Р. Курант - Уравнения с частными производными (1120419), страница 125
Текст из файла (страница 125)
55. через О область, ограниченную куском поверхности В' и характеристическим конусом с вершиной в точке Р. Характеристический конус в пространстве х, у, с — зто конус, образутощие которого наклонены к плоскости 1 = О под углом в 45', т. е. являются характеристическими лучами. Доказательство основано на тождестве 2итЕ(и)= — 2(и и ) — 2(и,и ) -+(ит),+(ие) +(ит),= — О, (2) причем это тождество интегрируется по области О.
Так как выражение (2) имеет вид дивергенции, то, применяя теорему Гаусса' ) и подставляя начальные данные, мы получаем О = ~ ~ (!тат -+ иет' + ит1 — 2и,и х — 2н,и у) дВ=— м г 1 / — -- '1(и 1,, — !тех„')з+ (и 1, — итУ,)а'1 йЯ, м где М вЂ” та часть поверхности конуса, которая является границей области О, ит — злемент поверхности на М; кроме того. принимается во внимание, что на М выполнено соотношенсе Р— хз — у'= О. ') Здесь и в других местах книги теоремой или формулой Гаусса автор называет известную формулу Гаусса — Остроградского. — Прим. ред. где х,, у„, 1, обозначают компоненты единичного вектора нормали к поверхности, т.
е. т» х = "1 т;+т,п у 633 Гл. И. Гиперболические уравнения ео многими переменныни Следовательно, последний интеграл по поверхности конуса обращается в нуль; тогда подинтегральная функция также равна нулю. Другими словами, и 1, — и,х,=О и и Г„ — и,у, = О всюду на М; таким образом, на М обращаются в нуль две линейно независимые внутренние производные функции и. Поэтому решение и постоянно на М и, следовательно, оно тождественно равно нулю в силу начальных условий.
Из этого следует, что и обращается в нуль в точке Р. Одновременно это рассуждение гюзволяет найти для нашего дифференциального уравнения область зависимости в следующем смысле: значение решения и в точке Р с зиданными на 5 начальны.ии даннымн зависит толыго от начальных данных ни аой части поверхности Я, коаорая вырезается направленной назад и 3 полостью характеристического конуса, проходящего через Р. На вопрос о единственности и области зависимости в случае трех и большего числа независимых переменных можно также ответить, применяя данный в гл.
Ч, 3 4 метод к более общему дифференциалшгоььу уравнению ии — гьи+ аи,+ би + сиг+ Ии = О, где коэффициенты а, 1>, с, 0 — про- Р извольные непрерывные функции г и пространственных переменных (см. общую теорию в 3 8). Затем мы докажем единственность 2 для „характеристической задачи Коши" для волнового уравнения. Здесь начальные данные уже не задаются на начальном многообразии пространственного типа, длЯ котоРого гргг — Рг — ог ) О; те- М, перь они задаются на некотором специальном характеристическом многообрззии, а именно, па половине характеристиго хо уо ческого конуса К: Рис.
бб. (( — Г,)г — (х — хо)' — (у — уо)'=О (г'~го) (3) Согласно полученным ранее результатам, мы уже не можем произвольным образом задавать функцию и и некоторую выводящую производную (т. е. все производные); мы можем задавать только значения самой функции и. Мы предположим, что начаяьные значения функции и задаются как значения, которые на поверхности конуса принимает некоторая функция, непрерывно дифференцируемая в окрестности конуса, содержащей его вергпину. Тогда справедливо следующее утверждение: значения г))ункции и на половине конуса К, определенной уравнениями (3), однозначно определяпгт функцгью и всюду внутри втой половины конуса, т. е.
