Р. Курант - Уравнения с частными производными (1120419), страница 130
Текст из файла (страница 130)
его значение при г= Т превышает его значение при !=О не более чем в есг раз. Величина постоянной С зависит от коэффициентов оператора С и от величины их первых производных ') 3. Другие методы. Надо обратить внимание на другой подход к этой задаче, принадлежащий Кальдерону н Зигмунду. Их работы [1, 21, касающиеся сингулярных интегральных уравнений, дали гибкое орудие для исследования задач, рассматриваемых в этом параграфе, и для изучения других вопросов, связанных с линейными ') См.
раба~у Гордннга 131. Яы верне>ыя к неравенству Горд >ага и томе !!!. З у. Энергетические опенка дяя уравнений высших порядков 661 уравнениями с частными производными. Основой метода явлвется тот факт, что, применяя соответствующие интегральные операторы, можно приводить дифференциальные операторы с частными производными к симметрическому зилу и таким образом получать отличные от метода Лере способы вывода энергетических неравенств'), Наконец, мы дадим схему другого доказательства энергетических неравенств, принадлежащего Пейзеру [1) и основанного на нормальной форме линейного гиперболического оператора для двух переменных х и 1, введенной в гл.
Ч, з 8, п. 2 и 3. Сначала мы рассмотрим гиперболический оператор г.[и[ порядка т относительно функции и(х, г) двух переменных х, Г, причем будем считать, что он задан в нормальной форме: Е[и[=О,Ог ... Оыи+К (4) Гчс [сг) = ~г )с г [и), 1=! (5) который может быть получен из оператора ь с помощью формального дифференцирования его главной части относительно символа д/дг.
Мы сразу же получим основное тождество г"чГ [и[ с'. [и) = — ~) О,()', и)'+(э[и[. ! (6) где Я[и[ — квадратичная форма относительно производных и порядка меньшего, чем т. Интегрируя по всему слою, учитывая, что ') См, также позднейшие результаты Мизохата [1[ и [2).
где дифференциальный оператор Й содержит только производные порялка, меньшего чем т, и где все т операторов дифференцирования по характеристическим направлениям О, = д,'д) -т- -»'д/дх различны. (Обозначения несколько отличаются от тех, которые применялись в гл. 11, З 8.) Мы введем операторы Г;.=(О, ... Оы) порялка т — 1, причем в произведении, стоящем в правой части, пропущен множитель Ор Согласно результатам гл.
Ч, 2 8, все производные порялка т — 1 и более низких порядков можно линейно выразить через величины (гти. Мы рассмотрим решение и уравнения г. [и) = 0 в слое Е: 0 ( Г ( Т и прелположим, что функция и финитна в Е, т. е. обращается в нуль, если величина [х[ превышает некоторое фиксированное число.
Теперь мы введем оператор порялка т — 1 662 Тл. И. Гаперболппеские уравнения со лногичп переченнычи функция и финитна, и рассматривая Г как параметр на каждой нз 7г характеристик, мы получаем интегральное соотношение 0 = / ~ И[ге] Цп]с(хЖ= ~ [д(а(х, Т)) — г)(а(х, 0))]с(х+ + ~ ~ Я(а(х, ())с[хЛ=Е(Т) — Е(0)+ ~ [ Яи(х, г))с(хсй, 3 1 жч где д(и)= — у ([г и)т — положительно определенная квадратичная 2 пня форма, а Е(Г) обозначает „интеграл энергии" Е(Г) = [ су(и(х, Г))с(х. (7) ~ О (и (х, Г) ) с(х П < сопз1 ° ~ Е (1) й, Следовательно, для нашего решения и уравнения С [а] = 0 справед.
пиво внергетическое неравенство г Е(Т) ~(Е(0)+ сопз1 ~ Е(Г) вг(, (8) о причем Е(г) — положительный квадратичный функционал относительно производных (т — 1)-го порядка функции и '). Следующий шаг состоит в распространении этого результата на случай а переменных хп ..., х„. Для этого мы предположим, что оператор Е имеет постоянные коэффициенты. Тогда, коротко говоря, неравенство устанавливается так: сначала с помощью преобразования Фурье решение а разлагается на плоские волны о(1, у; а), зависящие от единичного вектора а в пространстве х: и(х, Г) = ') Надо заметить, что, как было указано прв формальном выводе равенства (1), формула ~ ДГ [и) 1.
