтобы решить задачу Коши для одного гиперболического уравнения порядка ти илн для системы таких уравнений с одинаковой главной частью, можно воспользоваться общими энергетическими оценками, получеппыми в 9 9.
После этого локазательство существования проводится приблизительно так же, как в первых пунктах этого параграфа. Оценки 9 9 и сделанные нз них выводы применимы также к произвольной гиперболической системе первого порядка с различными характеристиками, так как любую систему такого типа с помощью исключения функций (см. гл. 1, $ 2, п.
2) можно свести к системе и уравнений порядка т, причем главная часть оператора, т, е, члены старшего порядка, в каждом нз уравнений одинакова н относится только к одной из неизвестных функций и', ия, ..., и . я Уравнения связаны между собой только через члены низших порядков. Как это видно из гл. Ч, с такимп системами можно обращаться почти так же, как с одним уравнением порядка 1с. Снова следует заметить, что этот метод требует гиперболичности в строгом смысле, т, е.
полости характеристического конуса нормалей б72 Гл. КС Гиперболические уравнения со яновичи перелгенныли должны быть различными (а следовательно, то же самое будет справедливо и для конуса лучей). Случай общих уравнений с кратными характеристикзми не охватывается изложенной выше теорией и остается нерешенной проблемой '), Часть 11 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЙ ф ее, Введение 1. Общие понятия.
Обозначения. Для линейных гиперболических дифференциальных уравнений, в частности для уравнений с постоянными коэффициентами, решение задачи Коши может быть выражено с помощью более или менее явных формул а) (см. также гл. Н!, Й 5 и гл. Ъ). Такие представления решензй в виде функционалов от начальных данных не только приводят ко многим интересным формальным соотношениям '), но, что, пожалуй, еще важнее, поэзо.чают изучать своиства решениИ. Эти представления основаны на разложении решений (а также и дзугих произвольных функциИ) на плоские волны (см. также гл. !11, Й 3), а иногла — — на сферические волны.
Плоская волна определялась как решение дифференциального уравнения, зависящее только от времени Г и от некотороИ линейной комбинации пространственных координат. Сферическая волна — это решение, обладающее сферической свмметрией относительно некоторой точки в пространстве. Колеблющиеся плоские волны, которые прнменялнсь для разложения функции в интеграл Фурье, не всегда дают наиболее простой аппарат. Иногда возможен более прямой подход. Но никогда применение колеблющихся плоских волн не позволяет непосредственно выявить области зависимости и роль характеристик. Однако этот нелостаток компенсируется изяществом явных результатов.
В Й 12 и Э 13 мы будем рассматривать одно уравнение второго порядка; в 3 13а мы приведем в качестве примера интегрирование уравнениИ упругих волн. В Й 14 мы рассмотрим уравнения произвольного порядка с постоянными коэффициентами, а в Й 15 мы получим представление для решений произвольных гиперболических задач, не обязательно с постоянными коэффициентами. Мы будем ') См. дальнейшие замечания в Э 4 и Э 15, а также в работе Людвига [3], ') Среди прочей литературы см., в частности, обширную монографию Джона [4]. ') По этолгу вопросу имеется очень иного работ.
Мы ограннчнлгся, яескочько субъективно, теми из них, которые представляются интересными в рамках этой книги. у 1д Введение 673 опираться на теоремы существования н единственности, доказанные в первой части этой главы, и будем предполагать, что начальные данные обладают указанными там свойствами гладкости (2 1О). Надо, однако, сказать, что явные формулы части П могут быть использованы не только для представления решений, но и для конструктивного доказательства теорем существования с помощью непосредственной проверки.
В 2 16 и 17 мы рассмотрим „ультрагиперболические" дифференциальные уравнения и некорректно поставленные задачи для гиперболических уравнений. Последнии параграф содержит краткое изложение некоторых свойств передачи сигналов, подчиняющихся гиперболическим уравнениям. Как и выше, мы выделяем временную переменную Г= — хв, а совокупность пространственных переменных хн х„..., х„обозначаем через вектор х с абсолютной величиной ~ х ! = ')Гх>+ ха+ + х'. Единичную сферу в и-мерном пространстве мы будем обозначать через ы„или м, элемент се поверхности — через с>ь>„или >7ч>, площадь ее поверхности ') есть ь>„= 2 )> Р11" (и!2).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