4 6. Теореиы единственности и оиласть оввисияости Я9 для х, у, Г, таких, что (С Гв)г ( х)г (У вЂ” Ув)г>0 Г>С (см. рис. 56). Доказательство получается из установленных выше формул. 1!редположим, что заданные на характеристическом конусе начальные значения решения и равны нулю, и проинтегрируем вы- ражение (2) по области О, ограниченной этим конусом и характе- ристическим конусом, проходящим через точку Р. Если М! и тт(г— соответству!ощие ч,.сти этих конических поверхностей, то мы сразу получим в прежних обозначениях 1(тле «тхт) +(иугт ид ) 1дл =О' ж, Интеграл по нижнему конусу обращается в нуль, так как в под- интегральпую функцию входят только внутренние производные функ- ции и на этом конусе, а они по предполоукению все равны нулю.
Следовательно, две независимые внутренние проиаводные и„.т„— и,х,, и Г, — и,у„также равны нулю на характеристическом конусе, про- ходящем через Р. Другими словами, на поверхности этого конуса решение и постоянно и, следовательно, равно нулю, так как и обращается в нуль на пересечении двух конических поверхностей. 2. Дифференциальное уравнение ио — Аи — — и,=О (уравнение Дарбу)'). Другой вариант метода применяется к дифференциальному уравнению (-(и) = иг, + — и — Ьи = О, (4) так называемому уравнению Дарбу, которое содержит сингулярный член.
Здесь Х вЂ” произвольная неотрицательная непрерывно дифференцируемая функция переменных х, и Г. Характеристическое уравнение снова имеет вид (5) П плн (5') и характеристические конусы !р(х, С)=(г — т)й — ~е(х,— 1!)г=О !=! такие же, как в и, 1, Мы покажем следующее: если дваясды непрерывно дифферениируеяое решение и уравнения (4) и его производная и, обращаются в нуль при ( =О ни основании В хиринтеристичесного конуса с вершиной в точке Р(С ) 0). то ') См. й И, 640 Гл ГЕ Гслслербо,лические уравнения со лсносини нерелсеннылси нулю е точке Р и всюду ео внутренности т в о.
Мы имеем функиия и равна конуса О. Доказательс О= — 2и,Е(а)=2 ~) (и ии) — ~1 ил +из иа — члил lл Поэтому, если мы проинтегрируем это соотношение по области О (элемент обьема обозначается через до), принимая во внимание начальные данные на В, и применим теорему Гаусса к дивергенцни, стоящей в правой части, то получим и п -(((р"--)(1- ~;~.( -~:.Ф- о м с=л Так как ). ) О, немедленно получается, что и, =- О всюду в О. Таким образом, как мы и утверждали, функция и тождественно равна нулю в О.
3. Уравнения Максвелла в вакууме. В качестве примера системы дифференциальных уравнений с четырьмя независимыми переменными мы рассмотрим систему уравнений Максвелла ') (см. гл. 1!1, й 2), считая скорость света с равной единице: 6, — го1 $ = О, ьрл+ го1 6 = О. (6) Для этой системы дифференциальных уравнений мы рассмотрим задачу Коши, считая, что начальные данные для векторов 6 и р заданы при (=О. Нашей целью является доказательство следующего утверждения: если начальные значения для 6 и р обраиьаются а нуль, то векторы 6 и 9 раенсч нулю тождественно.
Данное ниже доказательство единственности (так же как аналогичное доказательство ') К уравнениям Максвелла добавляются соотношения б!ч 6 = О, йч $ = О. На основании уравнений (6) легко показать, что эти соотношения выполняются всюду, если они выполняются а начальном пространстве Г = О. Таким образом, они имеют харакгер начальных условия. где М обозначает поверхность конуса, а дЯ вЂ” элемент поверхности на М. Подинтегральная функция в интеграле, который берется по М, в силу того, что на М выполняется характеристическое соотношение (5'), может быть записана в виде 4 б. Теоремьс единстэенности и область эааисимости 641 для дифференциальных уравнений кристаллооптики) становится гораздо более ясным, если рассматривать его как частный случай более общего результата, доказанного в Э 8. Тем не менее, поскольку исторически доказательство в этом частном случае послужило стимулом к развитию общей теории, оно будет дано здесь.