[и] Дл М = ~ [о(и(х, Т) ) — в(и(х, О) ) ] ах+ + ~ ~ я(и(х,())ахй получается при повторном интегрировании выражения Дг[и] б [и] по частям по переменным х н 0 полученная таким образом функции у(а) может отличаться ог нашей функции только выражением типа ливергенции, так что значение функционала Е(Е) не изменяется. Сщенивая производные низших порядков так, как это делалось выше, мы почти сразу получаем, что Э 10. Теорема скщестаоооноя п(1, у; и)гав, у=(щ х), причем плоская волна о как функция ~ар=1 х и Г удовлетворяет дифференциальному уравнению 7.(о) = О. Фииитность функции и обеспечивает возможность такого разложения и соответствующего разложения для всех производных и, входящих в оператор 7..
Тогда можно применить полученные выше энергетические соотношения к функции и, зависящей от двух переменных у и 1, а затем интегрирование по и позволяет с помощью формулы Парсеваля получить искомые энергетические соотношения для фущкции и(1, х). 9 10. Теорема существования 1. Введение. В этом пункте мы применим энергетические неравенства, полученные в 9 8 и 9, для доказательсава существования решений симметрических гиперболических систем ураанений 7. (и(=,+ М(л) =-0 с произвольными гладкими начальными условиями.
Мы напомним, что формула для решения задачи Коши в случае неоднородного уравнения 1.[и) =7'(х, 1), удовлетворяющего, например, начальным условиям и(х, О)= — О, получается непосредственно из принципа дюамеля. Если (I (х, Г; т)-- решение уравнения (1) при 1) с, тзкое, что У(х, т; т)=у(х, т), то решение и определяечся формулой Таким образом, мы можем ограничиться доказательством существованив для однородного уравнения (1). Для того чтобы сформулировать результат в достаточно общем виде, удобно будет следующим образом воспользоваться терминологией гильбертова пространства.
Рассмотрим в пространстве х область й, зависящую, может быть, от параметра 1, и „глалкие функции" и в области г(, обладающие непрерывными производными до порядка г включительно. В качестве областей 77 (или 77,) не обязательна выбирать плоские сечения коноида зависимости Гр для некоторой точки Р. Они, например, могут соответствовать области зависимости для произвольнод плоской области 1=сопз1 в слое В (см. 9 7). Функции и не обязаны быть решениями дифференциального уравнении. Мы введем теперь гильоертово пространство Н,(1) 664 Гл. Л. Гиперболические Кроонения со многими переменными или Н,(1) как пополнение' ) нашего пространства гладких функций и по норме г-го порядка ))и(!),:[, илн '[,и(Г)!', определенной в й 8, п. 2. Тогда энергетические неравенства Э 8 дают следующее утверждение: если начальные значения принадлежат пространству Н,(0) или И,(0), то значения и решения уравнения (1) для достаточно малых положительных 1 принадлежат соответствующему пространству И,(1) или Н,(1), а их нормы равномерно ограничены при ограниченных значениях 1.
Справедливость энергетических неравенств с подходя- шими константами для произвольных областей гс либо может быть доказана непосредственно, 'либо эти неравенства могут быть получены с помощью объединения нескольких областей гхг описанного выше типа. В некоторых частных случаях элементы абстрактных пространств И, могут быть связаны с обычными функциями. Эта связь устанавливается с помощью леммы Соболева (см. гл, !П. приложение 1), которая утверждает, что для достаточно больших г элементы Н, будут гладкими функциями. А именно, если гс — ограниченная область с гладкой границей и если 2г » л, то гпах !и(х) [ (сопя! !(и)!, яЕл причем величина постоянной зависит только от гх и от г.
Кроме и того, для 㻠— +з все элементы пространства Н, имеют ограниченные частные производные до порядка л. В дополнение к энергетическим неравенствам необходимо иметь конструктивный элемент; здесь его дает теорема Коши — Ковалевскойэ), если следовать идеям Шаудера [4[. ') Это означает следующее: если ио, ир ... — последовательность функций, имеющих в области Р непрерывные производные до порядка г включительно и равномерно ограниченные нормы ,'!ит,'!„и если, кроме того, функции и образуют последовательность, фундаментальную в норме порядка г, т.
е. если !!иг — и 
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