Каждой точке Р в четырехмерном пространстве х, у, г, Г соответствует характеристический конус О, который высекает на нзчальной плоскости 1=0 трехмерный шар В. С помощью плоскости (=те, параллельной начальной плоскости, мы построим усеченный конус Ол, ограниченный шаром В, частью Мл конуса О и шаром сети который конус О высекает в плоскости г=тт (см. рис. 57). Рис. 57.
Из уравнений Максвелла в силу векторного соотношения 'р то1 6 — 6 то1 ьд = с)! ч (6 Х ф следует, что 0 = 26(6, — го(ф)+ 2ф(срт+ го1 6) =(6з+фа)т+ 2 01ч (6 Х ф). Теперь мы проинтегрируем это соотношение по Он сначала только по х, у, г, считая г фиксированным, а затем по г от 0 до и. принимая во внимание начальные условия 6 = $ = О при г = О, мы сразу получим )'(Стз+фг)с асо+2 ~ ~ ') (6Х 9],,сЮ+, мв лтл +~ / ~ (6т+$з)с(ге(ус4г=О, (7) где г„— вектор нормали к сфере радиуса г с центром в точке про.
1 .г— екцин Р в трехмерное пространство х, у, г; с„ = — ')т 2 — кампо- 2 пента нормали к поверхности М» в направлении оси с, 842 Гя, И |'инврбв.п|чевю|в уравнения св мнввами неременныл|и В силу того что на гИв выполняется характеристическое соотно- 2 а шение г„= г„мы имеем на М„ (6 + р ) (, + 2б,г„!6 Х ф = 6 7.
+-26 ( р Х г.,) Г, + ф г, . Так как )'р М г )з = 'р'гз — (яд г )', правая часть равна (62 + [ф У( г,) )з+(Дг,)з. Пз формулы (7) вытекает, |то О = ~ ~ ~: '(62 + Ф') йх Ну ба + р +~~~ —,' (((т(,+(Е Х г,)) +(.з',)1йв я|| откуда следует, что 6 = 0 = О на Лл, з, следовательно, н всюду внутри О, и о н требовалось доказать. Для дифференциальных уравнен нй к р исталлоопт ик н (7) из Ч 3 а можно было бы аналогично доказать теорему единственности и найти обл асть зависимости; однако мы не будем делать этого и сошлемся на общую теорию й 8. В 7. Области зависимости для гиперболических задач !. Введение.
Как указывалось в примерах й 6, важной чертой задачи Коши для однородных гиперболических уравнений является следующее: решение а(Р) в точке Р однозначно определчется данными Коши то.лько в некоторой ограниченной области Г=Гр, соответствуюшей точке Р. Данные Коши вне этой ос|ласти не влияют на значение и(Р). Соответственно а(Р) = О, если данные Коши в области Гр обращаются в нуль. Это свойство соответствует тому факту, что гиперболические задачи связаны с распространением волн с конечной скоростью.
Очеюшпо, что существование таких областей зависимосл|и Гр доказывается с помощью теорем единственности, связывающих а(Р) н начальные данные на Гр. Мы получим и сформулируем такие теоремы в й 8. В настоящем параграфе мы ограничимся геометрическим описанием областей зависимости Гр.
Попутно мы заметим, что понятие области зависимости влечет за собой понятие облаггаа злаяаия для некоторой начальной области Л. Это множество точек Р, для которых области зависимости имеют общ |е точки с Л. С физической точки зрения, начальные данные в области Л не влияют на явления, происходящие вне области влияния !а, т. е. среда вне !р „не знает", каково начальное состояние в Л. б 7. Области зависимости длл гилеубалическил задач Заранее надо указать на некоторую неопределенность понягпя области зависимости. У>зер>кдение „Гр является областшо зависимости для и(Р)" имеет негативный характер; утверждается только, что данные вне Гр не влияет на значение и (Р). Любая область Г', заключающая Гр, попадает в тот же класс. Поэтому было бы разумно определить область зависимости а точном смысле как наименьшее множество точек Г, такое, что и(Р) однозначно определяется начальнымн значениями на Г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
